1、多元函數微分學一、重極限、連續、偏導數、全微分 （概念，理論）二、偏導數與全微分的計算四、應用（極值、切線、切平面）三、方向導數和梯度多元函數微分學一、重極限、連續、偏導數、全微分二、偏導數與全一、重極限、連續、偏導數、全微分 （概念，理論） 是以“任意方式”1重極限 題型一：求極限常用方法：1）四則運算法則及復合函數運算法則；2）等價無窮小代換；3）利用無窮小量與有界變量之積為無窮小量. 4）夾逼定理；一、重極限、連續、偏導數、全微分 是以“任意方式”例1. 求0例4 .(江蘇2000競賽)A. 等于1； B.等于0； C.等于-1； D.不存在D例2. 求0 例3. 求=e 練習 求=0例

2、1. 求0例4 .(江蘇2000競賽)A. 等于1； B題型二：證明重極限不存在 常用方法：沿不同路徑極限不同（如：沿過點的直線）；2) 沿某一路徑極限不存在.例5 判斷函數在點的連續性.練習 證明重極限不存在2. 連續題型二：證明重極限不存在 常用方法：沿不同路徑極限不同（如：3.偏導數例6 練習：幾何意義3.偏導數例6 練習：幾何意義例7.則在下列A. B. C. D. C條件中能保證例7.則在下列A. B. C. D. C條件中能保證4.全微分1) 定義: 若2) 判定:必要條件: 與都存在;充分條件: 和在連續;是否為零?ii）用定義判定可微性：3) 計算： 4.全微分2) 判定:必要

3、條件: 與都存在;充分條件: 和在5.連續、偏導存在和可微的關系題型三 討論連續性、可導性、可微性例8.C 5.連續、偏導存在和可微的關系題型三 討論連續性、可導性、D 例9A. 極限存在但不連續B. 連續但偏導數不存在C. 偏導存在但不可微D. 可微例10D 例9A. 極限存在但不連續B. 連續但偏導數不存在C例11練習例11練習設,其中在點的鄰域內連續,問1) 應滿足什么條件才能使和都存在? 2) 在上述條件下在(0,0)點是否可微? （可微）練習2設,其中在點的鄰域內連續,問應滿足什么條件才能使和都存在? 二 偏導數與全微分的計算根據結構圖， “分線相加，連線相乘” “分路偏導，單路全導

4、”對抽象或半抽象函數，注意1. 復合函數求導2.全微分形式不變性二 偏導數與全微分的計算根據結構圖， “分線相加，連線相乘”3.隱函數求導法方法:（b）兩邊求偏導（c）利用微分形式不變性: (1)（a）公式:(2)方法：兩邊求偏導；利用全微分形式不變性3.隱函數求導法方法:（b）兩邊求偏導（c）利用微分形式不變 例12 設求和.題型一 求一階偏導數與全微分設,且當 時,則例13. 例14 .(江蘇06競賽) 例12 設求和.題型一 求一階偏導數與全微分設,且當 時練習：已知是某一函數的全微分,則 取值分別為（ ）B練習：例15. D練習：已知是某一函數的全微分,則 取值分別為（ ）B練題型二

5、復合函數的偏導數與高階偏導數練習. (07數一)練習.練習.題型二 復合函數的偏導數與高階偏導數練習. (07數一)練習設具有二階連續偏導數,且滿足又,求例16例17.注： 偏導數的坐標變換-看作復合函數求偏導數或全導設具有二階連續偏導數,且滿足又例16例17.注： 偏導數的 2：例18.(江蘇08競賽)練習1：3： 2：例18.(江蘇08競賽)練習1：3：題型三 隱函數的偏導數與全微分 例19. A. 只能確定一個具有連續偏導數的隱函數B.可確定兩個具有連續偏導數的隱函數C.可確定兩個具有連續偏導數的隱函數D.可確定兩個具有連續偏導數的隱函數D例20.題型三 隱函數的偏導數與全微分 例19.

6、 A. 只能確定一例21. 練習. 例22 (99數一). 例21. 練習. 例22 (99數一). 題型四 已知偏導數，求函數.例23例24.例25. 題型四 已知偏導數，求函數.例23例24.例25.練習：例26.練習：例26.三、 方向導數和梯度1.方向導數1)定義:可微,則2)計算: 若2.梯度計算三、 方向導數和梯度1.方向導數1)定義:可微,則2)計算:A)不連續; B)偏導數存在; C)沿任一方向的方向導數不存在; D)沿任一方向的方向導數均存在;在點(0,0)處例27 函數( )DD( )例28 設,則A) f(x,y)在(0,0)點連續; 為任一方向的方向余弦.B) ,其中C

7、)在點沿軸負方向的方向導數為.D)A)不連續; B)偏導數存在; 在練習. 練習：例29練習：練習. 練習：例29練習：四、 多元函數微分學的應用1. 曲面的切平面與法線2. 曲線的切線與法平面,法向量: 2) 曲面1) 曲面2)曲線,切向量: ,法向量: 其中1)曲線, 切向量: 四、 多元函數微分學的應用1. 曲面的切平面與法線2. 曲線練習：題型一 建立曲面的切平面和法線方程 例30. 例31. 練習：題型一 建立曲面的切平面和法線方程 例30. 例31.練習 練習 題型二 建立空間曲線的切線和法平面方程,練習 求曲線在點處的切線方程和法平面方程.練習(03數一) 練習 練習 題型二 建

8、立空間曲線的切線和法平面方程,練習 求3. 極值與最值1).無條件極值；定義:極大極小必要條件 充分條件2). 條件極值與拉格朗日乘數法3).最大最小值極值點 駐點3. 極值與最值1).無條件極值；定義:極大極小必要條件 充題型一 求無條件極值 例32求由方程所確定函數的極值.1) 在點處,極大值2) 在點處,極小值解2 配方 解1 ： 駐點題型一 求無條件極值 例32求由方程所確定函數的極值.1)例33. D注： 通過變形（如取對數,去根號）,把復雜函數轉化為簡單函數是極值問題的常用技巧。例34.例35例33. D注： 通過變形（如取對數,去根號）,把復雜函數轉例36B例37解法1:保號性 解法2:排除法 解法3：特殊函數D例36B例37解法1:保號性 解法2:排除法 練習（03數一）A練習（03數一）A題型三 求最大最小值 題型二 求條件極值練習 求函數在條件下的極值.解法2: 化為無條件極值.解法1: 拉格朗日乘數法,極小值8, 0練習題型三 求最大最小值 題型二 求條件極值練習 求函數在條B例38.A. 最大最小值點都在D的內部;B. 最大最小值點都在D的邊界上;C. 最大值點在D的