1、波動第十五章Wave Motion石子落在水面產生水波比較常見的機械波-水波當你向池塘扔一塊石子，將看到形成的水波以圓圈的形式從振源開始擴散。波動攜帶著水，從石子擊打水面的地方向外擴散；因此運動著的水攜帶者能量向外擴散。波僅僅使水發生上下運動，不會發生從中心向外的能量傳遞波僅僅使水發生上下運動，但是波可以攜帶能量從石子擊打水面的地方向外傳播。開篇問題- 請猜一猜比較常見的機械波-細繩上的波除此之外還有其他形式的波-電磁波和光波動是振動的傳播過程.振動是激發波動的波源.機械波電磁波波動機械振動在彈性介質中的傳播.交變電磁場在空間的傳播.15-1 波動的特征兩類波的不同之處機械波的傳播需有傳播振動

2、的介質;電磁波的傳播可不需介質.能量傳播反射折射干涉衍射兩類波的共同特征波源介質+彈性作用機械波機械波的形成產生條件：1）波源；2）彈性介質.機械波：機械振動在彈性介質中的傳播.15-1 波動的特征波動脈沖由波源向外傳播一個傳播的波包就相當于一個擾動振源相鄰部分之間的結合力導致了波包的向前傳播 波是運動狀態的傳播，介質的質點并不隨波傳播。注意波的傳播速度和質點的振動速度是兩個完全不同的速度。 如果振源以正弦方式振蕩，并且介質是完全具有彈性的，那么波在時間和空間上就具有正弦的形式。正弦波正弦波的物理量振幅A：表示波峰相對于平衡點的最大高度波長：兩個相鄰波峰的距離叫做波長波峰波谷周期 ：波前進一個

3、波長的距離所需要的時間.頻率 ：周期的倒數，即單位時間內波動所傳播的完整波的數目.波速 ：波動過程中，某一振動狀態（即振動相位）單位時間內所傳播的距離（相速）.注意周期或頻率只決定于波源的振動!波速只決定于媒質的性質！假設波長是5m，頻率3Hz，由于每秒有三個波峰通過某一點，而波峰與波峰之間的距離是5m，因此，第一個波峰在1s的時間內將向前傳播15m的距離，波形中的其他任意一點也是如此。故，波速是15m/s。假設水波相鄰的兩個波峰穿過碼頭的末端的時間間隔是0.5s，那么（a）頻率是0.5Hz；（b）波速是0.5m/s；（c）波長是0.5m；（d）周期是0.5s。練習B：橫波：質點振動方向與波的

4、傳播方向相垂直的波.（僅在固體中傳播 ）15-2 波的種類：橫波和縱波一、橫波和縱波 特征：具有交替出現的波峰和波谷.縱波：質點振動方向與波的傳播方向互相平行的波.（可在固體、液體和氣體中傳播） 特征：具有交替出現的密部和疏部. 注：在固體中可以傳播橫波或縱波，在液體、 氣體(因無剪切效應)中只能傳播縱波。振動方向傳播方向波谷波峰波密波疏橫波和縱波橫波：縱波：1、橫波的速度波的速度取決于波傳播過程中的介質的特性。二、波的傳播速度是介質收到的張力是介質單位長度的質量例題:導線上的波包，一個銅導線，長度是80.0m，直徑2.10mm，被系在兩個極點之間。一只小鳥落在銅導線的中間（取t=0時刻），并

5、同時沿著銅導線向兩個極點方向發送一個小的波包（波脈沖），脈沖在極點發生反射后又到達小鳥落點的時刻是（t=0.750s）,試求銅導線上張力的大小。解：波的傳播速度v =（80.0m/0.750s）=107m/s張力:2、縱波的速度B表示體積彈性模量, 液體或氣體的密度E表示材料的彈性模量，是材料的密度.例題：回聲定位是很多動物所使用的一種感知世界的能力，比如蝙蝠、鋸齒鯨、海豚等。這些動物發射一個聲波脈沖（縱波），這個聲波脈沖被周圍物體反射以后，又再次被動物接收、感知。回聲定位的聲波頻率是100,000 Hz.（a）試估算海洋動物回聲定位聲波的波長；（b）如果障礙物距離海洋動物100m，試問，海洋

6、動物發射聲波以后多久能夠接收到被障礙物反射的聲波？解：（a）縱波在海水（海水的密度比純凈水稍大）中的波速可以得到：（b）聲波脈沖在動物和障礙物之間來回所需要的時間是：三、其他的波-地震波當地震發生的時候，可以產生橫波（S波）和縱波（P波）三、其他的波-海浪波線：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。波線的指向表示波的傳播方向。波陣面：在波動過程中，把振動狀態（相位）相同的點連成的面簡稱波面。波前：在任何時刻，波面有無數多個，最前方的波面即是波前。波前只有一個。平面波：波面為平面球面波：波面為球面柱面波：波面為柱面四、波線 波面 波前平面波球面波波線波陣面波陣面波線1、在各向同性介質中傳播時，波線和

7、波陣面垂直。注：2、在遠離波源的球面波波面上的任何一個小部份，都可視為平面波。15-3 波的能量對于頻率為f的正弦波，當波通過介質中的某個粒子時，粒子將做簡諧振動，如果假設粒子簡諧振動的最大位移（振幅）A,每個粒子的能量可以表示成:對于一個在彈性介質中傳播的三維波，質量波的能量與振幅的平方成正比，和頻率的平方成正比。能量傳播的平均功率：波的強度I：定義為在垂直于波的傳播方向上，單位面積平均功率。如果介質是各向同性的，隨著球面波向外傳播，波的能量將分布在更大的面積上。于是波的強度將變成：（W/m2）如果假設波的能量是常數，那么波的強度I與其到振源的距離r的平方成反比：如果考慮到振源距離分別是r1

8、和r2的兩個點若r1:r2=1:2則I1:I2=1:4因此因為三維球面波： 然而對于一維的橫波和縱波，在傳輸過程中面積不變，所以：例題15-4：地震強度；地震產生的P波穿越地殼在距離振源100km的地方被探測到的地震波功率是 試求：距離振源400km的地方探測到的地震波功率是多少？解：故有由于地震產生的是三維的球面波，因此有波源介質+彈性作用機械波機械波的形成產生條件：1）波源；2）彈性介質.機械波：機械振動在彈性介質中的傳播.橫波：質點振動方向與波的傳播方向相垂直的波.（僅在固體中傳播 ）橫波與縱波 特征：具有交替出現的波峰和波谷.縱波：質點振動方向與波的傳播方向互相平行的波.（可在固體、液

9、體和氣體中傳播） 特征：具有交替出現的密部和疏部.波的參數注意周期或頻率只決定于波源的振動!波速只決定于媒質的性質！1、橫波的速度2、縱波的速度平面波球面波波線波陣面波陣面波線1、在各向同性介質中傳播時，波線和波陣面垂直。注：2、在遠離波源的球面波波面上的任何一個小部份，都可視為平面波。波的能量波的能量與振幅的平方成正比，和頻率的平方成正比。能量傳播的平均功率：波的強度I：（W/m2）三維球面波： 一維波各質點相對平衡位置的位移波線上各質點平衡位置一 簡諧波的波函數15-4 行波的數學表示介質中任一質點（坐標為 x）相對其平衡位置的位移D隨時間的變化關系，即D（x，t)稱為波函數。沿著x軸向右

10、傳播的一維正弦波，t=0時刻，波的傳播方向上的x點偏離平衡位置的位移為：經過一定的時間t之后，波的每一部分都向前移動了vt的距離，如圖所示：波是振動狀態的傳播，因此在t時刻，x位置質點的運動是x-vt位置質點運動傳輸而來。因此t時刻x位置質點的運動與x-vt位置質點在t=0時刻的運動是相同的，即：1、已知t=0時刻的波的空間函數Wave at time t=0vtWave at time t向x軸正向(向右)傳播的正弦波波函數同理當波是沿X軸的負向，即向左傳播是，則x點的在t時刻的振動是從x+vt的位置位置傳輸而來，因此用x=x-vt來代入t=0時刻方程中的x即獲得t時刻的x質點振動方程。得向

11、x軸負向(向左)傳播的正弦波波函數當波動存在初位相時，則有:波函數 沿 軸正向 沿 軸負向 考慮到,波動方程還可以寫為波數在上面的公式中稱為相位因此在等相位的質點上，質點的振幅都是一樣的。兩邊對時間微分得：相速度因此波的傳播速度就是等相位面的傳播速度。對于正向傳播的波有,相同振動狀態滿足點O 的振動狀態點 Pt 時刻點 P 的運動t-x/u時刻點O 的運動 以速度v 沿 x 軸正向傳播的平面簡諧波 . 令原點O 的初相為零，其振動方程 點P 振動方程時間推遲方法2、已知波源的振動方程點 P 比點 O 落后的相位點 P 振動方程點 O 振動方程 波函數P*O相位落后法 沿 軸負向 點 O 振動方

12、程 波函數 沿 軸正向 O 如果原點的初相位不為零 質點的振動速度，加速度二 波函數的物理意義1 當 x 固定時， 波函數表示該點的簡諧運動方程.波線上各點的簡諧運動圖 2 當 一定時，波函數表示該時刻波線上各點相對其平衡位置的位移，即此刻的波形.OO 3 若 均變化，波函數表示波形沿傳播方向的運動情況（行波）. 時刻時刻練習D：一列波其中x的單位是米，t的單位是秒；試求波速是多少？（a）10m/s,(b)0.10m/s,(c)40m/s,(d)0.005m/s,(e) 例題15-5.行波， 手抓住一條水平放置的彈性長細繩的左端，手上下移動的頻率f=250Hz，幅度是2.6cm；繩子上的拉力1

13、40N，線密度 。當t=0時，繩子的末端有1.6cm正位移，且正在向下運動；試求：（a）波長（b）行波的方程。解：（a）波的速度：因此（b）在t=0，x=0時D=1.6cm， 由因此由于故行波方程為：得O11 12 圖A表示t = 0時的余弦波的波形圖，波沿x軸正向傳播；圖B為一余弦振動曲線. 則圖A中所表示的x = 0處振動的初相位與圖B所表示的振動的初相位 (C) 均為 (D) 依次分別為 與 (E) 依次分別為 與 (A) 均為零.(B) 均為D各質點相對平衡位置的位移波線上各質點平衡位置一 簡諧波的波函數15-4 行波的數學表示介質中任一質點（坐標為 x）相對其平衡位置的位移D隨時間的

14、變化關系，即D（x，t)稱為波函數。1、已知t=0時刻的波的空間函數Wave at time t=0vtWave at time t波函數 v沿 x軸正向 v沿 x 軸負向 點O 的振動狀態點 Pt 時刻點 P 的運動t-x/u時刻點O 的運動點P 振動方程時間推遲方法2、已知波源的振動方程點 P 比點 O 落后的相位點 P 振動方程P*O相位落后法 u 沿x 軸負向 點 O 振動方程 波函數 u沿x 軸正向 考慮到,波動方程還可以寫為波數例：波的傳播。一個向右傳播的波在t=0時刻各點的位置如圖所示，波速為v=10m/s.試求波動方程。解一、由t=0的波函數，從圖知所以波函數為二、由t=0時刻

15、O點的振動由圖可知：所以15-5* 波動方程假設波的振幅和波長相比是個小量，因此弦上每一點的振動方向假設只有垂直方向的振動； 由于1和2是小量，因此， 而得到又因為所以有一維的波動方程 在三維空間中的一切波動過程，只要介質無吸收且各向同性，都適合下式：對于球面波： 為什么樂隊合奏時人們能分辯出各種樂器的聲音？15-6 波的疊加原理 在靜水池中兩個不同的地點同時投入兩塊小石塊，它們將分別激起一列波，這些水面波在傳播過程中彼此相遇，并且會交叉而過，但不會改變原來的傳播特性，這些波的波前并不因為遇到其他波而改變形狀。這是為什么呢？1. 波的疊加 波傳播的獨立性：幾個波源產生的波，同時在一介質中傳播，

16、如果這幾列波在空間某點處相遇，那么每一列波都將獨立地保持自己原有的特性頻率、波長、振動方向等傳播。 波的疊加原理: 有幾列波同時在媒質中傳播時，它們的傳播特性（波長、頻率、波速、波形）不會因其它波的存在而發生影響。波的疊加原理沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加 正是這種波傳播的獨立性，在幾列波相遇或疊加的區域內，任一點處質點的振動位移是各個波單獨在該點所引起的位移的矢量和 矢量可以分解和合成。當幾列波同時在媒質中傳播時，它們在相遇處所激起的合振動是分振動的疊加。在圖中彈性細繩上有三列波，每一個都具有不同的振幅和頻率。某一時刻，三列波相遇，空間位置是x的空間一點上，合成波的振幅是三個分振動在此位置

17、振幅的代數和。這一合成波并不是簡單的正弦波。一個周期為T的復雜的周期性的波可以分解為許多純正弦波的線性疊加任意其他形式的波都可以看作是一系列純正弦波的線性疊加合成波可以看成是由許多振幅不同、波長不同、頻率不同的正弦波組成的例題15-17:在t=0時刻，三列波的波函數分別是： 其中A=1.0m， 在x=-0.4m-+0.4m的范圍內畫出三列波疊加之后得到的合振動的波形。解答：15-7 波的反射與 傳播（自學）15-8 波的干涉兩個波相遇時將會發生振動的疊加，產生強弱不同的振幅。（a）波峰與波谷相遇時，產生干涉相消。 (b)波峰和波峰相遇時，產生干涉加強。 在兩列相遇區域內，某些點處振動始終加強，

18、另一些點處的振動始終減弱，這一現象稱為波的干涉。波發生相干的條件相干條件：振動方向相同頻率相同相位相同或相位差恒定相干波：滿足相干條件的幾列波稱為相干波。相干波源：能發出相干波的波源稱為相干波源。兩列分振動的相位相同，產生干涉加強 。兩個分振動的相位相反，產生干涉相消。兩列水波的相位差通常介于兩種情況之間，發生圖c部分干涉減弱的情況 一般情況S1和 S2單獨存在時，在P點引起的振動的方程yt2+r=2222cos)A(cos=+ty222A)(St=y111Acos)(+Sr1r2*1s*2sP.+t=y211Acos)(11r兩個相干波波源S1和 S2的振動方程分別為：cos yt2=+tt

19、tr=yyy2111112222222AAAcoscoscos)(+(1A1(SSr11r*22ssP.r為了方便起見，我們將 定義為P點兩個獨立振動的相位差 顯然，P 點的合振動為:*其中對于P點為恒量為恒量，因此 A 也是恒量，并與 P點空間位置密切相關。請問:何時A取最大值,何時取最小值?（合振幅最大，相干增強）（合振幅最小，相干減弱）當為其他值時，合振幅介于波的干涉若1=2，上述條件簡化為： （合振幅最大）（合振幅最小）波程差 兩列相干波源為同相位時，在兩列波疊加的區域內，在波程差等于零或等于半波長的偶數倍的各點，振幅最大（合振幅最大）波程差在波程差等于半波長的奇數倍的各點，振幅最小。

20、 （合振幅最小）因波的強度正比于振幅的平方若I1=I2，疊加后波的強度：兩列波疊加后的波的強度I干涉現象的強度分布波的干涉 顯然疊加后波的強度I隨 變化.從圖中可以看到:在 的偶數倍的一些點處的振幅始終加強,而在 的奇數倍處的振幅始終達到最小,這一現象稱為波的干涉。干涉現象的強度分布干涉是波動的特性之一。15-9 波的共振 駐波當手上下擺動的頻率適當的時，繩子上沿著兩個相反方向傳播的波干涉之后將產生一列“大振幅、靜止不動”的波 ，稱為駐波。干涉相消的點為波節，相干增長得點為波腹。兩個點間可以有多個頻率的駐波，最低為基頻。然后可以是二倍、三倍、四倍.。一 駐波的產生 振幅、頻率、傳播速度都相同的

21、兩列相干波，在同一直線上沿相反方向傳播時疊加而形成的一種特殊的干涉現象.15-9 波的共振 駐波駐 波 的 形 成15-9 波的共振 駐波干涉相消的點為波節(Node)，相干增長得點為波腹(Antinode)。兩個點間可以有多個頻率的駐波，最低為基頻。然后可以是二倍、三倍、四倍.。二倍頻基頻之后的振動模式是具有兩個波腹的“二階諧頻”基頻通常也稱之為“一階諧頻”對于第三階和第四階諧頻：以此類推下標n表示諧波的階數二、 駐波的頻率因此有：因此每一個共振頻率都是基頻的整數倍。由其中是基頻例題15-8：琴弦。 一個琴弦1.10m長，質量是9.00g。（a）如果要產生一個基頻是131Hz的振動，所需要的

22、琴弦上的繩子張力是多大？（b）前四階的諧頻頻率分別是多少？解：（a）基頻的波長是（b）二、三、四階諧頻頻率分別是基頻頻率的二、三、四倍，分別是：262Hz，393Hz和524Hz.琴弦上的波速由大學物理課程的班級負責人按下面時間和地點集體購買和領取大學物理第二冊教材（下冊價格與上冊相同）松江校區：5月16日(周一)9:00-17:00學生公寓東八角亭（11宿14宿中間）廣而告之期中考試取消波的疊加 波傳播的獨立性：幾個波源產生的波，同時在一介質中傳播，如果這幾列波在空間某點處相遇，那么每一列波都將獨立地保持自己原有的特性頻率、波長、振動方向等傳播。 在兩列相遇區域內，某些點處振動始終加強，另一

23、些點處的振動始終減弱，這一現象稱為波的干涉。波的干涉波發生相干的條件相干條件：振動方向相同頻率相同相位相同或相位差恒定 一般情況cos=+ty222A)(St=y111Acos)(+Sr1r2*1s*2sP.兩個相干波波源S1和 S2的振動方程分別為：yt2+tr=y2112222Acoscos)(1A1(r*其中對于P點為恒量（合振幅最大，相干增強）（合振幅最小，相干減弱）當為其他值時，合振幅介于波的干涉若1=2，上述條件簡化為： （合振幅最大）（合振幅最小）兩列波疊加后的波的強度I干涉現象的強度分布駐 波 的 形 成駐波的數學表示：駐波可以看作是兩列沿著相反方向傳播的波組成的駐波的合振動表達式可以寫成：根據三角變換關系可以將上試化簡為：駐波的振幅與位置有關各質點都在作同頻率的簡諧運動當x=0時，D=0 滿足邊界條件當x=l時， 因此有得到： 駐波方程 討論01相鄰波腹（節）間距 相鄰波腹和波節間距 1）振幅 隨 x 而異， 與時間無關.波節波腹 2）相鄰兩波節之間質點振動同相位，任一波節兩側振動相位相反，在波節處產生 的相位躍變 .（與行波不同，無相位的傳播）.例題15-9：波形。繩子的一端系在x=0處，繩子上有兩列沿著相反方向傳播的波，其振動方程分別是： ，其中x的單位是m，