1、由蓮山課件提供/ 資源全部免費由蓮山課件提供/ 資源全部免費2.5向量的應用(一)課時目標經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題等的工具，發展運算能力和解決實際問題的能力1向量方法在幾何中的應用(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：ab(b0)_.(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價條件：非零向量a，b，ab_.(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cos _.(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a|_.2直線的方向向量和法向量(1)直線

2、ykxb的方向向量為_，法向量為_(2)直線AxByC0的方向向量為_，法向量為_一、填空題1.如圖，在ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若eq o(AB,sup6()meq o(AM,sup6()，eq o(AC,sup6()neq o(AN,sup6()，則mn的值為_2在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，則BC邊的中線AD的長是_3已知平面上三點A、B、C滿足|eq o(AB,sup6()|3，|eq o(BC,sup6()|4，|eq o(CA,sup6()|5.則eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6(

3、)eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()_.4點O是三角形ABC所在平面內的一點，滿足eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()，則點O是ABC的_(從重心、垂心、外心、內心中選擇)5已知直線l1：3x4y120，l2：7xy280，則直線l1與l2的夾角是_6若O是ABC所在平面內一點，且滿足|eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()|eq o(OB,sup6()eq o(OC,

4、sup6()2eq o(OA,sup6()|，則ABC的形狀是_三角形7設平面上有四個互異的點A、B、C、D，已知(eq o(DB,sup6()eq o(DC,sup6()2eq o(DA,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，則ABC的形狀一定是_三角形8已知點A(eq r(3)，1)，B(0,0)，C(eq r(3)，0)，設BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有eq o(BC,sup6()eq o(CE,sup6()，其中_.9已知非零向量eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()滿足eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(

5、AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)eq o(BC,sup6()0且eq f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)eq f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)eq f(1,2)，則ABC的形狀是_三角形10在直角坐標系xOy中，已知點A(0,1)和點B(3,4)，若點C在AOB的角平分線上且|eq o(OC,sup6()|2，則eq o(OC,sup6()_.二、解答題11在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的角平分線的方程12P是正方形ABCD對角線BD上一點，PFCE

6、為矩形求證：PAEF且PAEF.能力提升13已知點O，N，P在ABC所在平面內，且|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|eq o(OC,sup6()|，eq o(NA,sup6()eq o(NB,sup6()eq o(NC,sup6()0，eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()，則點O，N，P依次是ABC的_重心、外心、垂心； 重心、外心、內心；外心、重心、垂心； 外心、重心、內心(注：三角形的三條高線交于一點，此點稱為三角形的垂心)14求證

7、：ABC的三條高線交于一點1利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標系，求出題目中涉及到的向量的坐標這兩種思路都是通過向量的計算獲得幾何命題的證明2在直線l：AxByC0(A2B20)上任取兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則eq o(P1P2,sup6()(R且0)也是直線l的方向向量所以，一條直線的方向向量有無數多個，它們都共線同理，與直線l：AxByC0(A2B20)垂直的向量都叫直線l的法向量一條直線的法向量也有無數多個熟知以下結論，在解題時可以直接

8、應用ykxb的方向向量v(1，k)，法向量為n(k，1)AxByC0(A2B20)的方向向量v(B，A)，法向量n(A，B)2.5向量的應用(一)知識梳理1(1)abx1y2x2y10(2)ab0 x1x2y1y20(3)eq f(ab,|a|b|)eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1) r(xoal(2,2)yoal(2,2)(4)eq r(x2y2)2(1)(1，k)(k，1)(2)(B，A)(A，B)作業設計12解析O是BC的中點，eq o(AO,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(m,2)eq

9、o(AM,sup6()eq f(n,2)eq o(AN,sup6()，eq o(MO,sup6()eq o(AO,sup6()eq o(AM,sup6()(eq f(m,2)1)eq o(AM,sup6()eq f(n,2)eq o(AN,sup6().又eq o(MN,sup6()eq o(AN,sup6()eq o(AM,sup6()，eq o(MN,sup6()eq o(MO,sup6()，存在實數，使得eq o(MO,sup6()eq o(MN,sup6()，即eq blcrc (avs4alco1(f(m,2)1，,f(n,2)，)化簡得mn2.2.eq f(5,2)eq r(5)解

10、析BC中點為Deq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，6)，eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，5)，|eq o(AD,sup6()|eq f(5,2)eq r(5).325解析ABC中，B90，cos Aeq f(3,5)，cos Ceq f(4,5)，eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()0，eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()45eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)16，eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()53eq blc(rc)(avs4alco1

11、(f(3,5)9.eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()25.4垂心解析eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()0.eq o(OB,sup6()eq o(CA,sup6()0.OBAC.同理OABC，OCAB，O為垂心545解析設l1、l2的方向向量為v1，v2，則v1(4，3)，v2(1，7)，|cosv1

12、，v2|eq f(|v1v2|,|v1|v2|)eq f(25,55r(2)eq f(r(2),2).l1與l2的夾角為45.6直角解析|eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()|eq o(CB,sup6()|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|，|eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()2eq o(OA,sup6()|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|，|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|，四邊形ABDC是矩形，且BAC90.ABC是

13、直角三角形7等腰解析(eq o(DB,sup6()eq o(DC,sup6()2eq o(DA,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(DB,sup6()eq o(DA,sup6()(eq o(DC,sup6()eq o(DA,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()2|eq o(AB,sup6()|2|eq o(AC,sup6()|20，|eq o(

14、AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|，ABC是等腰三角形83解析如圖所示，由題知ABC30，AEC60，CEeq f(r(3),3)，eq f(|BC|,|CE|)3，eq o(BC,sup6()3eq o(CE,sup6().9等邊解析由eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)eq o(BC,sup6()0，得A的角平分線垂直于BC.ABAC.而eq f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)eq f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|

15、)coseq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()eq f(1,2)，又eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()0，180，BAC60.故ABC為正三角形10.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(10),5)，f(3r(10),5)解析已知A(0,1)，B(3,4)，設E(0,5)，D(3,9)，四邊形OBDE為菱形AOB的角平分線是菱形OBDE的對角線OD.設C(x1，y1)，|eq o(OD,sup6()|3eq r(10)，eq o(OC,sup6()eq f(2,3r(10)eq o(OD,sup6().(x1，y1)eq f(2,3r(

16、10)(3,9)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(10),5)，f(3r(10),5)，即eq o(OC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(10),5)，f(3r(10),5).11解eq o(AB,sup6()(3,4)，eq o(AC,sup6()(8,6)，A的角平分線的一個方向向量為：eq f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)eq f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)，f(4,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(3,5)e

17、q blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)，f(7,5).A的角平分線過點A.所求直線方程為eq f(7,5)(x4)eq f(1,5)(y1)0.整理得7xy290.12.證明以D為坐標原點，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，設正方形邊長為1，|eq o(DP,sup6()|，則A(0,1)，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(2),2)，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，0)，于是eq o(PA,sup6()eq

18、blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1f(r(2),2)，eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)1，f(r(2),2).|eq o(PA,sup6()|eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)2blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)2)eq r(2r(2)1)，同理|eq o(EF,sup6()|eq r(2r(2)1)，|eq o(PA,sup6()|eq o(EF,sup6()|，PAEF.eq o(PA,sup6()eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)1)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)0，eq o(PA,sup6()eq o(EF,sup6().PAEF.13解析如圖，eq o(NA,sup6()eq o(NB,sup6()eq o(NC,sup6()0，eq o(NB,sup6()eq o(NC,sup6()eq o(NA,sup6().依向