1、 PAGE PAGE 16 / 16【知識(shí)梳理】指數(shù)的運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)指數(shù)的運(yùn)算整數(shù)指數(shù)冪我們把 a nan次冪a叫做冪的底數(shù)n叫做冪的指數(shù)。在上述定義中， n為整數(shù)時(shí)， 這樣的冪叫做整數(shù)指數(shù)冪。整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：（1）aman=（2）(am )n （3）ama（4）(ab)m an3) 此外， 我們作如下規(guī)定： 零次冪： a0 0；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪： a n 1 (a n N)；an根式：n次方根： 一般地， 如果 xn axan次方根n1nN 。注：n an a當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，分別表示為n an a負(fù)數(shù)的偶次方根在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在；n a當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)正

2、數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)都表示n an 00 的任何次方根都是 0n 0 0。a n次方根叫做 a n次算數(shù)根。n an a當(dāng)n an a叫做根式n 叫做根指數(shù)a 叫做被開方數(shù)注：當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)， 當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)， a ；n ann anan ann ana(a 0)有理指數(shù)冪我們進(jìn)行如下規(guī)定：n a1an （ a 0）n a1m那么， 我們就將整數(shù)指數(shù)冪推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。此外， 下面定義也成立：ma n n am (a 0, m, n N * , n 1)ma nm1ma n1(a m,nN*,nn am注0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0n am規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，

3、 指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)冪推廣到了有理數(shù)指數(shù)冪。3) 有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（1）a r a a r s (a 0, r, s Q) ；（2）(ar)s ars(a 0,r,sQ)；（3）(ab)r ar as (a 0, b 0, r Q)題型一 根式與冪的化簡(jiǎn)與求值【例 1】.求下列各式的值：32232252663223225266427432【例 2】.計(jì)算下列各式的值：2173 2（1）0.06432()0 23 8160.75（2）383 0.002105 2301【例 3】.化簡(jiǎn)下列各式：1a2b3abab3a2b3abab31 b 0（2）1 a1 1a222a1 a1221 a

4、2【過(guò)關(guān)練習(xí)】41ab 413 253 253 253 253 a（2）38a3b12322a 4b3 23 ab a3x 112.1）12 x 1xx31x3 x3 11x 3 1x 3 1（2）(a3 a3)(a3 a3) a2(1a4)a2(1a4)2 a4 a4 1 aa1aa1a （2）4 (1x)3aa21343.下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的4 (1x)3aa2134x11(1) x11 1 (x 0);(2)6 y y3(y0);(3)x3 (x 0)(4) a4 (a 0)題型二 含附加條件的求值問題11若3a ，則下列等式正確的是（）3A.ab1B.ab1C.a

5、1D.a1（2）x3 x2 x x28 x27x2 x1 1x1 x2 x27x28 的值.2x 1y2的值；xxyxyxyxy已知abx2 6x40的兩個(gè)根，且axyxy【過(guò)關(guān)練習(xí)】abaabab已知2x2 a(常數(shù)），求8x 8 x的值.12已知a2 a133aa 的值.22a1 a122已知a2x 21，求2a3 x a3 x的值ax a x題型三 解含冪的方程與等式的證明【例 1】解下列方程（1）()x（2）4x 2x1 31411111111【例 2】已知ax3 by3cz4 ，且 1，求證(ax2 by2 cz2)3 a3 b3 c3xyz【過(guò)關(guān)練習(xí)】解下列方程 1x2（1）813

6、2x 9（2）22 x2 32x 1 0設(shè)abc 都是正數(shù)，且 4b 6c ，求證c 2 1 .2ab指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【知識(shí)梳理】指數(shù)函數(shù)函數(shù) y ax(a0,a叫做指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（1） 定義域 :實(shí)數(shù)集合 R ；（2）值域 ：y 0;（3） 奇偶性： 指數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)（4）a 1時(shí)， 函數(shù) y ax (a 0a (,上為增函數(shù)； 0 a 1y ax (a 0, a 1) 在 (,) 上為減函數(shù)；（5）函數(shù)值：x 0時(shí)，y 1,圖象恒過(guò)點(diǎn)（0，1；（6）a x 0 y 1a x 0 0 y 1.0 a 1, x 0時(shí)，0 y 1; 0 a 1, x 0 時(shí)， y 1.yax(a

7、2)(a)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求a.若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)9，求f(x)的解析式及f()的值.題型二 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域和值域【例 1】.求下列函數(shù)的定義域和值域13x（13xx(（3）y2x(3（2）y 2 x41 1 x22 x31（4）y 22】 1xyy31x 2, x 2,2的值域.4 23】ya22ax 1(a0且a14a的值.111x 2y的定義域和值域.12已知集合Ayy()x1, x R ,則滿足 A B B 的集合B 可以是（ ）121x 0 x.x1 x.xx223.3.y22x 2x1 2的定義域?yàn)镻 ，則下列結(jié)論一定正確的個(gè)數(shù)是（ ）。 M M M ； M ,1

8、；1 M ； 1 MA.2 A.2 個(gè)B. 3 個(gè)C. 4 個(gè)D. 5 個(gè)大小關(guān)系是（）。A:大小關(guān)系是（）。A:a b1c dB:ba 1d cC:1 a b d cD:a b1d c【例2】二次函數(shù)y=ax2+bx 與指數(shù)函數(shù)y=()x 的圖象只能是下圖中的（）ba【例3】函數(shù)yax3 3（a0，且a1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則定點(diǎn)P的坐標(biāo).【例 4】.畫出函數(shù) y=2|x-1|的圖像，并根據(jù)圖象指出這個(gè)函數(shù)的一些重要性質(zhì).，值域?yàn)?，則區(qū)間 的長(zhǎng)度的最大值與最小值的差.【例 【例 1】.如圖是指數(shù)函數(shù)： y ax ， y bx ， y cx ， y d x 的圖象，則 a、b、c、d 與 1

9、 的【例【例5.定義區(qū)間,x x )的長(zhǎng)度為xx .已知函數(shù)y 2x的定義域?yàn)?212214.f (4.f (x axb 的圖象如圖所示，其中ab 為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）3.x01b xa （）A.BCD【過(guò)關(guān)練習(xí)】ff(x) ax(a0a) 0,2內(nèi)的值域是a2，則函數(shù)y f(x) 的圖像大致是（）2.2.已知y =()x ,y =3x,y =10-x,y =10 x,則在同一坐標(biāo)系它們的圖象 (113234)A.0A.0ba1B.0ab1C.1baD.1ab5.5.已知ab1f(xax b的圖象不經(jīng)過(guò)（）。A: 第一象限B: 第二象限C: 第三象限D(zhuǎn): 第四象限6.6.yax b1

10、(a0a的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，則有（ ）ab1B.0ab1C.0ab0D.ab0題型四 指數(shù)及指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用題型四 指數(shù)及指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用a【例 1】函數(shù) 且 a1）在1，3上的最大值比最小值大 2 ，則 a=。【例 2【例 2】.比較下列各題中兩個(gè)值的大?。海?） 5 1.8 5 2.5 7, 7（2） 2 0.5 3 0.5 3, 4（3）0.20.3,0.30.2【例 3】.求滿足下列條件的x 的取值范圍（1）3x1 9x（2）0.2x 25a5x ax7 (a 0,a 11x22x33的單調(diào)區(qū)間；y【例4】求函數(shù)5f (x) 2x1 4x在區(qū)間（0,1）上的單

11、調(diào)性，并證明【過(guò)關(guān)練習(xí)】【過(guò)關(guān)練習(xí)】4 4 133,23,223 313 , 42 1()x 1()x7,x0 2，若f(a)1，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍.x,x 03.3.f( )x 21x 2(a1) x2在區(qū)間(,4上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.4.4.討論函數(shù)y 的單調(diào)性 1x 1x14 2(1 3a)x 10a, x 75.已知函數(shù) f (x) ax7,x ，是定義在R 上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍.題型五 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性題型五 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性【例【例】設(shè)函數(shù)f(x)kx-（a，且）.（1）求常數(shù)k 的值；（2）a1，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性（不需要證明

12、），f (x2 2x) f (4 x2 ) .【例 2】.已知f(x)是定義在（-1,1）上的奇函數(shù)，當(dāng)x ) f(x)2x4x 1求 f(x在（-1,1）上的解析式；求 f(x.【過(guò)關(guān)練習(xí)】f(x2x 1是奇函數(shù)，則使f(x)3成立的的x的取值范圍.2x a已知 f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間,0上單調(diào)遞.若實(shí)數(shù)a滿足 f(2a11 ) f(2) 則a的取值范圍.15x,x0函數(shù) f(x)則該函數(shù)為（）5x ,x0A.單調(diào)遞增函奇函數(shù)B.單調(diào)遞減函數(shù)，偶函數(shù)C.單調(diào)遞增函數(shù)，偶函數(shù)D 單調(diào)遞減函數(shù)，奇函【題型六】 指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用【題型六】 指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用【例 1】.某

13、地下車庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下，測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常4 分鐘后測(cè)得車庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm4 32ppm，經(jīng)檢驗(yàn)知該地下車庫(kù)一氧化碳濃度y(ppm)與棑氣時(shí)間t(分存在函數(shù)關(guān)系 2(c，m 為常). 1mt(1)c，m 的值；(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm 為正常，問至少排氣多少分鐘，這個(gè)地下車庫(kù)中的一氧化碳含童才能達(dá)到正常狀態(tài)？【過(guò)關(guān)練習(xí)】1.1.某工廠2016 年12 月份的產(chǎn)值是這年1 月份產(chǎn)值的k 倍則該廠在2016 年度產(chǎn)值的月平均增長(zhǎng)率 我國(guó)我國(guó)2010 年底的人口總數(shù)為M,人口的年平均自然增長(zhǎng)率為p,到2020 年我國(guó)

14、人口總數(shù).【補(bǔ)救練習(xí)】35 135 13 a5311B.3 x2 x2C.a2a4a 81 a11(1)2 48A.aD. 2xD. 2x13 (x 3 2x 32112) 14x2.求下列各式的值：3（1）252（2）253225271 4 （3）9 643 03.化簡(jiǎn)下列各式3 a3.化簡(jiǎn)下列各式3 a2 a 6 a（2）a3b2 2b3 3a6b6 21 11 115 4.4.設(shè)a 213 123 113 3, b 3, c 3，則 a，b，c 的大小關(guān)系是?！眷柟叹毩?xí)】【鞏固練習(xí)】.已知函數(shù)f (x) ax1(x0)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中a ,a 1，求a 的值以及f(x)的值域.2.已知函數(shù)f(x)5x ,g(x)ax2 x(aR)，若f(g(1)1，則a=.a, a 定義運(yùn)算ababa b，如121，則函數(shù)f(x)2x 2x 的值域.xax (a xax (a 1) 的圖象的大致形狀是(x)A.B.C.D.設(shè)0 xA.B.C.D.y 4x 2 3 2x 的最大值和最小值y a2x 2ax 1a1，在區(qū)間上的最大值是14a 的值【拔高練習(xí)】1.1.f (x)cx 1,0 x cf (c2) 98c2x21,c x1（