1、第四章 量綱分析和相似原理 學習要點：量綱和量綱和諧原理。 量綱分析方法：瑞利法和定理。 相似概念、相似準則： 雷諾準則Re、弗勞德準則Fr、歐拉準則Eu 1第一節 量綱分析(因次分析)Dimensional Analysis一、量綱和單位1、概念 單位Unit ：量度各種物理量數值大小的標準， 取用標準不同，被量度的物理量具有不同量值； 如長度單位為m或cm等。“量”的表征量綱Dimension：撇開單位的大小，表征物理量的性質和 類別。 如長度量綱為L。 “質”的表征物理量自身的物理屬性量綱為量度物理屬性而規定的量度標準單位長度：物理屬性是線性幾何量，量度單位 22、量綱與單位的區別量綱：

2、物理量的實質，不含有人為的影響單位：大小是人為規定的，含有人的意志影響無量綱量：不具量綱的量，稱為數，如圓周率等。 有量綱量：由量綱和單位兩個因素共同決定，含有人的意志的影響。3、基本量綱與導出量綱 根據物理量的量綱間關系 基本量綱：具有獨立性，不能由其他量綱推導出來導出量綱：可由基本量綱導出的量綱力學的基本量綱體系M- L-T: 取質量M，長度L、時間T。七種量綱構成所有物理量（對應國際單位制中m 、kg、s、A、K、mol、cd ）A= L2 = ML-3 F = MLT -2 3二、無量綱量 1、定義 當量綱公式中各量綱指數=0時， 則q= 1，此時q為無量綱數，即為純數2、產生途徑由兩

3、個具有相同量綱的物理量相比得到 線應變=l/l 相對粗糙度ks/d 水力坡度J=hf /l 底坡i幾個有量綱量乘除組合得到 雷諾數 ，弗勞德數Fr =v2/gh3、特點：無量綱量的大小與所選單位無關，具有客觀性不受運動規模的影響，模型與原型常用同一無量綱數在超越函數（對數、指數、三角函數）運算中，均應用無量綱量。5三、量綱和諧原理Theory of Dimensional Homogeneity 1、簡單表述： 凡是正確反映客觀規律的物理方程，其各項的量綱都必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。2、重要性一個方程在量綱上應是和諧的，所以可用來檢驗物理方程或經驗公式的正確性和完整性

4、根據量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數可用來建立物理方程式的結構形式。為科學地組織實驗過程、整理實驗成果提供理論指導n作為無量綱量處理P1066第二節 量綱分析法 應用量綱和諧原理探求個物理量之間關系的方法一、瑞利法（Rayleigh）量綱和諧原理的直接應用1、 確定與所研究的物理現象有關的n 個物理量； f ( q1 , q2 , q3 , , qn ) = 02、 寫出各物理量之間的指數乘積的形式，如：3、 根據量綱和諧原理，等式兩端的量綱應該相同4、將量綱式中各物理量的量綱表示為基本量綱的指數乘積形式，并根據量綱和諧原理，確定物理量指數a，b，p，代入指數方程式即得各物理量之間的關

5、系式7應用范圍：一般情況下，要求相關物理量個數 n 不超過4個，待求量綱指數不超過3個。 簡單問題例1求水泵輸出功率N(單位時間水泵輸出能量)表達式找出同N 有關的物理量，包括流量Q、揚程H，容重(單位體積水的重量)指數乘積關系式 基本量綱（M、L、T）表示各物理量量綱 量綱和諧原理求量綱指數 M：1=a L: 2= -2a+3b+c T : -3= -2a-ba=1，b=1，c=182）確定基本量：從n個物理量中選取m個基本物理量 對于不可壓縮流體流動m=3，即幾何、運動和動力學量各選用一個，用q1、 q2、 q3表示 管流d， 明渠流H， ， 。3）基本量依次與其余物理量組成項，即 4）滿

6、足為無量綱項， 定出上面各項中基本量的指數ai , bi , ci5）整理方程式 3、應用范圍 對相關物理量個數 n 沒有限制，應用更為普遍。10例2 為了實驗研究水流對光滑球形潛體的作用力，要求預先做出實驗的方案。解：水流對光滑球形潛體的作用力D與流速v、潛體直徑d、水的密度、水的粘滯系數等諸物理量有關應用量綱分析方法組織實驗，首先找出有關量 由定理，選v、d、為基本量，組成各項 12動力粘滯系數M: 1=c2L: -1=a2+b2-3c2T: -1=-a2c2=1a2=1b2=114阻力系數CD= F(Re)量綱分析法是溝通流體力學理論和實驗間的橋梁15例3管中紊流，單位管長沿程水頭損失hf /L，取決于下列因素：流速v，管徑D，重力g，動力粘度，管壁粗糙高度ks和密度。 試用定理分析確定方程的一般形式 解：取v， d， 為基本變量，則的個數 n-m=7-3=4(0,0,0)(1,1,1)(0,1,0)(2,-1,0)16進行量綱分