1、學習幫手學習幫手管理運籌學（第二版）課后習題參考答案第1章線性規劃（復習思考題）1什么是線性規劃？線性規劃的三要素是什么？答：線性規劃（LinearProgramming,LP）是運籌學中最成熟的一個分支,并且是應用最廣泛的一個運籌學分支。線性規劃屬于規劃論中的靜態規劃，是一種重要的優化工具，能夠解決有限資源的最佳分配問題。建立線性規劃問題要具備三要素：決策變量、約束條件、目標函數。決策變量是決策問題待定的量值，取值一般為非負；約束條件是指決策變量取值時受到的各種資源條件的限制，保障決策方案的可行性；目標函數是決策者希望實現的目標，為決策變量的線性函數表達式，有的目標要實現極大值，有的則要求極

2、小值。2求解線性規劃問題時可能出現幾種結果，哪種結果說明建模時有錯誤？答：（1）唯一最優解：只有一個最優點；（2）多重最優解：無窮多個最優解；（3）無界解：可行域無界，目標值無限增大；（4）沒有可行解：線性規劃問題的可行域是空集。當無界解和沒有可行解時，可能是建模時有錯。3什么是線性規劃的標準型？松弛變量和剩余變量的管理含義是什么？答：線性規劃的標準型是：目標函數極大化，約束條件為等式，右端常數項b0，決策變量滿足非負性。i如果加入的這個非負變量取值為非零的話，則說明該約束限定沒有約束力，對企業來說不是緊缺資源,所以稱為松弛變量；剩余變量取值為非零的話,則說明“V型約束的左邊取值大于右邊規劃值

3、，出現剩余量。4試述線性規劃問題的可行解、基礎解、基可行解、最優解的概念及其相互關系。答：可行解：滿足約束條件AX二b,X0的解,稱為可行解。基可行解：滿足非負性約束的基解，稱為基可行解。可行基：對應于基可行解的基，稱為可行基。最優解：使目標函數最優的可行解，稱為最優解。最優基：最優解對應的基矩陣，稱為最優基。它們的相互關系如右圖所示：5用表格單純形法求解如下線性規劃。maxZ=4x+x+2x1238x+3x+x2十123匸6x+x+x0123解：標準化maxZ=4x+x+2xTOC o 1-5 h z1238x+3x+x+x=21234012345oj0-1/23/2-1/202x28311

4、00 x6-2-20-11oj-12-50-20故最優解為X*二(0,0,2,0,6)T,即X二0,x二0,x二2，此時最優值為Z(X*)=4.1236表115中給出了求極大化問題的單純形表，問表中a,a,c,c,d為何值及變1212量屬于哪一類型時有：(1)表中解為唯一最優解；(2)表中解為無窮多最優解之一;(3)下一步迭代將以x代替基變量x；(4)該線性規劃問題具有無界解；(5)15該線性規劃問題無可行解。12d0,c0,c0,a0,；i24a2(4)c0,a;或者x為人工變114a22量，且c為包含M的大于零的數,a0,d0.21學習幫手學習幫手142學習幫手142學習幫手7用大M法求解

5、如下線性規劃。maxZ=5x+3x+6x123x+2x+x18123s十2x+x+3x16s.l.0123解：加入人工變量，進行人造基后的數學模型如下：maxZ=5x+3x+6x+0 x+0 x一Mx123456x+2x+x+x=1812342x+x+3x+x=161235x+x+x+x=101236x0(i=1,2,6)s.t.i列出單純形表536001816103918161039i18/116/310/16+6+M38/316/314/31/35/301-1/3038/316/314/31/35/301-1/302/31/3101/301/32/300-1/3138/51614/21+1

6、M31+-M300-2-1M30-1/20011/2-5/21/20101/2-1/21/2100-1/23/26j1/2000-3/2-3-M20 x4400111-35x1610201-13x2401-10-12j00-10-2-1-M故最優解為X*二(6,4,0,4,0,0)T,即X二6,x二4,x二0,此時最優值為123Z(X*)=42.8.A,B,C三個城市每年需分別供應電力320,250和350單位，由I,II兩個電站提供，它們的最大可供電量分別為400單位和450單位，單位費用如表116所示。由于需要量大于可供量,決定城市A的供應量可減少030單位,城市B的供應量不變,城市C的供

7、應量不能少于270單位。試建立線性規劃模型,求將可供電量用完的最低總費用分配方案。表116單位電力輸電費(單位：元)城市A城市AI15II21BC18222516ij解：設x為“第i電站向第j城市分配的電量”(i=1,2;j=1,2,3),建立模型如下：ij+21x+25x+16x212223maxZ=+21x+25x+16x212223111213x+x+x=400111213x+x+x=450s.ts.t.2223x+x2901121x+x2701323x+x0,i=1,2;j=1,2,3ij9.某公司在3年的計劃期內，有4個建設項目可以投資：項目I從第一年到第三年年初都可以投資。預計每年

8、年初投資，年末可收回本利120%，每年又可以重新將所獲本利納入投資計劃；項目II需要在第一年初投資,經過兩年可收回本利150%,又可以重新將所獲本利納入投資計劃，但用于該項目的最大投資不得超過20萬元；項目III需要在第二年年初投資，經過兩年可收回本利160%，但用于該項目的最大投資不得超過15萬元；項目IV需要在第三年年初投資,年末可收回本利140%，但用于該項目的最大投資不得超過10萬元。在這個計劃期內，該公司第一年可供投資的資金有30萬元。問怎樣的投資方案，才能使該公司在這個計劃期獲得最大利潤？解：設x表示第一次投資項目i,設x表示第二次投資項目i,設x表示第三次iii投資項目i，(i=

9、1,2,3,4)，則建立的線性規劃模型為maxZ=1.2x+1.6x+1.4x134x(i)+x(i)3012x(2)+x(1)1.2x(1)+30 x(1)x(1)13112x+x(1)=1.2x(2)+1.5x(1)+1.2x(1)+30 xxx(2)xX141211213t.x(1)202x(1)153x(1)0,i=1,2,3,4iii通過LINGO軟件計算得：x(1)=10,x(1)=20,x(1)=0,x(2)=12,x=44.1231110.某家具制造廠生產五種不同規格的家具。每種家具都要經過機械成型、打磨、上漆幾道重要工序。每種家具的每道工序所用的時間、每道工序的可用時間、每種

10、家具的利潤由表117給出。問工廠應如何安排生產，使總利潤最大？表117家具生產工藝耗時和利潤表生產工序所需時間(小時)每道工序可用12345時間(小時)成型346233600打磨435643950上漆233432800利潤（百元）2.734.52.53解：設x表示第i種規格的家具的生產量（i=1,2,5）,則imaxZ=2.7x+3x+4.5x+2.5x+3xTOC o 1-5 h z123453x+4x+6x+2x+3x360012345s十4x+3x+5x+6x+4x3950123452x+3x+3x+4x+3x0,i=1,2,5i通過LINGO軟件計算得：x=0,x=3&x=254,x=

11、0,x=642,Z=3181.1234511某廠生產甲、乙、丙三種產品，分別經過A，B，C三種設備加工。已知生產單位產品所需的設備臺時數、設備的現有加工能力及每件產品的利潤如表210所示。表118產品生產工藝消耗系數甲乙丙設備能力A（小時）111100B（小時）1045600C（小時）226300單位產品利潤（元）1064（1）建立線性規劃模型，求該廠獲利最大的生產計劃。（2）產品丙每件的利潤增加到多大時才值得安排生產？如產品丙每件的利潤增加到6，求最優生產計劃。3)產品甲的利潤在多大范圍內變化時，原最優計劃保持不變？(4)設備A的能力如為100+10q,確定保持原最優基不變的q的變化范圍。5

12、)如合同規定該廠至少生產10件產品丙，試確定最優計劃的變化。解：（1）設x,x,x分別表示甲、乙、丙產品的生產量,建立線性規劃模型123maxZ=10 x+6x+4x123x+x+x100123十10 x+4x+5x600sl1232x+2x+6x0123標準化得maxZ=10 x+6x+4x+0 x+0 x+0 x123456x+x+x+x=1001234stV10 x+4x+5x+x=60012352x+2x+6x+x=3001236x,x,x,x,x,x0123456列出單純形表cj10640009CBXBbx1x2x3x4x5x6i0 x41001111001000 x56001045

13、010600 x6300226001150j10640000 x44003/51/211/100200/310 x16012/51/201/1001500 x618006/550-1/51150cj02-10-106x2200/3015/65/3-1/6010 x1100/3101/6-2/31/600 x6100004-201c00-10/3-2/30j8/3故最優解為x二100/3,x二200/3,x二0,又由于x,x,x取整數,故四舍五入可123123得最優解為x=33,x=67,x=0,Z=732.123max（2）產品丙的利潤c變化的單純形法迭代表如下：3cj106c30009CBX

14、Bbx1x2x3x4x5x6i6x2200/3015/65/3-1/6010 x1100/3101/6-2/31/600 x6100004-201cj00c-320/3-10/3-2/30202要使原最優計劃保持不變，只要，3=C3-丁冬0，即于6367故當產品丙每件的利潤增加到大于6.67時，才值得安排生產。如產品丙每件的利潤增加到6時，此時66.67，故原最優計劃不變。（3）由最末單純形表計算出121c=一1一一c0,c=一10+c0,c二1一一c0,361431561解得6c、300丿3、3(100-20q)丿-20X=B-_1W=B解得-4q5，故要保持原最優基不變的q的變化范圍為-4

15、,5.(5)如合同規定該廠至少生產10件產品丙，則線性規劃模型變成maxZ=10 x+6x+4x123x+x+x100TOC o 1-5 h z123s.t.10 x+4x+5s.t.1232x+2x+6x103x,x,x0123通過LINGO軟件計算得到：x=32,x=58,x=10,Z=708123第2章對偶規劃(復習思考題)1對偶問題和對偶向量(即影子價值)的經濟意義是什么？答：原問題和對偶問題從不同的角度來分析同一個問題，前者從產品產量的角度來考察利潤，后者則從形成產品本身所需要的各種資源的角度來考察利潤，即利潤是產品生產帶來的，同時又是資源消耗帶來的。對偶變量的值y表示第i種資源的邊

16、際價值,稱為影子價值。可以把對偶問題的解iY定義為每增加一個單位的資源引起的目標函數值的增量。2什么是資源的影子價格？它與相應的市場價格有什么區別？答：若以產值為目標,則y是增加單位資源i對產值的貢獻,稱為資源的影子價格i(ShadowPrice)。即有“影子價格=資源成本+影子利潤”。因為它并不是資源的實際價格，而是企業內部資源的配比價格，是由企業內部資源的配置狀況來決定的，并不是由市場來決定，所以叫影子價格。可以將資源的市場價格與影子價格進行比較，當市場價格小于影子價格時，企業可以購進相應資源，儲備或者投入生產；當市場價格大于影子價格時，企業可以考慮暫不購進資源，減少不必要的損失。3如何根

17、據原問題和對偶問題之間的對應關系，找出兩個問題變量之間、解及檢驗數之間的關系？答：(1)最優性定理：設X,Y分別為原問題和對偶問題的可行解,且CX=bTY,則X,Y分別為各自的最優解。(2)對偶性定理：若原問題有最優解，那么對偶問題也有最優解，而且兩者的目標函數值相等。(3)互補松弛性：原問題和對偶問題的松弛變量為x和Y,它們的可行解SSX*,Y*為最優解的充分必要條件是Y*X=0,YX*=0-SS(4)對偶問題的最優解對應于原問題最優單純形表中，初始基變量的檢驗數的負值。若-Y對應于原問題決策變量X的檢驗數,則-Y對應于原問題松弛變量x的檢驗SS數。4已知線性規劃問題maxZ=4x+x+2x

18、1238x+3x+x2(第一種資源)123stI6x+x+x0123(1)求出該問題產值最大的最優解和最優值。(2)求出該問題的對偶問題的最優解和最優值。(3)給出兩種資源的影子價格，并說明其經濟含義；第一種資源限量由2變為4，最優解是否改變？.學習幫手.學習幫手學習幫手（4）代加工產品丁，每單位產品需消耗第一種資源2單位，消耗第二種資源3單位，應該如何定價？解：（1）標準化，并列出初始單純形表cj412009CBXBbxxxxxi0 x42831102/80 x58611018/6oj412004x1/413/81/81/8020 x13/26-5/41/4-3/4126oj0-1/23/2

19、-1/202x32831100 x56-2-20-11oj-12-50-20由最末單純性表可知，該問題的最優解為：X*二（0,020,6）t，即x=0,x=0,x=2,最優值為Z=4.123（2）由原問題的最末單純形表可知，對偶問題的最優解和最優值為：y=2,y=0,w=4.12（3）兩種資源的影子價格分別為2、0，表示對產值貢獻的大小；第一種資源限量由2變為4，最優解不會改變。（4）代加工產品丁的價格不低于2x2+0 x3=4.5.某廠生產A，B，C，D4種產品，有關資料如表26所示。表26資源消耗資源、產品資源供應量（公斤）原料成本（元公斤）ABCD甲23128002.0乙54341200

20、1.0丙345310001.5單位產品售價（元）14.52115.516.51）請構造使該廠獲利潤最大的線性規劃模型，并用單純形法求解該問題（不計加工成本）。2）該廠若出租資源給另一個工廠，構成原問題的對偶問題，列出對偶問題的數學模型，資源甲、乙、丙的影子價格是多少？若工廠可在市場上買到原料丙，工廠是否應該購進該原料以擴大生產？3）原料丙可利用量在多大范圍內變化，原最優生產方案中生產產品的品種不變即最優基不變）？（4）若產品B的價格下降了0.5元,生產計劃是否需要調整？解：（1）設x,x,x,x分別表示甲、乙、丙產品的生產量，建立線性規劃模型1234maxZ=x+5x+3x+4x12342x+

21、3x+x+2x800TOC o 1-5 h z1234十5x+4x+3x+4x1200 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document sl12343x+4x+5x+3x0,i=1,2,3,4i初始單純形表c15340009jiCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x58002312100800/30 x6120054340101200/40 x7100034530011000/4j1534000最末單純形表cj15340009iCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x51001/40-13/4011/4-14x420020-2101-15x2100

22、-3/4111/400-3/41j-13/40-11/400-1/4-1解得最優解為：X*二(0,100,0,200,100)T,最優值Z=1300.2）原問題的對偶問題的數學模型為minw=800y+1200y+1000y1232y+5y+3y1TOC o 1-5 h z1233y+4y+4y5.123sL彳y+3y+5y11232y+4y+3y4123y,y,y0123解得影子價格分別為2、125、25。對比市場價格和影子價格，當市場價低于影子價格時購進。3）原料丙可利用量在900,1100范圍內變化，原最優生產方案中生產產品的品種不變（即最優基不變）。（4）若產品B的價格下降了0.5元,

23、生產計劃不需要調整。學習幫手學習幫手20 x1學習幫手20 x1學習幫手6某企業生產甲、乙兩種產品，產品生產的工藝路線如圖21所示，試統計單位產品的設備工時消耗,填入表27。又已知材料、設備C和設備D等資源的單位成本和擁有量如表27所示。表27資源消耗與資源成本表產品資源、資源消耗資源成本資源擁有量甲乙元/單位資源材料（公斤）60502004200設備C（小時）3040103000設備D（小時）6050204500據市場分析，甲、乙產品銷售價格分別為13700元和11640元，試確定獲利最大的產品生產計劃。（D設產品甲的計劃生產量為x，產品乙的計劃生產量為x,試建立其線性規劃12的數學模型；若

24、將材料約束加上松弛變量x，設備C約束加上松弛變量x，設備D約34束加上松弛變量x，試化成標準型。5（2）利用LINDO軟件求得：最優目標函數值為18400，變量的最優取值分別為x=20,x=60,x=0,x=0,x=300,則產品的最優生產計劃方案是什么？并解釋12345x二0,x二0,x二300的經濟意義。345（3）利用LINDO軟件對價值系數進行敏感性分析,結果如下：ObjCoefficientRangesVariableCurrentCoefVariableCurrentCoefAllowableIncrease20088AllowableDecreasex24026.6773.33試

25、問如果生產計劃執行過程中，甲產品售價上升到13800元，或者乙產品售價降低60元，所制定的生產計劃是否需要進行調整？(4)利用LINDO軟件對資源向量進行敏感性分析,結果如下：RighthandSideRangesResourceCurrentRhsAllowableIncreaseAllowableDecrease材料4200300450設備C3000360900設備D4500Infinity300試問非緊缺資源最多可以減少到多少，而緊缺資源最多可以增加到多少？解：(1)建立的線性規劃模型為maxZ=200 x+240 x1260 x+50 x420012s十30 x+40 x3000s.l

26、.21260 x+50 x012將其標準化maxZ=200 x+240 x1260 x+50 x+x=4200TOC o 1-5 h z123c十30 x+40 x+x=3000s.t.212460 x+50 x+x=4500125x0,i=1,2,5i(2)甲生產20件,乙生產60件,材料和設備C充分利用,設備D剩余600單位。(3)甲上升到13800需要調整，乙下降60不用調整（4）非緊缺資源設備D最多可以減少到300，而緊缺資源材料最多可以增加到300,緊缺資源一設備C最多可以增加到360。第3章整數規劃（復習思考題）1整數規劃的類型有哪些？答：純整數規劃、0-1規劃和混合整數規劃。2試

27、述整數規劃分枝定界法的思路。答：（1）首先不考慮整數條件，求解整數規劃相應的線性規劃問題。若相應的線性規劃問題沒有可行解，停止計算，這時原整數規劃也沒有可行解。（2）定界過程。對于極大化的整數規劃問題，當前所有未分枝子問題中最大的目標函數值為整數規劃問題上界；在滿足整數約束的子問題的解中，最大的目標函數值為整數規劃問題的下界。當上下界相同時，則已得最優解；否則，轉入剪枝過程。（3）剪枝過程。在下述情況下剪除這些分枝：若某一子問題相應的線性規劃問題無可行解：在分枝過程中,求解某一線性規劃所得到的目標函數值Z不優于現有下界。（4）分枝過程。當有多個待求分枝時，應先選取目標函數值最優的分枝繼續進行分

28、枝。選取一個不符合整數條件的變量x作為分枝變量,若x的值是b*,構造兩個新iii的約束條件：xb*+1,分別并入相應的數學模型中,構成兩個子問題。iii對任一個子問題，轉步驟（1）3試用分枝定界法求如下線性規劃：maxZ=40 x+90 x129x+7x5612cx7x+20 x70Sl012x,x取整數12解：最優整數解為：丿:=4,x=2Z=340.空應=凹牛癥空11:匕界:1314有4最優整數解為：丿:=4,x=2Z=340.空應=凹牛癥空11:匕界:1314有4名職工,人的能力不同，每個人做各項工作所用的時間不同,所花費時間如表37所示。A=5,12=1：表37（單，位：分鐘）匕界:3

29、49下界*34117任務xi=43j1=2.z=340人員上界:340問指派哪個人去完成哪項工作，可使總的消耗時間最少？解:設xj=0，任務:不由人完完成，霸為個人i對于任務j的時間耗費矩陣，則建立整數規劃模型為：minZ二茲xtijiji=1j=1工X=1ijS.t.5014567x+x+x+x+x5012567x+x+x+x+x5012367x+x+x+x+x50123478012345x+x+x+x+x9023456x+x+x+x+x9034567s.t.x0,i=1,2,7ix取整數,i=1,2,7i解得：x=0,x=4,x=32,x=10,x=34,x=10,x=4,Z=942345

30、67第4章目標規劃（復習思考題）1.某計算機公司生產A,B,C三種型號的筆記本電腦。這三種筆記本電腦需要在復雜的裝配線上生產,生產一臺A,B,C型號的筆記本電腦分別需要5小時、8小時、12小時。公司裝配線正常的生產時間是每月1700小時,公司營業部門估計A,B,C三種筆記本電腦每臺的利潤分別是1000元、1440元、2520元，而且公司預測這個月生產的筆記本電腦能夠全部售出。公司經理考慮以下目標：第一目標：充分利用正常的生產能力，避免開工不足；第二目標：優先滿足老客服的需求,A,B,C三種型號的電腦各為50臺、50臺、80臺，同時根據三種電腦三種電腦的純利潤分配不同的加權系數；第三目標：限制裝

31、配線加班時間,最好不超過200小時；第四目標：滿足各種型號電腦的銷售目標,A,B,C三種型號分別為100臺、120臺、100臺,再根據三種電腦的純利潤分配不同的加權系數；第五目標：裝配線加班時間盡可能少。請列出相應的目標規劃模型,并用LINGO軟件求解。解：建立目標約束。（1）裝配線正常生產設生產A,B,C型號的電腦為x,x,x（臺），d-為裝配線正常生產時間未利用231數,d+為裝配線加班時間,希望裝配線正常生產,避免開工不足,因此裝配線目標約1束為mind-15x+8x+12x+dd+=17002311(2)銷售目標優先滿足老客戶的需求，并根據三種電腦的純利潤分配不同的權因子，A，B，C三種型號的電腦每小時的利潤是1000,1440,2520,因此,老客戶的銷售目標約束為5812min20d-+18d-+21d-34x+d-d+50122x+d-d+5033x+d-d+8044再考慮一般銷售。類似上面的討論，得到min20d-+18d-+21d-567x+d-d+100155x+d-d+12066x+d-d+10077(3)加班限制首先是限制裝配線加班時間，不允許超過200小時，因此得到mind+85x+8x+12x+d-d+190012388其次裝配線的加班時間盡可能少，即mind+15x+8x+12x+d-d+17