1、前面討論了求簡單結(jié)構(gòu)的位移：三角架以切代弧梁積分法（繁瑣）、疊加法（不方便） 在外力作用下，利用功能原理求結(jié)構(gòu)指定點位移的方法叫能量法。局限性1、能量法：第十三章 能量法能量法的特點1解題簡單、適用性廣；2不受材料和形狀限制，適用于線彈性、非線性和塑性 問題；（只討論線彈性問題）3可求解靜定與超靜定問題； 工程結(jié)構(gòu)形狀復(fù)雜，受力復(fù)雜。利用能量法可以求結(jié)構(gòu)任一指定點的任意方向的位移，且求解過程簡單。求位移的普遍方法功能原理 物體受力產(chǎn)生彈性變形時，外力作用點將沿力的方向產(chǎn)生位移，因而外力要作功，若不計動能的變化和其它的能量損失。外力功W物體所儲存的應(yīng)變能V 。2、應(yīng)變能和功能原理應(yīng)變能：在外力作

2、用下，物體因產(chǎn)生彈性變形而儲存的能量稱為彈性應(yīng)變能，也稱變形能。3、線彈性體（線彈性結(jié)構(gòu)）（1）材料服從胡克定律。（2）變形微小，各力的作用互不影響。（4）線彈性結(jié)構(gòu)受到充分約束，在任何外力作用下沒有 剛體位移。即：位移是由變形引起。討論對象：線彈性體。應(yīng)用疊加原理的條件（3）任一點的位移與載荷呈線性齊次關(guān)系。1、拉壓PlDl靜載P加載過程中始終有外力功PDlPDl應(yīng)變能xq(x)dxdxFN(x)FN(x)dFN (x)q(x)dx略去高階微量，認為dx只承受FN (x)P=FN應(yīng)變能密度（變形比能）P13-2 桿件變形能計算2、扭轉(zhuǎn)加載過程中始終有外力功me應(yīng)變能T=mel當扭矩隨截面位置

3、變化時me 靜載mel3、彎曲加載過程中始終有外力功mm應(yīng)變能M=mm 靜載純彎曲橫力彎曲M=M(x)理論證明：剪力對變形的影響很小，剪切應(yīng)變能遠遠小于彎曲應(yīng)變能。P1P2應(yīng)變能的特點：（2）應(yīng)變能的數(shù)值恒為正值；（3）應(yīng)變能為載荷的二次函數(shù)，同種類型荷載的變形能不能疊加。（1）基本變形的應(yīng)變能通式：F-廣義力泛指力或力偶矩；d-廣義位移為線位移或角位移；證明1） 共同作用下：F1LF2L2） 單獨作用下：3） 單獨作用下：證畢。F1LF2（4）彈性體中的應(yīng)變能只決定于外力和位移的最終值，與加載的次序無關(guān)；先施加P1再施加P2P1保持不變，作功為P1P2l1l2CABP2作功為總功為：AB又伸

4、長先施加P2再施加P1AB又伸長P2保持不變，作功為P1作功為總功仍為上述表達式。（5）應(yīng)變能是可逆的。(跳板跳水)分析： 求簡支梁外力P作用點C的撓度。例labPCAB1)求反力2) 彎矩方程AC段：CB段：( 0 x1 a)解：直接利用功能原理求位移的實例3) 由功能原理( 0 x2 b)結(jié)果大于零，說明位移的方向與力的方向一致。只適用于結(jié)構(gòu)上有一個載荷，要求載荷作用點沿載荷方向的位移。x1x2RARB利用能量法求解時，所列彎矩方程應(yīng)便于求解。13-3 應(yīng)變能的普遍表達式基礎(chǔ)知識 線彈性結(jié)構(gòu)上受一個外力作用，任一點的位移與該力成正比。廣義 線彈性結(jié)構(gòu)上任意一點的廣義位移與各廣義力成線性齊次

5、關(guān)系。 比例加載時，線彈性結(jié)構(gòu)上任一外力作用點沿外力方向的位移與該點的廣義力成正比。即：線彈性體的變形能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和。采用比例加載F1、F2、F3外力0比例01、 2、 3位移比例 應(yīng)變能只取決于受力變形的最終狀態(tài)，因此可采用便于計算的方式計算應(yīng)變能。克拉貝依隆原理對于組合變形Fs(x)Fs(x) k是用來修正橫力彎曲時切應(yīng)力不沿截面均勻分布的修正系數(shù)，它的數(shù)值和截面形狀有關(guān)。矩形k=6/5；圓形k=10/9。 對于雙向彎曲，彎矩沿形心主軸分解,換成 若桿件及桿系的變形是以彎曲變形為主的，因軸力和剪力遠小于彎矩對變形的影響，故在計算這類桿件的變形時，通常不計軸力

6、和剪力的影響。 例：試求圖示懸臂梁的應(yīng)變能，并利用功能原理求自由端B的撓度。解：變形能的應(yīng)用 1.計算變形能 2.利用功能原理計算變形 F例題：懸臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩Me作用。設(shè)EI為常數(shù)，試求梁的應(yīng)變能。LFMeAB解： 彎矩方程 變形能LFMeAB 當F和Me分別作用時 用普遍定理13-4 互等定理位移發(fā)生點荷載作用點F1F2F1F2F2F1功的互等定理:位移互等定理:即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2力在由F1力引起的位移上所作的功。即： F2引起的F1 作用點沿 F1方向的位移，等于同樣大小的力F1 引起的F2作用點沿 F2方向的位移。(1) 互等定理

7、只適用于線彈性結(jié)構(gòu)；說明：(2) 互等定理中的力與位移應(yīng)理解為廣義力和相應(yīng)的廣義位移。則位移互等定理中的相同大小的力為數(shù)值相同，位移相同也僅代表數(shù)值相同，量綱對應(yīng)。（3）這里是指結(jié)構(gòu)不可能發(fā)生剛性位移的情況下,只是由變形引起的位移. 例：求圖示簡支梁C截面的撓度。F 例：求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移 。F(a)FkAB1 2 3AB(b)例 （a）中Fk=10KN時，1、2、3點的撓度分別為 若（b）中1、2、3點作用荷載F1=50KN， F2=40KN，F(xiàn)3=20KN，求k點的撓度？解： 由功的互等定理即13-5 卡氏定理若只給 以增量 ，其余不變，在 作用下，原各力作用點將產(chǎn)生位移變形能

8、的增加量：略去二階小量，則：如果把原有諸力看成第一組力，把 看作第二組力，根據(jù)互等定理：所以：變形能對任一載荷Fi 的偏導(dǎo)數(shù)，等于Fi作用點沿Fi方向的位移卡氏第二定理舉例利用功能原理ABFLwA=？L/2L/2CABFwC=？ （1）卡氏第二定理只適用于線性彈性體說明： （2）Fi 為廣義力，i為相應(yīng)的位移一個力一個力偶一對力一對力偶一個線位移一個角位移相對線位移相對角位移（3）卡氏第二定理的應(yīng)用 （a） 軸向拉伸與壓縮 （b） 扭轉(zhuǎn) （c） 彎曲（4） 平面桁架（5） 組合變形例 外伸梁受力如圖所示,已知彈性模量EI.梁材料為線彈性體.求梁C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角.FABCMelaFRA

9、FRBAB:BC:ABClaFRAFx1x2解:MeFRBABClaFRAFx1x2Me（ ）例題 剛架結(jié)構(gòu)如圖所示 .彈性模量EI已知。材料為線彈性. 不考慮軸力和剪力的影響，計算C截面的轉(zhuǎn)角和D截面的水平位移.ABCDaa2aMe解 : 在C截面虛設(shè)一力偶 Ma , 在D截面虛設(shè)一水平力F.FRDFRAxFRAyMaFCD:CB:AB:x2x3ABCDaa2aMex1FRDFRAxFRAyMaF2axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（ ）MaF 例：求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移 。結(jié)果為負，說明位移與所虛加的力方向相反。13-7 單位荷載法 莫爾積分 一、莫爾定理的推導(dǎo) 求任意點

10、A的位移wA F1F2A計算彈性變形比較簡便的方法 A圖b 變形能為aA圖F1F2=1F0AF1F2圖cwAF0=1 （1）先在A點作用單位力F0 ,再作用F1、F2力（2）三個力同時作用時 任意截面的彎矩:變形能:莫爾積分（單位載荷法/單位力法） 桁架：二、普遍形式的莫爾積分 注意:上式中應(yīng)看成廣義位移,把單位力看成與廣義位移相對應(yīng)的廣義力.將計算撓度、轉(zhuǎn)角的公式寫成統(tǒng)一的形式若需要我們求結(jié)構(gòu)上兩點的相對位移，怎么辦？在兩點的相應(yīng)的位移處，施加一對方向相反的單位力，再用莫爾積分計算，即可求得相應(yīng)位移。若求兩個截面的相對轉(zhuǎn)角，就在兩個截面上作用轉(zhuǎn)向相反的一對單位力偶。三、使用莫爾定理的注意事項

11、 （5）莫爾積分必須遍及整個結(jié)構(gòu). （1）M（x）：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力; （3）所加廣義單位力與所求廣義位移之積,必須為功的量綱; （2） 去掉主動力,在所求 廣義位移點,沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時,結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力;M(x) （4） 與M（x）的坐標系必須一致,每段桿的坐標系可自由建立;M（x）（6）若積分為正，則1D為正，說明D方向與相應(yīng)單位力相同。求A點豎直位移。求A點水平位移。AAA求A點轉(zhuǎn)角。“相應(yīng)” 的含義結(jié)構(gòu)受力如圖APq111A B求A、B兩點相對位移。1111 1+ 2= AB1 1+ 1 2= 1 AB12A B求A、B兩點相對轉(zhuǎn)角。結(jié)構(gòu)受力如圖qA BP1P2利用

12、單位載荷法，求線彈性結(jié)構(gòu)位移的步驟：1、計算載荷作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。（內(nèi)力方程要簡單，便于積分）2、計算單位載荷作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。（畫出單位載荷作用圖！）3、代入公式計算。 計算剛架的位移時，一般忽略軸力、剪力。x1baqABC x2x1求C點撓度ABC 1x2baPABC 求A點轉(zhuǎn)角AB1x1x2C x1x2例1：試用莫爾定理計算圖(a)所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。例題 2 已知如圖，求A點的垂直位移及B截面的轉(zhuǎn)角。BC段：AB段：x1x2PabABCEIEIx1x2ABC1BC段：AB段：解：（）(1)載荷作用于結(jié)構(gòu)的內(nèi)力(內(nèi)側(cè)受拉為正)(2)單位載荷作用于結(jié)構(gòu)的內(nèi)力(3)代入公式求yA

13、例題 2 已知如圖，求A點的垂直位移及B截面的轉(zhuǎn)角。BC段：AB段：x1x2PabABCEIEI解：(1)載荷作用于結(jié)構(gòu)的內(nèi)力x1x2ABC1求BBC段：AB段：(2)單位載荷作用于結(jié)構(gòu)的內(nèi)力(3)代入公式負號表示B與單位力偶方向相反，順時針。考慮BC 桿軸力對A點豎直位移的影響。PabABCEIEI結(jié)論：軸力對細長桿的位移影響很小，一般忽略不計。BC 段：FN= PA點豎直向下的位移增加l。設(shè)桿的截面為圓形，ab4d ，比較l 和 yA ：C aaqABEI例3：求簡支梁A端轉(zhuǎn)角。解：CB段：AC段：1.載荷作用下的內(nèi)力(先求支反力)2.單位載荷作用下的內(nèi)力CB段：AC段：3.代入公式計算。

14、1x1x2x1x2ABC 13-8 計算莫爾積分的圖乘法 等直桿的情況下,莫爾積分中的EI為常量,可提到積分號外面只需計算: 因為 是由單位力或單位力偶引起的彎矩, 故沿桿長方向的 圖一般是由直線或折線組成. M(x)圖一般是曲線.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMM常見幾何圖形的面積和形心公式如下：二次凹拋物線bChbChC二次凸拋物線頂點：切線水平，即剪力為零。b二次凸拋物線Ch頂點lab三角形Chl直角三角形hC頂點頂點注意：(5)用疊加法作彎矩圖求解較容易。（2）當直線彎矩圖分段時，必須分段圖乘，然后求和。（3）當M 圖為直線時，圖乘關(guān)系可顛倒。縱坐標（4）其它內(nèi)力也

15、有類似的圖乘關(guān)系。w 曲線彎矩圖的面積；曲線彎矩圖面積的形心對應(yīng)的直線彎矩圖的值。乘積有正負。（1）M、在桿同側(cè)（符號相同），乘積為正。l/4qABEIlABl1B Al/2l/21求梁中點的撓度。求B點轉(zhuǎn)角 。分兩段一段ABl11求B點轉(zhuǎn)角。載荷彎矩圖為直線，圖乘關(guān)系可以顛倒。ABlmmw 曲線彎矩圖的面積；曲線彎矩圖面積的形心對應(yīng)的直線彎矩圖的值。其它內(nèi)力的圖乘關(guān)系：只考慮彎矩時：疊加法作載荷彎矩圖可以分別畫各個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu) 的彎矩圖。也可以畫到一個圖中。桿件異側(cè)受拉，畫兩側(cè)；桿件同側(cè)受拉：先畫直線彎矩圖，以此為 基線，再畫另一彎矩圖。qa2/2C AB利用疊加法畫彎矩圖。qAB2a

16、aC C qAB qa2/2 疊加法：幾個載荷共同作用所引起的某一截面的彎矩，等于各載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)時所引起的彎矩總和。注意：彎矩圖的疊加是縱坐標的疊加！C AB 求C點撓度。qAB2aaC qa2/2C1w 1w 2C2w 3C3（1）疊加法作載荷彎矩圖（2）作單位力彎矩圖（3）進行圖乘解 ：qa2/2C qABEIaaaD qa2/2C qABEIaaaD C qABEIaaaD （1）疊加法作載荷彎矩圖（2）作單位力彎矩圖1aw 3w2（3）進行圖乘為負，方向向上。C1C2C3C qABEIaaaD 解 ：例：已知如圖，利用圖乘法求D點豎直位移。w 1C qABEIaaaD qa2/2

17、qa2/2（1）疊加法作載荷彎矩圖（2）作單位載荷的彎矩圖1簡化作法解 ：例：已知如圖，利用圖乘法求D點豎直位移和轉(zhuǎn)角。a1求D點轉(zhuǎn)角 1 111l l l 解：例 求圖示剛架C點的豎直位移和水平位移。已知EI。qllBA221ql221ql221qlM圖 例：圖示剛架，EI=const。求A截面的水平位移 AH 和轉(zhuǎn)角A 。CL12TU41解： 例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。LFF解（1）求自由端的撓度Fm=1(2) 求自由端的轉(zhuǎn)角例：試用圖乘法求所示簡支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。qM解（1）簡支梁的最大撓度（2）求最大轉(zhuǎn)角最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在兩個支座處 例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。CL12TU