1、十、解直角三角形葛泉云蘇州市文昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)【課標(biāo)要求 】掌握直角三角形的判定、性質(zhì)能用面積法求直角三角形斜邊上的高掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題理解銳角三角函數(shù)定義（正弦、余弦、正切、余切），知道四個(gè)三角函數(shù)間的關(guān)系能根據(jù)已知條件求銳角三角函數(shù)值掌握并能靈活使用特殊角的三角函數(shù)值能用三角函數(shù)、勾股定理解決直角三角形中的邊與角的問題能用三角函數(shù)、勾股定理解決直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題【課時(shí)分布 】解直角三角形部分在第一輪復(fù)習(xí)時(shí)大約需要5課時(shí)，其中包括單元測(cè)試，下表為時(shí)安排（僅供參考） 課時(shí)數(shù)內(nèi)容直角三角形邊角關(guān)系、銳角三角函數(shù)、簡(jiǎn)1單的解直角三角形【知識(shí)回顧 】知識(shí)脈絡(luò)2解直

2、角三角形的應(yīng)用2解直角三角形單元測(cè)試及評(píng)析已知斜邊一銳解直角直三角解角形的角三角邊角角形關(guān)系實(shí)際應(yīng)用已知一邊一銳角解直角三角角三角形角三角形直接構(gòu)建直角三角形建模出數(shù)學(xué)圖形， 再添設(shè)輔助線求解角解直角三角已知一直角邊一銳角解直角三角已知兩直角邊解直角三角形已知斜邊一直角邊解直角三角形基礎(chǔ)知識(shí)直角三角形的特征直角三角形兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形中所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在ABC中，若 則 A勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個(gè)三角形是直角三角形，即：在ABC中，

3、若 b2=c2，則D射影定理：ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在RtABC 中，A，B，C所對(duì)的邊分別為ACBcbCaBacb abb,cotA=a特殊角的三角函數(shù)值： （并會(huì)觀察其三角函數(shù)值隨的變化情況）sincostancot13330322345221122313解603直223角三角形（ RtABC,三邊之間的關(guān)系：b2=兩銳角之間的關(guān)系：AA邊角之間的關(guān)系：的對(duì)邊 A,cosA=b A的對(duì)邊 斜邊A,cotA=c斜邊c的鄰邊 b A的鄰邊bA 的對(duì)邊a解直角三角形中常見類型：已知一邊一銳角已知兩邊解直角三角形的應(yīng)用能力要求例1在RtABC中，AC

4、B90，ACCDAB 于點(diǎn) D，求BCD四個(gè)三角函數(shù)值【分析】求BCD 的四個(gè)三角函數(shù)值，關(guān)鍵要弄清其定義，由于BCD 是在 中的一個(gè)內(nèi)角， 根據(jù)定義， 僅一邊 BC是已知的，此時(shí)有兩條路可走，一是設(shè)法求出BD 和CD，二是把 BCD 轉(zhuǎn)化成A，顯然走第二條路較方便，因?yàn)樵贏BC中，三邊均可得出，利用三角函數(shù)定義即可求出答案【解】在ABC中， ACBBCDACDCDAB，ACDABCDAA2在ABC中，由勾股定理得，ABAC2D2BC2BCD= BC4=,cosBCD=cosA= AB5AC3=,AB5BCBCD=BC4AC3=BCD=cotA=AC3BC 4【說(shuō)明】本題主要是要學(xué)生了解三角函

5、數(shù)定義，把握其本質(zhì)，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的思想，即本題中角的轉(zhuǎn)換 （或可利用射影定理，求出BD、DC，從而利用三角函數(shù)定義直求出）例2如圖，在電線桿上的C處引拉線CF固定電線桿， 拉線 CE 和地面成角在離電線桿6 米的 B處安置測(cè)角儀，在A 處測(cè)得電線桿上C處的仰角為已知測(cè)角儀離 AB 為1.5米，求拉線CE 的長(zhǎng)結(jié)果保留根號(hào)）【分析】求 CE 的長(zhǎng)此時(shí)就要借助于另一個(gè)直角三角形， 故過(guò)點(diǎn) A 作AGCD垂足為 G在ACG 中，可求出從而求得CD，在CED中，即可求出CE長(zhǎng)【解】過(guò)點(diǎn) A作AGCD，垂足為點(diǎn)G，A30CG60ACG CAGBD6，BEDFCGAG，CG=633 =23CDCD23+

6、1.5CD=23+1.5,在CED 中，=EC，sin60=4+32答：拉線CE的長(zhǎng)為 4+米【說(shuō)明】在直角三角形的實(shí)際應(yīng)用中，利用兩個(gè)直角三角形的公共邊或邊長(zhǎng)之間的關(guān)系往往是解決這類問題的關(guān)鍵老師在復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)加以引導(dǎo)和總結(jié)例3如圖，某縣為了加固長(zhǎng)90米，高 5米，壩頂寬為4米的迎水坡和背水坡，它們是坡度均為橫斷面是梯形的防洪大壩，現(xiàn)要使大壩順勢(shì)加高1米，求坡角的數(shù)；完成該大壩的加固工作需要多少立方米的土？【分析】大壩需要的土方橫斷面面積壩長(zhǎng)；所以問題就轉(zhuǎn)化為求梯形ADNM的積，在此問題中，主要抓住坡度不變，即MA 與AB的坡度均為1【解】即1MN=2 ，B=63.430.5ADEF過(guò)點(diǎn) M

7、、N 分別作 MEAD ，NFAD ，垂足分別為E、F由題意可知：MENFME1BCAE，AEDFAD =4 ， MN = EF=1.5，S梯形 ADNM 1(1.5+4)12.75 2需要土方為90=247.5(m3) 【說(shuō)明】本題的關(guān)鍵在于抓住前后坡比不變來(lái)解決問題，坡度垂直高度水平距離 坡角的正切值，雖然2007 年中考時(shí)計(jì)算器不能帶進(jìn)考場(chǎng)，但學(xué)生應(yīng)會(huì)使用計(jì)算器，所以建議老還是要復(fù)習(xí)一下計(jì)算器的使用方法例 4某風(fēng)景區(qū)的湖心島有一涼亭A,其正東方向有一棵大樹B，小明想測(cè)量A、B之間的距離，他從湖邊的C處測(cè)得 A 在北偏西方向上，測(cè)得B在北偏東方向上， 且量得 BC間距離為100米根據(jù)上述測(cè)

8、量結(jié)果， 請(qǐng)你幫小明計(jì)算AB之間的距離果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：【分析】本題涉及到方位角的問題，要解出AB 的長(zhǎng)，只要去解RtADCBDC 即可AD.jz.北ADBC【解】過(guò)點(diǎn)C作CDAB，垂足為D 由題知：=45，=32BDC BD，BDBCCDcos = BC，CD=100 cosADC ACD =45AD DC=84.80ABADBD138 米答： AB 間距離約為 138 米【說(shuō)明】本題中涉及到方位角的問題，引導(dǎo)學(xué)生畫圖是本題的難點(diǎn)，找到兩個(gè)直角三角形的公共邊是解題的關(guān)鍵，教師在復(fù)習(xí)中應(yīng)及時(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)由兩個(gè)直角三角形構(gòu)成的各種情形5 在某海濱城市 O 附近海面有一股臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前

9、臺(tái)風(fēng)中心位于該城市的東偏方向 200 千米的海面 P 處，并以 20 / 時(shí)的速度向西偏北 PQ 的方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲范圍是一個(gè)圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為 60 千米，且圓的半徑以 10 千米/ 速度不斷擴(kuò)張當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng) 4小時(shí)時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米；又臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)t 小時(shí)時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到與城市O 距離最近時(shí)，這股臺(tái)風(fēng)是否侵襲這座海濱城市？請(qǐng)說(shuō)理由參考數(shù)據(jù)21.41，31.73)【分析】由題意易知先要計(jì)算出OH和PH的長(zhǎng)即可求得臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)時(shí)間， 而后求出臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑，此圓半徑與OH 比較即可【解】 (60)作 OH PQ H，可算得

10、OH1002千米設(shè)經(jīng)過(guò) t小時(shí)時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心從P移動(dòng)到 H則PH20t100 2 ，算得t5 2（小時(shí)此時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲地區(qū)的圓的半徑為：601052千米）千米城市 O 不會(huì)受到侵襲【說(shuō)明】本題是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形問題，對(duì)于此類問題常常要構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)解決例6如圖所示：如圖，某人在山坡坡腳A 處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為 ，沿山1坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰角為 已知OA=100 米，山坡坡度為2 （即 tan1PAB=2 ）且 O、A、B在同一條直線上。求電視塔OC 的高度以及所在位置點(diǎn)P的鉛直高度 .（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留）【分析】很顯然，電視塔

11、OC 的高在 RtOACC中即可求得 .要求點(diǎn) P的鉛直高度，即求PE的長(zhǎng)，由度i=1:2，可設(shè) PE=x,則AE2x.此時(shí)只要出關(guān)于x 的的方程即可而此時(shí)要借助于 所在的Rt來(lái)解決故過(guò)點(diǎn)P 作 OOC，垂足為F.在RtPCF中，由 得100+2x=100 x,即可求得PE的長(zhǎng).【解】過(guò)點(diǎn)P作OC，垂足為山坡45 P60AEB水平地面在RtOAC 中由OAC60，OA得OCOA OAC=100米.過(guò)點(diǎn) P作垂足為E.由i=1:2,設(shè)PE=x,則AEPFOE100+2x，CF100 x.在RtPCF中由即100+2x=100 1003-1001003-1003,即31003-100答：電視塔OC高為 100米點(diǎn)P的鉛直高度為3米.【說(shuō)明】本題是解直角三角形的應(yīng)用中又一類型，即解直角三角形時(shí)，當(dāng)不能直接解出三角形的邊時(shí)，可