1、電磁場導論第五章時變場第1頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 第 5 章 時變電磁場 在時變電磁場中，電場與磁場都是時間和空間的函數；變化的磁場會產生電場，變化的電場會產生磁場，電場與磁場相互依存，構成統一的電磁場。 英國科學家麥克斯韋將靜態場、恒定場、時變場的電磁基本特性用統一的電磁場基本方程組高度概括。電磁場基本方程組是研究宏觀電磁場現象的理論基礎。 時變場的知識結構框圖第2頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六5.1 電磁感應定律和全電流定律5.1.1 電磁感應定律 當與回路交鏈的磁通發生變化時，回路中會產生感應電動勢，這就是法拉弟電磁感應定律負號表示

2、感應電流產生的磁場總是阻礙原磁場的變化圖5.1.1感生電動勢的參考方向第3頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六引起磁通變化的原因分三類：1. 回路不變，磁場隨時間變化稱為感生電動勢，這是變壓器工作的原理，又稱變壓器電勢。圖5.1.2 感生電動勢第4頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六2. 回路切割磁力線，磁場不變稱為動生電動勢，這是發電機工作原理，又稱為發電機電勢。圖5.1.2 動生電動勢第5頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六3. 磁場隨時間變化，回路切割磁力線 實驗表明：感應電動勢 與構成回路的材料性質無關（甚至可以是假想回路），只要與

3、回路交鏈的磁通發生變化，回路中就有感應電動勢。當回路是導體時，才有感應電流產生。電荷為什么會運動呢？即為什么產生感應電流呢？第6頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六5.1.2 感應電場（渦旋電場） 麥克斯韋假設，變化的磁場在其周圍激發著一種電場，該電場對電荷有作用力（產生感應電流），稱之為感應電場。感應電動勢與感應電場的關系為在靜止媒質中圖5.1.3a 變化的磁場產生感應電場第7頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 感應電場是非保守場，電力線呈閉合曲線，變化的磁場 是產生 的渦旋源。圖5.1.3b 變化的磁場產生感應電場若空間同時存在庫侖電場, 即 也有變化

4、的磁場產生電場 根據自然界的對偶關系，變化的磁場產生電場，變化的電場是否會產生磁場呢？第8頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 作閉合曲線 l 與導線交鏈，根據安培環路定律 5.1.3 全電流定律圖5.1.4 交變電路用安培環路定律為什么相同的線積分結果不同？第9頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 恒 定 場 時 變 場面積分，斯氏定理面積分，斯氏定理矢量恒等式矢量恒等式第10頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六麥克斯韋提出位移電流的假說:位移電流密度于是由于因此束縛電荷反復極化電場隨時間變化第11頁，共72頁，2022年，5月20日，0

5、點6分，星期六 全電流定律揭示不僅傳導電流激發磁場，變化的電場也可以激發磁場。它與變化的磁場激發電場形成自然界的一個對偶關系。麥克斯韋由此預言電磁波的。全電流定律其中， 位移電流密度微分形式積分形式第12頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 例 5.1.1 已知平板電容器的面積為 S , 相距為 d , 介質的介電常數 ，極板間電壓為 u(t)。試求位移電流 iD；傳導電流 iC與 iD 的關系是什么?解：忽略極板的邊緣效應和感應電場電場位移電流密度位移電流圖5.1.5 傳導電流與位移電流第13頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六5.2 基本方程組 分界面銜

6、接條件5.2.1 電磁場基本方程組綜上所述,電磁場基本方程組為全電流定律電磁感應定律磁通連續性原理高斯定律第14頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 全電流定律麥克斯韋第一方程, 表明傳導電流和變化的電場都能產生磁場； 電磁感應定律麥克斯韋第二方程 , 表明電荷和變化的磁場都能產生電場； 磁通連續性原理表明磁場是無源場,磁力線總是閉合曲線； 高斯定律表明電荷以發散的方式產生電場(變化的磁場以渦旋的形式產生電場)。 麥克斯韋第一、二方程是獨立方程，后面兩個方程可以從中推得。 靜態場和恒定場是時變場的兩種特殊形式。四個方程所反映的物理意義第15頁，共72頁，2022年，5月20日

7、，0點6分，星期六微分形式的麥克斯韋方程組。其物理意義： 時變電場是有散、有旋場。它不僅有散度源（時變電荷）， 而且時變磁場是其旋度源。 時變磁場是無散、有旋場。傳導電流和時變電場都是時變磁場的旋度源。 時變電磁場的電場與磁場是不可分割的，兩者之間互為因果的關聯性。 第16頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 時變電磁場中媒質分界面上的銜接條件的推導方式與前三章類同，歸納如下： 電場：磁場：折射定律5.2.2 分界面上的銜接條件圖5.2.1 媒質分界面第17頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六例 5.2.1 試推導時變場中，理想導體與理想介質分界面上的銜接條

8、件。圖5.2.1 媒質分界面解： 理想導體中 為有限值，當因此：在理想導體內部沒有電磁場，即 E=0，B=0 ；分界面介質側的銜接條件為電磁波的全反射第18頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六5.3 坡印亭定理和坡印亭矢量 電磁能量符合自然界物質運動過程中能量守恒和轉化定律坡印亭定理； 坡印亭矢量是描述電磁場能量流動的物理量。5.3.1 坡印亭定理（Poynting Theorem） 在時變場中，電、磁能量相互依存，總能量密度為第19頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六取體積分，得M1M2第20頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六坡印亭定理

9、物理意義： 體積V內電源提供的功率，減去電阻消耗的熱功率，減去電磁能量的增加率，等于穿出閉合面S的電磁功率。 在恒定場中，場量是動態平衡下的恒定量，能量守恒定律為恒定場中的坡印亭定理注：磁鐵與靜電荷 產生的磁、電場不構成能量的流動。第21頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六5.3.2 坡印亭矢量表示單位時間內流過與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱為功率流密度，S 的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動的方向。W/m2定義坡印亭矢量例 5.3.1 用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負載傳送能量的過程。設電纜為理想導體，內外半徑分別為a和b。解： 理想導體內部電

10、磁場為零。電磁場分布如圖所示。圖5.3.1 同軸電纜中的電磁能流 第22頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 穿出任一橫截面的能量相等，電源提供的能量全部被負載吸收。 電磁能量是通過導體周圍的介質傳播的，導線只起導向作用。表明：單位時間內流入內外導體間的橫截面A的總能量為電場強度磁場強度坡印亭矢量第23頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六以導體表面為閉合面，則導體吸收的功率為電場強度磁場強度例 5.3.2 導線半徑為a，長為L ，電導率為 ，試用坡印亭矢量計算導線損耗的能量。解：圖5.3.2 計算導線損耗的量第24頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6

11、分，星期六表明，導體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的。圖5.3.3 導體有電阻時同軸電纜中的E、H 與S電源提供的能量一部分 用于導線損耗另一部分 傳遞給負載第25頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六5.4 動態位及其積分解5.4.1 動態位從電磁場基本方程組出發,A和稱為動態位第26頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六經整理后，得由由微分方程需要定義A的散度A=?第27頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六稱為達朗貝爾方程，這是一組非齊次波動方程。恒定磁場中曾定義 A =0，時變場中為了方便，定義：稱為洛侖茲條件（規范）于是得到第28頁，共7

12、2頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 簡化了動態位與場源之間的關系，使得A單獨由J決定，單獨由決定，給解題帶來了方便； 洛侖茲條件是電流連續性原理的體現。1） 洛侖茲條件的重要意義2 )靜態場的泊松方程和拉普拉斯方程都是它的特例。 若場不隨時間變化，波動方程蛻變為泊松方程 確定了 的值，與 共同唯一確定A；第29頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六5.4. 2 達朗貝爾方程的積分解設時變點電荷位于坐標原點，除q位置外滿足式中 具有速度的量綱 ，f1，f2 是具有二階連續偏導數的任意函數。這是（r）的一維奇次波動方程具有球對稱性通解為可改寫為第30頁，共72頁，202

13、2年，5月20日，0點6分，星期六通解的物理意義： f1 在 t 時間內經過 r 距離后不變,說明它是以有限速度 v 向 r 方向傳播，稱之為入射波。有當時間從 t t + t 信號從 r r + r它表明： f1是一個以速度 v 沿 r 方向前進的波。第31頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六在無限大均勻媒質中沒有反射波，則 f2 = 0它表明： f2 在 t 時間內, 以速度 v 向( -r )方向前進了( v t ) 距離, 故稱之為反射波。 當時間從 t t位置從 r v t 時第32頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六圖5.4.2 波的入射、反射與

14、透射解的表達式點電荷不隨時間變化時，波動方程蛻變為其特解為可以證明：該解滿足齊次波動方程。由此推論，時變點電荷的動態標量位為無反射波第33頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六連續分布電荷產生的標量位可利用迭加原理獲得無反射若激勵源是時變電流源時，仿上述方法推導，得到A的表達式無反射場源不隨時間變化時，蛻變為恒定磁場的磁矢位A第34頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 達朗貝爾方程解的形式表明：t 時刻的響應取決于 時刻激勵源的情況，故又稱 A、 為滯后位 電磁波是以有限速度傳播的,具有速度的量綱(m/s), 稱為波速。 通解中的f1(t-r/v)經過t秒后得

15、以保持不變，必有自變量不變，即它表明，是一個以速度v沿（+ r）方向前進的波第35頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六5.5.1 正弦電磁場的復數形式5.5 正弦電磁場 正弦電磁場的復數形式與正弦穩態電路中的相量法類同，后者有三要素：振幅(標量，常數)、頻率和相位。前者也有三要素：振幅（矢量、空間坐標的函數）, 頻率和相位。第36頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六場與動態位的關系正弦電磁場基本方程組的復數形式第37頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六5.5.2 坡印亭定理的復數形式在正弦電磁場中，坡印亭矢量的瞬時形式為稱之為平均功率流密度

16、。S在一個周期內的平均值為第38頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六同理容易證明第39頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六取體積分，利用高斯散度定理，并將代入體積分項，有取散度，展開為實部為平均功率流密度，虛部為無功功率流密度。定義坡印亭矢量的復數形式第40頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六上式可用于求解電磁場問題的等效電路參數若體積V內無電源，閉合面S內吸收的功率為有功功率 無功功率第41頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六例 5.5.1 平板電容器如圖所示，當兩極板間加正弦工頻交流電壓 u（t） 時，試分析電容器中儲

17、存的電磁能量。解：忽略邊緣效應及感應電場, 則電場滿足無旋性質，可表示為根據全電流定律，可求得位移電流產生的磁場圖4.5.1 兩圓電極的平板電容器第42頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六顯然，電容器中儲存電場能量，磁場能量忽略不計,電磁場近似為電準靜態場 （EQS）整理得復坡印亭矢量電容器吸收能量(無功功率)第43頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六解：忽略邊緣效應及位移電流，則時變磁場可用恒定磁場的方法計算（為什么）。由安培環路定律，得由電磁感應定律，得例 5.5.2 N匝長直螺線管，通有正弦交流電流 i(t)試分析螺線管儲存的電磁能量。第44頁，共72

18、頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六顯然，螺線管中儲存磁場能量，電場能量忽略不計，電磁場近似為磁準靜態場（MQS）復坡印亭矢量螺線管儲存能量無功功率第45頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六式中 稱為相位常數，單位為rad/m5.5.3 達朗貝爾方程的復數形式及其解正弦電磁場中，達朗貝爾方程的復數形式為方程的特解形式為：第46頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六或 稱為似穩條件。e-j 表示A與 的滯后相位，故亦稱滯后因子。表明時變電磁場的瞬時分布規律分別與靜電場和恒定磁場相同，稱之為似穩場。相位常數滯后相位滯后時間可不計滯后效應，解的形式與恒定磁場

19、、靜電場相同當時,第47頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六5.6 電磁輻射什么是輻射？ 電磁波從波源出發，以有限速度在媒質中向四面八方傳播，一部分電磁波能量脫離波源而單獨在空間波動，不再返回波源，這種現象稱為輻射。研究內容： 輻射是有方向性的，希望在給定的方向產生指定的場。 輻射過程是能量的傳播過程，要考慮天線發射和接收信號的能力。 研究輻射的方向性和能量傳播的前提是掌握輻射電磁場的特性。 輻射的波源是天線、天線陣。發射天線和接收天線是互易的。天線的幾何形狀、尺寸 是多樣的，單元偶極子天線（電偶極子天線和磁偶極子天線）是天線的基本單元，也是最簡單的天線。工程上的實際天線第4

20、8頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六5.6.1 電偶極子的輻射一、天線的形成以平行板電容器和長直載流螺線管為例可知 即增加電容器極板間距d，縮小極板面積S，減少線圈數n，就可達到上述目的，具體方式如圖所示。 可見，開放的LC電路就是大家熟悉的天線！當有電荷（或電流）在天線中振蕩時，就激發出變化的電磁場在空中傳播。圖4.6.1 電偶極子天線的形成的演示 從LC電路的振蕩頻率 式可知，要提高振蕩頻率、開放電路，就必須降低電路中的電容值和電感值。二. 電磁輻射的過程 當電偶極子p=qd 以簡諧方式振蕩時向外輻射電磁波圖4.6.2 電偶極子天線第49頁，共72頁，2022年，5月2

21、0日，0點6分，星期六 右圖是 E 線分別在 的場圖圖5.6.3 一個電偶極子在不同時刻的E線分布第50頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 某一瞬間 E 線與 H 線在空間的分布圖5.6.5動態描述單元偶極子天線輻射形成的過程圖5.6.4 時單元偶極子天線E線與H線分布第51頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六三.電偶極子的電磁場遠離天線P點的動態位為：在球坐標系中，圖5.6.7 單元偶極子天線的磁矢量第52頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六特點： 無推遲效應； 電場與靜電場中電偶極子的場相同，磁場與恒定磁場中元電流的場相同，因此有結論

22、：任一時刻，電、磁場的分布規律分別與靜態場中電、磁場相同，稱之為似穩場。近區內只有電磁能量交換，沒有波的傳播（輻射）。 1. 近區近區外的能量來自何方？ 圖5.6.8 電偶極子的近區 E 與 H 線的分布第53頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六2. 遠區 亦稱輻射區忽略 的高次項 , 遠區的電磁場特點： 輻射區電磁場有推遲效應。 相位相同的點連成的面稱為等相位面，輻射區的電磁波為球面波。 輻射是有方向性的，即 輻射功率為 E、H、S 空間上正交，時間上同相，有波阻抗（Wave Impedance) 輻射電阻表示天線輻射電磁能量的能力表明天線愈長，頻率愈高，輻射能量愈大。第5

23、4頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六3. 輻射的方向性圖5.6.11 立體方向圖 輻射的方向性用兩個相互垂直的主平面上的方向圖表示，E平面（電場所在平面） 和H平面（磁場所在平面）。E平面與H平面的方向性函數分別為5.6.11 單元偶極子天線的方向圖 （a）E平面方向圖（ b）H 平面方向圖第55頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 5.6.2 細線天線和天線陣1. 細線天線 直線對稱振子是一種細線天線,它是指線的橫截面尺寸遠比波長小，它的長度 l 與波長l在同一數量級( )上,流經它的上面的電流 i不再等幅同相。設振子上的電流為正弦分布i=i(z,t)。

24、與前面相類似地分析方法，可以得到輻射電場為特點： 球面波； 有方向性。其E平面方向因子為圖4.6.13 直線對稱振子圖4.6.12 開路傳輸線張開成對稱振子第56頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六 2. 天線陣： 為了削弱天線的方向性，增加輻射能量，用一組或陣列天線來代替單一天線， 以構成天線陣。圖5.6.13 細線天線的E平面方向圖 中不僅與 有關，還與半波天線長度 有關。圖中給出四種天線長度的 E 平面方向圖。第57頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六微波接力通信圖 5.7.1 視距與天線高度的關系圖 5.7.2 微波接力示意圖當 時,圖 5.7.3

25、通信衛星圖 5.7.4 同步衛星建立全球通信第58頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六1. 在靜止軌道上放置太陽能電池帆板,產生500萬KW能量;2. 通過“變電站”微波發生器，將直流功率變為微波功率；3. 通過天線陣向地面定向輻射；4. 地面接收站將微波轉換為電能；5. 提供用戶。圖 5.7.5 空間太陽能發電站和電力傳輸第59頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六對達朗貝爾方程 (1) 兩邊取散度 得代入洛侖茲條件交換微分次序將達朗貝爾方程 (2)代入上式，得 整理得電流連續性方程即證畢。它表明洛侖茲條件（ ）隱含著重要的物理意義。 第60頁，共72頁，2

26、022年，5月20日，0點6分，星期六圖5.0 時變場知識結構框圖電磁感應定律全電流定律Maxwell方程組分界面上銜接條件動態位A ,達朗貝爾方程正弦電磁場坡印亭定理與坡印亭矢量電磁幅射( 應用 )第61頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六第62頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六陜西省廣播電臺中波天線第63頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六微波發射天線微波接收天線第64頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六陜西省電視塔上海市電視塔第65頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六第66頁，共72頁，2022年

27、，5月20日，0點6分，星期六第67頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六第68頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六第69頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六一個簡單的天線陣,畫出了rl時的輻射圖。兩個波的天線間距為l/2,激發的相位一致。曲面上的矢徑長表示E的數值對q和j的函數關系。曲面上的曲線，是j為常數的曲線，每隔10 度畫一條。為清楚起見，曲面切成了兩半。沿著y軸的方向，兩個波相加，合成的電場強度是單個天線所產生的兩倍。這點在整個yz平面上都對，只要rl。沿著x軸，兩個波相位相反而互相抵消了。在xz平面的其他方向上，波并不完全抵消，因

28、為路程差比l/2小。每個天線在z軸上的場都是零，所以天線陣的場也是零。第70頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六兩個波天線,用豎粗線表示,相距l/2, 但是在 x= -D/2的一個相位超前p弧度。此時兩個波在yz平面上到處都對消了。在x軸上的所有點上，兩個波相位一致，得到二倍于單個天線的場強。在z軸的方向上還是沒有輻射。第71頁，共72頁，2022年，5月20日，0點6分，星期六麥克斯韋（James Clerk Maxwell 1831-1879) 麥克思維是19世紀偉大的英國物理學家、數學家。1831年11月13日生于蘇格蘭的愛丁堡，自幼聰穎，父親是個知識淵博的律師，使麥克

29、斯韋從小受到良好的教育。10歲時進入愛丁堡中學學習14歲就在愛丁堡皇家學會會刊上發表了一篇關于二次曲線作圖問題的論文，已顯露出出眾的才華。1847年進入愛丁堡大學學習數學和物理。1850年轉入劍橋大學三一學院數學系學習，1854年以第二名的成績獲史密斯獎學金，畢業留校任職兩年。1856年在蘇格蘭阿伯丁的馬里沙耳任自然哲學教授。1860年到倫敦國王學院任自然哲學和天文學教授。1861年選為倫敦皇家學會會員。1865年春辭去教職回到家鄉系統地總結他的關于電磁學的研究成果，完成了電磁場理論的經典巨著論電和磁，并于1873年出版，1871年受聘為劍橋大學新設立的卡文迪什試驗物理學教授，負責籌建著名的卡文迪什實驗室，1874年建成后擔任這個實驗室的第一任主任，直到1879年11月5日在劍橋逝世。麥克斯韋主要從事電磁理論、分子物理學、統計物理學、光學、力學、彈性理論方面的研究。尤其是他建立的電磁場理論，將電學、磁學、光學統一起來，是19世紀物理學發展的最光輝的成果，是科學史上最偉大的綜合之一。麥克斯韋大約于1855年開始研究電磁學，在潛心研究了法拉第關于電磁學方面的新理論和思想之后，堅信法拉第的新理