1、矩陣的初等變換與線性方程組第1頁 共92頁第1頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第2頁 共92頁一、消元法解線性方程組二、矩陣的初等變換第一節 矩陣的初等變換第2頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第3頁 共92頁1、引例求解線性方程組：一、消元法解線性方程組第3頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第4頁 共92頁解：1) 消元第4頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第5頁 共92頁2) 回代（4個未知數3個方程，無窮解。可取每一行的第一個未知數為非自由未知數，進行回代）(B4)第5頁，共90頁，2022年，5月

2、20日，9點20分，星期五第6頁 共92頁則（2）解得第6頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第7頁 共92頁方程組的同解變換(消元過程)：1）對換兩個方程3）2）對增廣矩陣 B = ( A | b ) 進行相應的三種初等行變換第7頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第8頁 共92頁(B4)(B1)行階梯形：第8頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第9頁 共92頁(B4)(B5)行最簡形第9頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第10頁 共92頁對增廣矩陣（A | b）施行初等行變換，變成行最簡形。方程組的求解注意：

3、初等列變換不能求解方程組，因為列變換是對變元進行變換，并不是方程的同解變換。第10頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第11頁 共92頁1）2）3）jikrr+初等變換的逆變換第11頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第12頁 共92頁行等價：列等價：等價：性質：矩陣的等價關系A B反身性、對稱性、傳遞性第12頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第13頁 共92頁標準形：第13頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第14頁 共92頁如：第14頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第15頁 共92頁初

4、等矩陣的概念單位矩陣 經一次初等變換得到的矩陣1、定義2、三種初等矩陣三種初等變換 三種初等方陣第15頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第16頁 共92頁jirr1)|第16頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第17頁 共92頁第17頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第18頁 共92頁第18頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第19頁 共92頁(k 0)2)|第19頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第20頁 共92頁第20頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第21頁 共

5、92頁3）|第21頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第22頁 共92頁第22頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第23頁 共92頁第23頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第24頁 共92頁)(nkjiAE第24頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第25頁 共92頁定理11）行變換，A為A左乘相應的m階初等矩陣2）列變換，A為A右乘相應的n階初等矩陣第25頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第26頁 共92頁初等矩陣均可逆，且逆都是同類的初等矩陣：初等矩陣的轉置仍為初等矩陣；第26頁，共90頁

6、，2022年，5月20日，9點20分，星期五第27頁 共92頁解：記 B第27頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第28頁 共92頁定理2證:A可逆 存在有限個初等矩陣(充分性 )(必要性 )顯然.第28頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第29頁 共92頁證明：推論1A可逆A經有限次初等行變換 E可逆矩陣的行最簡型為E第29頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第30頁 共92頁初等行變換同理，對方程組若A可逆第30頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第31頁 共92頁（作業）推論2第31頁，共90頁，2022年，

7、5月20日，9點20分，星期五第32頁 共92頁 解例 2第32頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第33頁 共92頁第33頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第34頁 共92頁例3解：第34頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第35頁 共92頁第35頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第36頁 共92頁小結1. 單位矩陣 初等矩陣.一次初等變換2. 利用初等變換求逆陣的步驟是:第36頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第37頁 共92頁一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的求法三、矩陣秩的一些結論第三節

8、 矩陣的秩第37頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第38頁 共92頁矩陣的秩一、矩陣秩的概念第38頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第39頁 共92頁1. 矩陣的子式k階子式(km,n)：任取k行、k列交叉得到的矩陣的行列式相應的位置保持不變第39頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第40頁 共92頁2. 最高階非零子式和秩A的秩A的最高階非0子式的階R(A) 或 r(A)第40頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第41頁 共92頁第41頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第42頁 共92頁

9、例1解第42頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第43頁 共92頁例2解第43頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第44頁 共92頁問題：經過變換矩陣的秩變嗎？二、矩陣秩的求法第44頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第45頁 共92頁1、初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩.2、第45頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第46頁 共92頁顯然，非零行的行數為2，第46頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第47頁 共92頁例4解第

10、47頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第48頁 共92頁A得第48頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第49頁 共92頁取行階梯形中的1、2、4列及1、2、3行對應于原矩陣中的行和列，即可得到A的一個最高階非0子式注：求解最高階非0子式時，應注意初等變換過程中行、列的對換情況。第49頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第50頁 共92頁例5解分析：第50頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第51頁 共92頁第51頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第52頁 共92頁1、n階方陣A可逆2三、矩陣

11、秩的一些結論第52頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第53頁 共92頁3、4、5、Sylverster不等式:第53頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第54頁 共92頁例1例2例3第54頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第55頁 共92頁矩陣的秩的性質1.2.3. 4.5.6.7. (見下節)8. (見下節)第55頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第56頁 共92頁一、線性方程組有解的判定條件二、線性方程組的解法第四節 線性方程組的解第56頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第57頁 共

12、92頁線性方程組系數矩陣為線性方程組可記為：相容線性方程組。（不）一、線性方程組有解的判定條件第57頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第58頁 共92頁1) m=n 時,A是n階方陣,若 |A| 則可用克萊默法則求解,或用A的逆矩陣表示解.0,2) 對一般的情況如何判定有沒有解?有解時如何求解?問題：第58頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第59頁 共92頁1、非齊次線性方程組推：若方程組的個數小于變元的個數，則不可能有唯一解。則方程組：1）無 解2）唯一解3）無窮解第59頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第60頁 共92頁證：

13、（充分性）第60頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第61頁 共92頁第61頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第62頁 共92頁Onn個m-n個第62頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第63頁 共92頁第63頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第64頁 共92頁第64頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第65頁 共92頁方程組的通解，自由度為n-r，r越小，解的自由度越大第65頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第66頁 共92頁2、齊次方程方程組第66頁，共90頁，20

14、22年，5月20日，9點20分，星期五第67頁 共92頁齊次線性方程組：系數矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；3、求解線性方程組步驟:第67頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第68頁 共92頁例1 求解齊次線性方程組解二、線性方程組的解法第68頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第69頁 共92頁第69頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第70頁 共92頁例 求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進行初等變換，故方程組無解第70頁

15、，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第71頁 共92頁例 求解非齊次方程組的通解解 對增廣矩陣B進行初等變換第71頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第72頁 共92頁故方程組有解，且有無窮解第72頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第73頁 共92頁例 第73頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第74頁 共92頁例 設有線性方程組解第74頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第75頁 共92頁第75頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第76頁 共92頁其通解為第76頁，共90頁

16、，2022年，5月20日，9點20分，星期五第77頁 共92頁這時又分兩種情形：第77頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第78頁 共92頁第78頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第79頁 共92頁解二:由于方程個數等于未知數個數可考慮用下面的方法:第79頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第80頁 共92頁第80頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第81頁 共92頁第81頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第82頁 共92頁第82頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第83頁 共92頁三、推廣到矩陣方程Th7 AX=B 有解 R(A)=R(A,B).證：將X，B 按列分塊，得第83頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第84頁 共92頁（充分性） R(A)=R(A,B)第84頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第85頁 共92頁（必要性） AXB 有解第85頁，共90頁，2022年，5月20日，9點20分，星期五第86頁 共92頁