1、矩陣的特征值和特征第1頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五我們只討論實向量。向量一般用希臘字母 表示（有時采用黑體）。 行 向量：列向量：行向量、列向量統稱為向量。第2頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五只有一行或一列的矩陣，也可稱為向量。如 的行向量為第3頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五A的列向量為于是， 矩陣有m個n維行向量，同時有n個m維列向量。第4頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五零向量（分量全為零）：n維單位坐標向量：第5頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五向量 與相等記作第6頁

2、，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五二 n 維向量的線性運算定義 設則稱為向量 與 的和 第7頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五定義 設 為實數，則稱為數 與向量 的乘積當 時，記稱它為 的負向量第8頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五向量的加法運算與數乘運算統稱為向量的線性運算。運算律：設 都是n維向量， 都是實數，則(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)第9頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五注意：兩個向量只有維數相同時才能考慮相等的問題，才能有和、有差。第10頁，共20頁，2022年，5月2

3、0日，9點21分，星期五三 特征值與特征向量的概念引例 在一個n輸入n輸出的線性系統y=Ax中，其中我們可發現系統A對于某些輸入x，其輸出y恰巧是輸入x的 倍，即 ；對某些輸入，其輸出與輸入就不存在這種按比例放大的關系。第11頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五例如，對系統 ，若輸入則若輸入 ，則第12頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五所以，給定一個線性系統A，到底對哪些輸入，能使其輸出按比例放大，放大倍數 等于多少？這顯然是控制論中感興趣的問題。第13頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五定義 設A是一個n階方陣，若存在著一個數 和

4、一個非零n維向量x，使得則稱 是方陣A的特征值，非零向量x稱為A對應于特征值 的特征向量，或簡稱為A的特征向量。第14頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五四 特征值與特征向量的求法 可改寫為 這實際上是一個n個未知數n個方程的齊次線性方程組，特征向量可看成是它的一個非零解。而此齊次線性方程組有非零解的充要條件是 ，即 （稱為方陣A的特征方程）第15頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五上述方程的左端是 的n次多項式，記作 ，稱為A的特征多項式。從A的特征方程中解出的 值就是A的特征值。然后通過求解方程組就可以求出A的特征向量。第16頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五例 求矩陣的特征值和特征向量。第17頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五求特征值和特征向量的一般步驟：（1）由 求出所有特征值（2）求解齊次線性方程組（ 為特征值），則所得非零解x必為特征向量（它是基礎解系的線性組合，且為非零向量）第18頁，共20頁，2022年，5月20日，9點21分，星期五結論：不同的特征值對應的特征向量不相等，即：一個特征向量只對應一個特征值。第19頁，共20頁，