1、1.1.1 集合的概念與表示 漁民與數學家的故事 一位漁民非常喜歡數學，但他怎么也想不明白集合的意義.于是，他請教數學家:“尊敬的先生，請你告訴我，集合是什么?”集合是不加定義的概念，數學家很難回答那位漁民. 有一天，他來到漁民的船上，看到漁民撒下漁網，輕輕一拉，許多魚在網中跳動數學家非常激動，高興地告訴漁民:“這就是集合!”問題l:數學家說的集合是指什么?問題2:網中的“大魚”能構成集合嗎? 集合論是現代數學的基礎，創始者是德國數學家康托爾.康托爾在研究函數論時產生了探索無窮集和超窮數的興趣.康托爾肯定了無窮數的存在，并對無窮問題進行了哲學的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現代數學的發展

2、打下了堅實的基礎. 精講1 集合的概念問題1 初中我們接觸了哪些集合?答案 (1)數集：自然數的集合，有理數的集合，.(2)點集：圓(同一平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合)，線段的垂直平分線(到一條線段的兩個端點的距離相等的點的集合)，.問題2 所有的“美景”能否構成集合?1.一般地，我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫作集合.2.集合與元素的符號語言：通常用大寫拉丁字母A，B，C，表示集合，小寫拉丁字母a，b，c，表示元素.答案 不能構成集合.常用的數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集記法NN*或N+ZQR3.常用的數集及其記法抽象概括學以致用【方法指導】根據集合的定

3、義判斷.D不能能能不能【方法小結】判斷每個元素是否具有確定性是判斷其能否構成集合的關鍵，而判斷一個元素是不是確定的，關鍵就是要找到一個明確的衡量標準，同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.學以致用D不能能能不能【針對訓練】1.下列元素的全體不能組成集合的是().A.中國古代四大發明B.地球上的小河流C.方程x2-1=0的實數解D.周長為10 cm的三角形【解析】因為沒有明確的標準確定什么樣的河流稱為小河流，所以地球上的小河流不能組成集合.2.給出下列說法：集合N與集合N*是同一個集合；集合N中的元素都是集合Z中的元素；集合Q中的元素都是集合N中的元素；集合Q中的元素都是集合R中的元素.其中正

4、確說法的個數是.【解析】由數集的性質知錯誤，正確.2B精講2 集合的表示方法開學第一天學習了集合，老師布置了一道作業：把所有滿足不等式3x-12x+9的正整數用集合表示.結果王浩宇、李琦、張瑜、謝芳四位同學的答案如下：姓名答案王浩宇1，2，3，4，5，6，7，8，9李琦x|x9，xN*張瑜x9，xN*謝芳xN*|x9答案 正確，他是先解不等式，再找出正整數解，最后用列舉法表示.問題1 王浩宇的答案是否正確?他用了什么方法表示?精講2 集合的表示方法開學第一天學習了集合，老師布置了一道作業：把所有滿足不等式3x-12x+9的正整數用集合表示.結果王浩宇、李琦、張瑜、謝芳四位同學的答案如下：姓名答

5、案王浩宇1，2，3，4，5，6，7，8，9李琦x|x9，xN*張瑜x9，xN*謝芳xN*|x9問題2 小組討論李琦、張瑜、謝芳三位同學的答案有幾個是正確的?答案 李琦和謝芳的答案都是正確的，用描述法要注意花括號內用一豎杠分開，豎杠左邊的是元素，豎杠右邊的是元素滿足的條件.問題3 任何一個集合是否既能用列舉法也能用描述法表示?若不能，舉例說明.答案 不一定，一般有有限個元素的集合或有無限個元素且元素之間有明顯規律的集合可用列舉法表示，而有無限個元素且元素間無規律可循的集合不能用列舉法表示，如不等式3x-12x+8的解組成的集合只能用描述法表示為x|x9.集合常用的表示法(1)列舉法：在花括號內把

6、集合的所有元素一一列舉出來，特點是適用于元素的個數較少的集合.(2)描述法：用集合中元素的屬性表示集合，其一般形式是x|x所具有的屬性.抽象概括學以致用學以致用【方法小結】用列舉法描述集合時要注意元素的不重不漏，不計次序，且元素與元素之間用“，”隔開.用描述法表示集合時，常用的模式是x|p(x)，其中x代表集合中的元素，p(x)為集合中元素所具備的共同特征.要注意豎線不能省略，同時表達要力求簡練、明確.2.已知集合A=x|ax2-3x-4=0，xR，若集合A中有兩個元素，求實數a的取值集合.精講3 元素與集合的關系把高一年級所有的同學組成的集合記為A， a是高一(7)班的同學，b是高二(7)班

7、的同學.問題1請問a與A，b與A之間各自有什么關系?答案aA，bA.問題2由2，3，4，5，|-3|構成的集合里是不是有5個元素?答案由2，3，4，5，|-3|構成的集合表示為M=2，3，4，5，只有4個元素.問題3問題2中|-3|在集合M中嗎?-3在集合M中嗎?答案因為|-3|=3，所以|-3|在集合M中；集合M中沒有-3，所以-3不在集合M中.1.集合中元素的三要素確定性：判斷每個對象是否具有確定性是判斷其能否組成集合的關鍵，而判斷一個對象是不是確定的，關鍵就是要找到一個明確的衡量標準.互異性：集合中的任何兩個元素都是不相同的.無序性：在用列舉法表示集合時，元素的排列順序沒有關系，例如，集

8、合1，2，3同時也可以寫成3，2，1和2，1，3.抽象概括2.元素與集合的關系：如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A，記作aA；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作aA.3.含有有限個元素的集合叫作有限集；含有無限個元素的集合叫作無限集；不含任何元素的集合叫作空集，記作.抽象概括學以致用【方法指導】根據元素與集合關系的定義判斷.學以致用【針對訓練】已知集合A=a+1，a2-1，若0A，則實數a的值為.【解析】0A，0=a+1或0=a2-1.當0=a+1時，a=-1，此時a2-1=0，A中元素重復，不符合題意.當a2-1=0時，a=1或a=-1(舍去)，a=1，此時，A=2，0

9、，符合題意.1【方法小結】判斷元素與集合關系的兩種方法：(1)直接法，若集合中的元素是直接給出的，則只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可.(2)推理法，對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征.精講4 區間問題1間是數集的另一種表示方法，那么任何數集都能用區間表示嗎?問題2 “”是數嗎?如何正確使用“”?答案不是任何數集都能用區間表示，如集合0就不能用區間表示.答案“”讀作“無窮大”，是一個符號，不是數.以“-”或“+”作為區間一端時，這一端必須是小括號.抽象概括區間的定義、名稱、符號及數軸表示如下表：抽象概括特

10、別提醒：(1)“”讀作無窮大，是一個符號，不是數，以-或+作為區間一端時，這一端必須是小括號.(2)區間是數集的另一種表示方法，區間的兩個端點必須保證左小、右大.【例4】若a，3a-1為一確定區間，則a的取值范圍是 .學以致用【針對訓練】用區間表示下列數集：(1)x|x1=；(2)x|20且y0，故集合可表示為(x，y)|x0，y0.(2)令y=0，則x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3，二次函數y=x2-2x-3的圖象與x軸有兩個交點，分別為(-1，0)，(3，0)，故采用列舉法表示為(-1，0)，(3，0).(3)觀察圖象，可知陰影區域內的點(x，y)滿足條件1x6且1y4，故集合可表

11、示為(x，y)|1x6，1y4.1.知識圖譜：2.數學思想、學科素養：分類討論、等價轉化；數學抽象、數學運算、邏輯推理；3.常見誤區：忽視集合中元素的互異性.1.下列各組對象可以組成集合的是().A.數學必修1課本中所有的難題 B.小于8的所有素數C.直角坐標平面內第一象限的一些點D.所有小的正數2.已知集合A=2，4，x2-x，若6A，則x=().A.-2B.3C.6D.-2或33.集合x|x-2用區間可表示為().A.(-，-2 B.(-，-2) C.-2，-) D.(-2，-)4.已知集合M=m|m=2k，kZ，P=x|x=2k+1，kZ，Q=y|y=4k+1，kZ，若xP，yQ，則x+

12、yM.(填“”或“”)5.已知A=a-2，a2+4a，10，若-3A，求a的值.1.下列各組對象可以組成集合的是().A.數學必修1課本中所有的難題 B.小于8的所有素數C.直角坐標平面內第一象限的一些點D.所有小的正數【解析】A中“難題”的標準不確定，不能構成集合；B能構成集合；C中“一些點”無明確的標準，不能構成集合；D中“小”沒有明確的標準，不能構成集合.2.已知集合A=2，4，x2-x，若6A，則x=().A.-2B.3C.6D.-2或3【解析】若6A，則x2-x=6，即x2-x-6=0，解得x=-2或x=3.BD3.集合x|x-2用區間可表示為().A.(-，-2 B.(-，-2) C.-2，-) D.(-2，-)【解析】x|x-2表示小于或等于-2的數組成的集合，即用區間表示為(-，-2.4.已知集合M=m|m=2k，kZ，P=x|x=2k+1，kZ，Q=y|y=4k+1，kZ，若xP，yQ，則x+yM.(填“”或“”)【解析】根據集合的表示方法，首先弄清集合中元素的特征.由題意知M是偶數集，P是奇數集，Q中元素一