1、文檔編碼 : CY2S2J10Z7I8 HK3N4C6Y2V5 ZC7B6W2I10I2精品word 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - 幫忙角公式asinbcosa2b2sin教學應留意的的幾個問題在三角函數中, 有一種常見而重要的題型, 即化asinbcos為一個角的一個三角函數的形式,進而求原函數的周期、值域、單調區間等. 為了幫忙學生 記 憶 和 掌 握 這 種 題 型 的 解 答 方 法 ,教 師 們 總 結 出 公 式asinbcos=a2b2 sin或asinbcos=a2b2cos, 讓同學在大量的訓練和考試中加以記憶和活用. 但事與愿違 , 半個學

2、期不到 , 大部分同學都忘了 , 老師不得不重推一遍. 到了高三一輪復習 , 再次忘記, 老師仍得重推 . 本文旨在通過幫忙角公式的另一種自然的推導 , 表達一種解決問題的過程與方法 , 減輕同學的記憶負擔 ; 同時說明“ 幫忙角” 的范疇和常見的取角方法 , 幫忙同學澄清一些熟識 ; 另外通過例子說明幫忙角公式的靈敏應用 , 優化解題過程與方法 ; 最終通過例子說明幫忙公式在實際中的應用 , 讓同學把握幫忙角與原生角的范疇關系 , 以更好地把握和使用公式 . 一. 教學中常見的的推導方法教學中常見的推導過程與方法如下1. 引例例 1 求證：3 sin +cos =2sin （+）=2cos（

3、-）. 6 3其證法是從右往左開放證明 , 也可以從左往右“ 湊”, 使等式得到證明 , 并得出結論 : 可見, 3 sin+cos可以化為一個角的三角函數形式. . 一般地 ,asin+bcos是否可以化為一個角的三角函數形式呢 2. 幫忙角公式的推導例 2 化asinbcos為一個角的一個三角函數的形式b. 2cos, 解: asin+bcos=a2b2aab2sin+a2b2 令a=cos,abb2=sin, a2b22就 asin=a2b2sincos+cossin+bcos=a2b2sin+, 其中 tan=b a 1 第 1 頁,共 6 頁 - - - - - - - - - -精

4、品word 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - 令aab2=sin,abb2=cos, 就222 2 2 2asin +bcos = a b sin sin +cos cos = a b cos-, 其中 tan =a b其中 的大小可以由 sin、cos 的符號確定 的象限 , 再由 tan 的值求出. 或由 tan =b 和a,b 所在的象限來確定 . a推導之后 , 是配套的例題和大量的練習 . 但是這種推導方法有兩個問題 : 一是為什么要令a b=cos , =sin .讓同學費解 . 二是這種“ 規定” 式的推2 2 2 2a b a b導, 同學難記易忘

5、、易錯 . 二. 讓幫忙角公式 a sin b cos = a 2b 2 sin 來得更自然能否讓讓幫忙角公式來得更自然些 .這是我多少年來始終摸索的問題 .2022年春 . 我又一次代 2022 級同學時 , 最終想出一種與三角函數的定義連接又通俗易懂的教學推導方法 . 第一要說明,如 a=0 或 b=0 時,asinbcos已經是一個角的一個三角函數的形式,無需化簡 . 故有 ab 0. 1. 在平面直角坐標系中 , 以 a為橫坐標 ,b 為縱坐標描一點 Pa,b 如圖 1 所示 ,2 2就總有一個角 , 它的終邊經過點 P.設 OP=r,r= a b , 由三角函數的定義知sin =b

6、= b , r a 2b 2cos = a a . r a 2b 22 2 2 2所以 asin +bcos = a b cos sin + a b sin cos= a 2b 2 sin . 其中 tan =b a2. 如在平面直角坐標系中 , 以 b 為橫坐標 , 以 a 為縱坐標可以描點 Pb,a,2 2如圖 2 所示 , 就總有一個角 的終邊經過點 Pb,a, 設 OP=r,就 r= a b . 由2 第 2 頁,共 6 頁 - - - - - - - - - -精品word 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - 三角函數的定義知 sin=a r=a2ab2,

7、 P, 就OP cos=b r=abb2. 2 asin+bcos=a22 b sinsina2b2coscos=r= =a22 b cos. 其中 tan=a b 例 3 化3sincos為一個角的一個三角函數的形式. 解 : 在 坐 標 系 中 描 點P3 ,1,設 角的 終 邊 過 點321 =2.sin 2=1 2,cos=3. 23sin2cos=2cossin+2sincos=2sin.tan=3. 36k, 3sincos=2sin6. 經過多次的運用 , 同學們可以在老師的指導下, 總結出幫忙角公式aasin+bcos=a2b2a2sin+abb2cos=a2b22 sin2b

8、, 其中 tan=b a. 或者aasin+bcos=a2b2a2sin+abb2cos=a2b22 cos2b, 其中 tan=a b 我 想 這 樣 的 推 導 , 學 生 理 解 起 來 會 容 易 得 多 , 而 且 也 更 容 易 理 解asin+bcos湊成a2b2aab2sin+2 abb2cos 的道理 , 以2及為什么只有兩種形式的結果. 3 第 3 頁,共 6 頁 - - - - - - - - - -精品word 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - 例 4 化sin3cos為一個角的一個三角函數的形式. 解 法 一 : 點 1,-3 在 第 四

9、 象 限 .OP=2. 設 角過P 點 . 就sin3,cos1.滿足條件的最小正角為225,52k,kZ.33coscossinsin3 cos21sin3cos2sin222sin2sin52k2sin5.33解 法 二 : 點P-3 ,1在 第 二 象 限 ,OP=2, 設 角過P點 . 就sin1,cos3.滿足條件的最小正角為225,52k,kZ.66sincoscos sin3 cos21sin3cos2sin222cos2cos52 k2cos5.66三. 關于幫忙角的范疇問題由asinbcosa2b2sin中, 點 Pa,b 的位置可知 , 終邊過點 Pa,b 的角可能有四種情

10、形 第一象限、其次象限、第三象限、第四象限 . 設中意條件的最小正角為1, 就12k. 由誘導公式 一 知 其asinbcosa2b2sina2b2sin1中10,2 ,tan1b,1的具體位置由sin1與cos1準備,1的大a小由tan1b準備a4 第 4 頁,共 6 頁 - - - - - - - - - -精品word 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - 類似地,asinbcosa2b2cos,的終邊過點（,）,設中意條件的最小正角為2,就22k.由誘導公式有2,其asinbcosa2b2cosa2b2cos中20,2 ,tan2a,2的位置由sin2和cos

11、2確定,2的大小b由tan2a確定2；以后沒有特別說明時,角1（或2）是所b留意：一般地,1求的幫忙角四關于幫忙角公式的靈敏應用引入幫忙角公式的主要目的是化簡三角函數式在實際中結果是化為正弦仍是化為余弦要具體問題具體分析,仍有一個重要問題是,并不是每次都要化為asinbcosa2b2sin1的形式或asinbcosa2b2cos2的形式可以利用兩角和與差的正、余弦公式靈敏處理例化以下三角函數式為一個角的一個三角函數的形式6（）3sincos；（）2sin36cos366（）3sincos23sin1cos解：222sincos6cossin62sin5 第 5 頁,共 6 頁 - - - - - - - - - -精品word 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - 2sin36cos3662 1 sin 3 cos （）3 2 3 2 32 sin cos cos sin 3 3 3 3 32 sin 2 3 3在本例第（）小題中,a 3,b 1,我們并沒有取點（3 ,）,而取的是點 （3 ,）也就是說, 當 a 、b 中至少有一個是負值時 我們可以取（ a , b ）,或者（ b , a ）這樣確定的角 1（或 2）是銳角,就更加便利例 6 已知向量acosx3,1,bcosx3,1, x2c