1、工程計算幾種矩陣第1頁，共13頁，2022年，5月20日，4點34分，星期三4幾種矩陣 4.1 初等矩陣 4.2 矩陣特征值估計Gerschgorin圓盤定理 4.3 對角占優(yōu)矩陣 第2頁，共13頁，2022年，5月20日，4點34分，星期三2022/9/1624.1 初等矩陣定義4.1.1 下列各種類型的變換，叫做矩陣的初等變換(1) 矩陣的任二行(列)互換位置； (2) 非零常數(shù)c乘矩陣的某一行(列)； (3) 矩陣的某一行(列)的c倍加到另一行(列)上去 對單位矩陣施行上述三種類型的初等變換，便得相應(yīng)的三種初等矩陣P(i，j)，P(i(c)，P(i，j(c)，即 第3頁，共13頁，202

2、2年，5月20日，4點34分，星期三2022/9/1634.1 初等矩陣定理4.1.1 對一個mn矩陣A的行作初等行變換，相當于用相應(yīng)的m階初等矩陣左乘A。對A的列作初等列變換，相當于用相應(yīng)的n階初等矩陣右乘A。 容易驗證，初等矩陣都是可逆的，并且 P(i，j)1= P(i，j)，P(i(c) 1= P(i(c1)，P(i，j(c) 1= P(i，j(c) 第4頁，共13頁，2022年，5月20日，4點34分，星期三2022/9/1644.1 初等矩陣定義 4.1.2 如果A經(jīng)過有限次的初等變換后變成B，則稱A與B等價，記為AB。 定理 4.1.2 A與B等價等價的充要條件是存在兩個可逆矩陣P

3、與Q，使得 B=PAQ 定義 4.1.3 設(shè)u，vCn，F(xiàn)，稱矩陣 E(u，v，) =E uvH 為初等矩陣。 初等矩陣有如下性質(zhì) (1) E (u，v，) E(u，v，) = E (u，v， + vH u) 第5頁，共13頁，2022年，5月20日，4點34分，星期三2022/9/1654.1 初等矩陣(2) E1(u，v，) = E(u，v，) 其中，1+1=vH u (3) |E (u，v，)|=1 vH u 定義4.1.4 初等三角形矩陣。設(shè)miRn，其前i個分量為零。則稱 Li(mi)= E (mi，ei，)= E mi ei T E(u，v，) = E uvH 為初等三角形矩陣。

4、因此，上述三種初等矩陣是定義5.1.2 的特例 第6頁，共13頁，2022年，5月20日，4點34分，星期三2022/9/1664.1 初等矩陣由定義知，初等三角形矩陣有如下性質(zhì)： (1) |Li(mi)|=1 (2) Li1 (mi)= Li(mi) (3) Li(mi)左乘矩陣A的結(jié)果是從A的各行中減去第i行的倍數(shù)。 第7頁，共13頁，2022年，5月20日，4點34分，星期三2022/9/1674.1 初等矩陣LRnn是單位下三角形矩陣 則有 (1) L= L1(m1) L2(m2)Ln1 (mn1) (2) L= I m1e1T m2e2Tm n1e Tn1 第8頁，共13頁，2022

5、年，5月20日，4點34分，星期三2022/9/1684.1 初等矩陣定義4.1.5 設(shè)wCn，wHw=1 ，則 H(w)= E (w，w，2) = E 2wwH 稱為初等Hermite矩陣。它是Householder矩陣的特例。 定義5.1.6 稱矩陣 當wRn時，稱為初等鏡面反射矩陣。 P(i，j) = E (ei ej，ei ej，1) = E (ei ej)(ei ej)T 為初等置換矩陣。初等置換矩陣的乘積稱為排列陣。 第9頁，共13頁，2022年，5月20日，4點34分，星期三2022/9/1694.2 矩陣特征值估計Gerschgorin圓盤定理 Gerschgorin圓盤定理給

6、出了n階矩陣A的n個特征值在復平面上的分布范圍 定理4.2.1 (Gerschgorin圓盤定理) n階矩陣A的每個特征值位于復平面上以aii為中心，以Ri為半徑的諸圓盤 Di=z| |z aii|Ri i=1，2，n 中的一個，其中 定理4.2.2 (第二圓盤定理) 如果定理中有s個圓盤組成一個聯(lián)通域，并與其余圓盤隔開，則在此聯(lián)通域中恰好有s個A的特征值。 第10頁，共13頁，2022年，5月20日，4點34分，星期三2022/9/16104.2 矩陣特征值估計Gerschgorin圓盤定理 推論：如果n階矩陣A的n個圓盤兩兩不相交，則A相似于對角矩陣。 推論：如果n階實矩陣A的n個圓盤兩兩不相交，則A的特征值全為實數(shù)。 第11頁，共13頁，2022年，5月20日，4點34分，星期三2022/9/16114.3 對角占優(yōu)矩陣 定義4.3.1 設(shè)ARnn，如果存在一個排列陣P，使得 則稱A為可約的，否則稱為不可約的。 定義設(shè)ARnn，如果 稱A為嚴格對角占優(yōu)矩陣。 定義定義設(shè)ARnn是不可約的，如果 至少有一個不等式嚴格成立，稱為不可約弱對角占優(yōu)矩陣。 第12頁，共13頁，2022年，5月20日，4點34分，星期三2022/9/16124.3 對角占優(yōu)矩陣 定理4.3.1 設(shè)ARnn為嚴格對角占優(yōu)矩陣