1、光學教程第一篇 幾何光學9/22/20220第二章 幾何光學傍軸成像理論研究的主要問題： 物體經光學系統的成像問題。特點： 1. 以光線的概念為基礎，不考慮光和物質的相互作用。 2. 根據實驗觀測總結得到幾個基本定律，通過幾何的方法（三角計算、矩陣運算、作圖法等）來討論物體經光學系統的成像規律。9/22/20221同心光束與象散光束： 同心光束：光束中各光線或其延長線相交于一點。 平行光束：中心在無限遠處的同心光束。 象散光束：光束中各光線彼此既不相互平行又不完全相交于一點。2.1 成像的基本概念a.發散同心光束b.會聚同心光束同心光束9/22/20222物和像 物空間和象空間： 在媒質中，一

2、點P0發出無限數目的光線；對媒質中任何其他一點，一般只有有限數目的光線通過；若有可能找到被無限數目的光線通過的一點P1 ，這樣的點P1就稱為P0的一個無象散的象（銳象）。 在一個理想的光學系統中，一個稱為物空間的三維區域內的每一個物點P0，將產生一個無象散的象點P1，全部象點定義為象空間。 物空間和象空間中的對應點稱為共軛點。9/22/20223理想光學系統： 如果物空間的每一條曲線都與它的象在幾何上相似，則物空間和象空間之間的成像是理想的（面的理想成像）。 理想光學系統中，任何同心光束通過系統后仍能保持為同心光束；故物空間和象空間中的點、線、面均一一對應，稱為共軛性。 實際光學系統中，除平面

3、鏡外均不可能完全達到理想成像的要求。但共軸球面系統在旁軸條件下可近似看做理想光學系統。9/22/20225物象之間的等光程性： 理想光學系統成象時，從物點到其象點的各光線光程均相等。此即物象之間的等光程性。 設計對有限大小的物體能相當完善成象的系統是非常困難；但對一個物體成完善象只需用單個反射面或折射面即可。 這樣的面稱為該對物象共軛點的等光程面。等光程面：9/22/20226幾何光學的基本問題： 一般的光學儀器都是通過簡便的平面或球面，完成對光束的反射和折射。因此，研究光在平面及球面上的反射和折射，是幾何學的基本問題。2.2 光在平面上的反射與折射 反射定律； 反射成象的特點：等大虛象，左右

4、對易； 反射成象，變化的是什么？平面處的反射：9/22/20228 折射定律； Cauchy公式：折射率與波長的關系平面處的折射： 折射光束的特點： 象散光束、全反射臨界角問題 旁軸近似與旁軸光線9/22/20229 折射光束的象散：折射光束的象散 點光源P發出的同心光束經平面折射后不再交于一點而成為象散光束。傍軸近似下， cosi1 cos i2，故：9/22/202210單球面的特點： 聯結點物和球面曲率中心的直線稱為主光軸，簡稱主軸。折射后的光線一般為象散光束。2.3 光在單球面上的折射和反射9/22/202211符號規則（重點）： 符號規則主要規定成象系統中距離、角度量的正負。在單球面

5、系統中，一般選擇球面頂點做基準點，主光軸或法線為基準線。9/22/202212符號規則（重點）：1. 距離： a. 軸向距離（物距、象距、焦距、曲率半徑等）從基準點量起，順入射光方向為正，逆入射光方向為負； b. 垂直距離（高度）在主光軸之上為正，在主光軸之下為負；2. 角度：從基準線向光線轉一銳角，順時針方向為正，逆時針方向為負。3. 圖中距離和角度均為絕對值（正值），若量值為負，則需在字母前加入符號。9/22/202213物象距公式：物象距公式 對于傍軸光線，忽略高次項，有：9/22/202215非傍軸光線： 對于非傍軸光線，不能忽略高次項，因此必須按照入射角和單球面的折射率，分別計算出其

6、每條光線的折射角，得到其軌跡。9/22/202216相關拓展和延伸：2. 焦點和焦距： 當入射光為平行光時，所得象點稱為象方焦點，一般記為F；相應的象距f稱為象方焦距。 若折射光為平行光時，對應物點稱為物方焦點，一般記為F；相應的物距f稱為物方焦距。9/22/202218物方焦點和象方焦點 物方焦面和象方焦面 如圖，與光軸相距為h的平行光線偏向角為：聚焦的必要條件9/22/202219相關拓展和延伸：3. 高斯公式： 物方焦距和象方焦距的相互關系：負號的意義？故得Gauss公式：9/22/202220 若分別以物方焦點和象方焦點為度量物距和象距的基準點，則物距x稱為焦物距；象距x稱為焦象距。如

7、圖：4. 牛頓公式：牛頓公式9/22/202221傍軸小平面物體的細光束成象 放大率 如圖，在傍軸條件下，球面元s就是球面元的象。9/22/202222傍軸小平面物體的細光束成象 放大率 如圖，在傍軸條件下，球面元s就是球面元s的象。細光束成象時，可用垂直于光軸的平面元代替球面元，從而獲得點象、線象和面象。9/22/202223垂軸放大率故：正負的意義？9/22/202225角放大率 一對共軛光線與主光軸夾角的比值，稱為這對光線的角放大率：9/22/202226作圖法 如何利用作圖法方便地成象？ 從任一物點發出的所有傍軸光線，經球面折射后都將通過其象點。（特殊光線的選擇？） 1) 平行于主光軸

8、的入射光線； 2) 通過物方焦點F的入射光線； 3) 通過球面曲率中心C的光線； 注意事項： 球面折射在傍軸近似條件下成象，因此球面的折射面應畫為通過頂點垂直于光軸的平面上的折射。9/22/202228 a) 實物成實象 b) 虛物成實象9/22/202229 c) 實物成虛象 d) 虛物成虛象9/22/202230主光軸上點物成象作圖 從軸上物點引斜光線PM；過物方焦點引輔助光線FN平行于PM；則PM折射后必與FN折射后相交于焦平面上的Q點，而NQ平行于主光軸。9/22/202231球面反射鏡 如何將球面折射公式應用到球面反射？光在球面上的反射 按符號法則，折射定律寫作：折射定律寫作：故可得

9、：反射可看成是從折射率為n的媒質到折射率為-n媒質的特殊折射。如：球面反射的物象距公式9/22/2022329/22/202233球面反射鏡成象情況與所處的媒質無關；球面反射鏡的物空間與象空間重合；球面反射鏡的焦點位于r/2處。光在球面上的反射9/22/202234透鏡： 兩個折射面包圍一種透明媒質而形成的光學元件，稱為透鏡。 折射面可以是球面或非球面；透鏡一般為兩個共軸球面組成，稱為球面透鏡。2.4 薄 透 鏡 球面透鏡兩個球面頂點間的軸向距離稱為透鏡的厚度d。 當透鏡厚度與其成象性質相關的距離（物距、象距、曲率半徑）相比小得多的情況，即薄透鏡情況。9/22/202235各種形狀的薄透鏡 對

10、于薄透鏡，兩個球面的頂點可近似認為與其中心（即薄透鏡的光心）重合。9/22/202236 對如圖所示的薄透鏡成象，選取透鏡中心為度量軸向距離的基準點，有：物象距公式：薄透鏡成象又因為：故：薄透鏡成象物象距公式9/22/202237 象方焦點F和象方焦距f (-s=)：相關概念和公式 物方焦點F和物方焦距f (s=)：可得：9/22/202238透鏡的光焦度：當0時，F和F是實焦點，透鏡系統是會聚系統；當0時，F和F是虛焦點，透鏡系統是發散系統。高斯公式：牛頓公式：9/22/202239空氣中的情況：凸透鏡條件？凹透鏡條件？9/22/202240 兩球面的垂軸放大率為：垂軸放大率9/22/202

11、241垂軸放大率：令：若：9/22/202242角放大率：如圖：又：9/22/202243薄透鏡的作圖法： 1) 平行于主光軸的入射光線； 2) 通過物方焦點F的入射光線； 3) 通過光心O的光線；9/22/202244共軸球面系統：2.5 共軸球面系統 共軸球面系統：光學系統中含有多個共軸的折射或反射球面的光學系統。 該軸線即為系統的主光軸。 傍軸近似條件下，共軸球面系統可近似看做理想光學系統。 求系統象的兩種方法：1) 逐次成象法；2) 基點成象法。9/22/202245逐次成象法： 將物體自共軸球面系統第一個折射/反射面開始，逐次成象；經過每一個面后的成象就是下一個面的輸入物；經過最后一

12、個面的物象就是物體經整個系統的成象。9/22/202246逐次成象法： 對每一個球面寫出物象距公式：相鄰兩球面頂點之間的距離為：給定s1，已知各球面半徑ri和ni；則可求出最后的象距sk。9/22/202247象的垂軸放大率： 象的垂軸放大率：總垂軸放大率是各個球面垂軸放大率的乘積。9/22/202248象的角放大率： 每一個球面折射均遵守拉赫公式，故：對任意第i面：故：即：系統成象時物象空間的nyu是一個常量此即物象空間不變式9/22/202249共軸球面系統的基點： 在成象系統給定后，要想知道一個物點在不同位置時所對應的象點位置，用逐次成象法來討論很不方便。 傍軸條件下物象之間的共軛關系，

13、完全可以由其基點和基面所決定。 基點和基面建立后，可直接把系統當做一個整體研究其成象規律。 通常選擇的基點和基面是：焦點和焦平面、主點和主平面、節點和節平面；還有負主點和負主平面、負節點和負節平面等。9/22/202250 如何用最簡明的話描述共軸球面系統的基點和基面？ （建立自己的理解是學習的第一要素，有了自己的理解，才能有自己的體會，才能靈活應用。）9/22/202251 物方焦面：與無窮遠象平面共軛的物平面； 象方焦面：與無窮遠物平面共軛的象平面； 主平面：面上共軛線段的垂軸放大率=1的一對共軛平面；物空間為物方主平面，象空間為象方主平面； 節平面：角放大率=1的一對共軛平面；物空間為物

14、方節平面，象空間為象方節平面； 對以上涉及光學概念的理解和深入9/22/202252 點：相應平面與光軸的交點； 特性： 物方/象方焦點：凡是通過物(象)方焦點的光線，在象(物)空間必與光軸平行； 物方/象方主點：確定物方/象方主平面； 物方/象方節點：凡是通過物(象)方節點的光線，在象(物)空間必通過象(物)方節點；兩條光線必平行； 另外：凡是通過物方/象方焦平面上某點的光束，必在象方/物方空間為平行光。9/22/202253系統的焦點和焦平面、主點和主平面： 一對主平面，物方焦點F和象方焦點F，是我們最常用的共軸系統的基點。根據他們能夠找出物空間任意物點的象。9/22/202254系統的焦

15、點和焦平面、主點和主平面：物象關系物象公式：高斯公式和牛頓公式不變，只是s和s的起始發生變化。垂軸放大率也同前。9/22/202255系統的節點和節平面：節點 物方節點位于距物方焦點f處，象方節點位于距象方焦點f處。9/22/202256系統的負主點和負節點：負主點和負節點 球面鏡的物方和象方負主點和球面曲率中心相重合。9/22/202257系統的負主點和負節點：負主點和負節點 球面鏡的物方和象方負節點和球面頂點相重合。9/22/202258例1-9-1： 有一玻璃半球，n=1.5，r=5.0cm，平面鍍銀；在球面頂點前方10.0cm處有一小物體，求成象。解：反射為平行光9/22/202259

16、例1-9-2： 如圖，一個凹面鏡焦距為125mm，凹面中注以CS2液體，液體中心厚7mm；當光點在距液面150mm時，其象點與物點重合，求CS2的折射率。解：9/22/202260例1-9-3： 用球面鏡的負主平面作圖求象。問：為何取CM=CM；CN=CN即可求出物體的象？9/22/202261共軸球面系統組合的核心：2.6 共軸球面系統的組合 若已知兩個子系統的主點和焦點，如何確定由它們組合而成的系統的主點和焦點？ 從子系統I的象方焦點F1到相鄰子系統II的物方焦點F2的距離，稱為光學間隔。共軸球面子系統間的光學間隔：9/22/202262共軸球面系統的組合9/22/202263組合系統的焦

17、距： 若令H1M1=h， H2M2=h，則9/22/202264組合系統的主點： 組合系統物方主點H和象方主點H的位置可分別相對于第一系統的物方主點H1和第二系統的象方主點H2來確定。9/22/202265組合系統的光焦度：9/22/202266薄透鏡組合系統： 設兩個共軸薄透鏡之間距離為d，則光學間隔或：主平面位置：9/22/202267例1-10-1： 如圖，一個球形透鏡的曲率半徑為R，折射率為n；求：透鏡的主點和焦距，什么時候頭頂角焦點在球內？解：9/22/202268例1-10-1： 如圖，一個球形透鏡的曲率半徑為R，折射率為n；求：透鏡的主點和焦距，什么時候頭頂角焦點在球內？兩球面頂

18、點的距離和光學間隔為：9/22/202269矩陣光學：1.10 共軸球面系統傍軸成象的矩陣方法 對無像差系統而言，系統中光線的折射和反射是線性的，可用矩陣的方式加以描述。 當已知系統的矩陣后，對任一已知的入射光線，均可立即計算得到其出射情況；若已知系統內全部子系統的矩陣，則可得到光線在系統中的路徑。隨著計算機軟硬件的發展，曾經困難的計算已經成為普通的操作。9/22/202270狀態矩陣、折射矩陣和平移矩陣： 采用光線與光軸的傾角和光線所在媒質的折射率n的乘積nu及離光軸的高度y兩個參量確定光線的狀態。9/22/202271狀態矩陣、折射矩陣和平移矩陣： 入射線和折射線的狀態矩陣為：光焦度為的折

19、射球面對入射光線狀態的變換，即折射矩陣：9/22/202272狀態矩陣、折射矩陣和平移矩陣：對兩相鄰共軸球面：9/22/202273狀態矩陣、折射矩陣和平移矩陣：對兩相鄰共軸球面：9/22/202274狀態矩陣、折射矩陣和平移矩陣：對兩相鄰共軸球面：光線在平移過程中，狀態參量的變換也是個線性變換；平移矩陣為：9/22/202275其他矩陣：球面反射鏡的反射矩陣：平面反射鏡的反射矩陣：9/22/202276系統的傳遞矩陣： 對由m個折射球面組成的共軸系統，在傍軸近似條件下：9/22/202277系統的傳遞矩陣：傳遞矩陣（系統矩陣）9/22/202278系統的傳遞矩陣：傳遞矩陣（系統矩陣）都將是二行二列矩陣：Sij稱為傳遞矩陣的矩陣元，高斯常數；9/22/202279系統的傳遞矩陣：注意：1. 矩陣乘法的順序：必須從右至左按入射光傳播的方向順序依次取各元矩陣；2. 傳遞矩陣行列式必為1。9/22/202280計算實例：厚透鏡如圖，厚透鏡折射率為n，厚度為d；若厚度d0，則：若光焦度20則：9/22/202281 對厚透鏡、薄透鏡、單折射球面的傳遞矩陣元S12，恒等于它們的光焦度。 該