1、第二章應(yīng)力狀態(tài)分析一 .內(nèi)容介紹彈性力學(xué)的研究對(duì)象為三維彈性體，因此分析從微分單元體入手，本章的任務(wù)就是從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)， 討論一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)， 建立平衡微分方程和面力邊界條件。應(yīng)力狀態(tài)是本章討論的首要問題。由于應(yīng)力矢量與內(nèi)力和作用截面方位均有關(guān)。因此，一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力是不同的。 確定一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。首先是確定應(yīng)力狀態(tài)的描述方法，這包括應(yīng)力矢量定義，及其分解為主應(yīng)力、 切應(yīng)力和應(yīng)力分量； 其次是任意截面的應(yīng)力分量的確定轉(zhuǎn)軸公式；最后是一點(diǎn)的特殊應(yīng)力確定， 主應(yīng)力和主平面、最大切應(yīng)力和應(yīng)力圓等。應(yīng)力狀態(tài)分析表明應(yīng)力分量為二階對(duì)稱張量。本課程分析中使用張量符號(hào)描述物理

2、量和基本方程， 如果你沒有學(xué)習(xí)過張量概念， 請(qǐng)進(jìn)入附錄一，或者查閱參考資料 。本章的另一個(gè)任務(wù)是討論彈性體內(nèi)一點(diǎn)微分單元體的平衡。彈性體內(nèi)部單元體的平衡條件為平衡微分方程和切應(yīng)力互等定理；邊界單元體的平衡條件為面力邊界條件。. 重點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的定義：應(yīng)力矢量；正應(yīng)力與切應(yīng)力；應(yīng)力分量；平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理；面力邊界條件；應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式；應(yīng)力狀態(tài)特征方程和應(yīng)力不變量；2.5 面力邊界條件學(xué)習(xí)思路 :在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力分量必須與體力滿足平衡微分方程；在彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件，以維持彈性體表面的平衡。面力邊界條件的推導(dǎo)時(shí)，參考了應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量關(guān)系表達(dá)式。只要

3、注意到物體邊界任意一點(diǎn)的微分四面體單元表面作用應(yīng)力分量和面力之間的關(guān)系就可以得到。面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，而平衡微分方程描述物體內(nèi)部的平衡。當(dāng)然，對(duì)于彈性體，這僅是靜力學(xué)可能的平衡，還不是彈性體實(shí)際存在的平衡。面力邊界條件確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：面力邊界條件 。物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)， 不僅整體，而且任意部分都是平衡的。 在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力分量必須與體力滿足平衡微分方程； 在彈性體的表面， 應(yīng)力分量須與表面力滿足面力邊界條件，以滿足彈性體表面的平衡。考慮物體表面任一微分四面體的平衡，如圖所示。由于物體表面受到表面力， 如壓力和接觸

4、力等的作用， 設(shè)單位面積上的面力分量為 Fsx、Fsy 和 Fsz ，物體外表面法線 n 的方向余弦為 l ，m，n。參考 應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系 ，可得用張量符號(hào)可以表示為上述公式是彈性體表面微分單元體保持平衡的必要條件，公式左邊表示物體表面的外力， 右邊是彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量。公式給出了應(yīng)力分量與面力之間的關(guān)系，稱為靜力邊界條件或面力邊界條件 。平衡微分方程和面力邊界條件都是平衡條件的表達(dá)形式， 前者表示物體內(nèi)部的平衡，后者表示物體邊界部分的平衡。顯然，若已知應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和面力邊界條件， 則物體平衡；反之，如物體平衡，則應(yīng)力分量必須滿足平衡微分方程和面力邊界條件。2

5、.6 坐標(biāo)變換的應(yīng)力分量和應(yīng)力張量學(xué)習(xí)思路 :一點(diǎn)的應(yīng)力不僅隨著點(diǎn)的位置改變而變化，而且由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。 因此必須探討一點(diǎn)任意截面應(yīng)力之間的變化關(guān)系。 應(yīng)力分量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)， 因此確定不同截面應(yīng)力分量的變化規(guī)律， 就可以確定應(yīng)力狀態(tài)。本節(jié)分析坐標(biāo)系改變時(shí)應(yīng)力分量的變化規(guī)律。為了簡(jiǎn)化分析，首先假設(shè)斜截面的法線與新坐標(biāo)軸方向相同， 建立斜截面應(yīng)力矢量表達(dá)式。 然后利用斜截面應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系， 將應(yīng)力矢量投影于各個(gè)坐標(biāo)軸得到應(yīng)力分量表達(dá)式。應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式說明：應(yīng)力分量滿足張量變換條件。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，應(yīng)力張量是二階對(duì)稱張量。轉(zhuǎn)軸公式說明了一點(diǎn)的應(yīng)

6、力狀態(tài)，盡管截面方位的變化導(dǎo)致應(yīng)力分量改變，但是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不變的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 坐標(biāo)系的變換 ； 2. 坐標(biāo)平面的應(yīng)力矢量 ; 3. 應(yīng)力分量的投影 ;4.應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式 ;5.平面問題的轉(zhuǎn)軸公式 。1一點(diǎn)的應(yīng)力不僅是坐標(biāo)的函數(shù)， 隨著彈性體中點(diǎn)的位置改變而變化， 而且即使同一點(diǎn)，由于截面的法線方向不同， 截面上的應(yīng)力也不相同。 一點(diǎn)的應(yīng)力隨著截面的法線方向的改變而變化稱為 應(yīng)力狀態(tài) 。應(yīng)力狀態(tài)分析 就是討論一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律。由于應(yīng)力分量可以描述應(yīng)力狀態(tài)， 因此討論坐標(biāo)系改變時(shí)， 一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量的變化就可以確定應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)，同一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量將作如何的改變

7、。容易證明，坐標(biāo)系僅作平移變換時(shí)，同一點(diǎn)的應(yīng)力分量是不會(huì)改變的，因此只須考慮坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的情況。假設(shè)在已知坐標(biāo)系Oxyz 中，彈性體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為如果讓坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，得到一個(gè)新的坐標(biāo)系 Oxyz。設(shè)新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系之間有如下關(guān)系 :其中， l i，mi， ni 表示新坐標(biāo)軸 Oxyz與原坐標(biāo)軸 Oxyz 之間的夾角方向余弦。如果用表示同一點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量。作斜截面 ABC 與 x 軸垂直，其應(yīng)力矢量為pn，則根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的表達(dá)式設(shè) i，j，k 為新坐標(biāo)系 Oxyz的三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，。將 pn ，即 px向 x 軸投影就得到 x；向 y 軸投影就得到 xy；

8、向 z 軸投影就得到 xz；所以將應(yīng)力矢量分量表達(dá)式代入上述各式，并分別考慮y，z 方向，則可以得到轉(zhuǎn)軸公式注意到 ,xy = yx ,yz = zy ,xz = zx。用張量形式描述，則上述公式可以寫作應(yīng)力變換公式表明：當(dāng)坐標(biāo)軸作轉(zhuǎn)軸變換時(shí)，應(yīng)力分量遵循張量的變換規(guī)律。坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后， 應(yīng)力分量的九個(gè)分量均有改變，但是作為一個(gè)整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)是不會(huì)發(fā)生變化的。應(yīng)力張量為二階對(duì)稱張量，僅有六個(gè)獨(dú)立分量。新坐標(biāo)系下的六個(gè)應(yīng)力分量可通過原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定。 因此，應(yīng)力張量的六個(gè)應(yīng)力分量就確定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于平面問題，如Ox 軸與 Ox 成角。則新舊坐標(biāo)系有如下關(guān)系：根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可得上

9、述公式即材料力學(xué)中常用的應(yīng)力變換公式。應(yīng)該注意的問題是：材料力學(xué)是根據(jù)變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量的，而彈性力學(xué)是根據(jù)坐標(biāo)軸定義應(yīng)力分量的符號(hào)的。 因此對(duì)于正應(yīng)力二者符號(hào)定義結(jié)果沒有差別，但是對(duì)于切應(yīng)力符號(hào)定義是不同的。 例如對(duì)于兩個(gè)相互垂直的微分面上的切應(yīng)力，根據(jù)彈性力學(xué)定義，符號(hào)是相同的，而根據(jù)材料力學(xué)定義，符號(hào)是相反的。2.7 主應(yīng)力和應(yīng)力不變量學(xué)習(xí)思路 :應(yīng)力狀態(tài)的確定，不僅需要描述一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化規(guī)律，而且需要確定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力，以及作用平面方位。本節(jié)討論應(yīng)力狀態(tài)的的重要概念主平面和主應(yīng)力。主平面是指切應(yīng)力為零的平面； 主平面法線方向稱為應(yīng)力主軸； 主平面的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。 主平

10、面和主應(yīng)力是描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的重要參數(shù)，關(guān)系彈性體的強(qiáng)度。根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義，可以建立其求解方程應(yīng)力狀態(tài)特征方程。對(duì)于應(yīng)力主軸，在主應(yīng)力求解后，再次應(yīng)用齊次方程組和方向余弦特性可以得到。主應(yīng)力特征方程的系數(shù)具有不變性、實(shí)數(shù)性和正交性。因此稱為應(yīng)力不變量。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：主平面與主應(yīng)力 ；2. l， m，n 的齊次線性方程組 ；3.應(yīng)力狀態(tài)特征方程 ；4.主應(yīng)力性質(zhì) ；5.正交性證明 。應(yīng)力狀態(tài)的確定， 不僅需要描述一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化規(guī)律， 而且需要確定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力，以及作用平面方位。物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力分量是隨坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)而改變的，那么，對(duì)于這個(gè)確定點(diǎn)，是否可以找到這樣一個(gè)坐標(biāo)系，在這

11、個(gè)坐標(biāo)系下， 該點(diǎn)只有正應(yīng)力分量， 而切應(yīng)力分量為零。也就是說：對(duì)于物體內(nèi)某點(diǎn)，是否能找到三個(gè)相互垂直的微分面，面上只有正應(yīng)力而沒有切應(yīng)力。 答案是肯定的， 對(duì)于任何應(yīng)力狀態(tài)， 至少有三個(gè)相互垂直平面的切應(yīng)力為零。切應(yīng)力為零的微分面稱為主微分平面，簡(jiǎn)稱主平面。主平面的法線稱為應(yīng)力主軸或者稱為應(yīng)力主方向 。主平面上的正應(yīng)力稱為 主應(yīng)力。根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義，可以建立其求解方程。設(shè)過點(diǎn) O 與坐標(biāo)軸傾斜的微分面ABC 為主微分面，如圖所示，其法線方向 n，既應(yīng)力主軸的三個(gè)方向余弦分別為 l ，m，n，微分面上的應(yīng)力矢量 pn，即主應(yīng)力的三個(gè)分量為 px, py, pz。根據(jù)主平面的定義， 應(yīng)

12、力矢量 pn 的方向應(yīng)與法線方向 n 一致，設(shè) 為主應(yīng)力，則應(yīng)力矢量的三個(gè)分量與主應(yīng)力的關(guān)系為px =l,py =m,pz =n。同時(shí)，根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量表達(dá)式，有將上述公式聯(lián)立求解，可以得到上述公式是一個(gè)關(guān)于主平面方向余弦l， m，n 的齊次線性方程組。求解關(guān)于 l ，m，n 的齊次線性方程組。 這個(gè)方程組具有非零解的條件為系數(shù)行列式等于零。即展開上述行列式 , 可得以上方程稱為 應(yīng)力狀態(tài)特征方程 ，是確定彈性體中任意一點(diǎn)主應(yīng)力的方程。其中，為應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式主對(duì)角線元素之和。，是行列式按主對(duì)角線展開的三個(gè)代數(shù)主子式之和。是行列式的值。由于一點(diǎn)的主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于物體所受

13、載荷和約束條件等，而與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。因此特征方程的根是確定的，即 I 1, I2, I3 的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。因此 I1, I 2, I 3 分別稱為應(yīng)力張量的第一，第二和第三不變量。應(yīng)當(dāng)指出，所謂不變量是指同一點(diǎn)的應(yīng)力張量而言的，它們與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。對(duì)于不同點(diǎn)，應(yīng)力狀態(tài)不同，這些量當(dāng)然是要變化的可以證明，特征方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，如用1，2 ，3分別表示這三個(gè)根，則它們代表某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力。對(duì)于應(yīng)力主軸方向的確定，可以將計(jì)算所得的1，2，3 分別代入齊次方程組的任意兩式，并且利用關(guān)系式聯(lián)立求解，則可以求得應(yīng)力主方向。應(yīng)力不變量 具有以下性質(zhì)：1.不變性：由于一點(diǎn)的正應(yīng)力和應(yīng)力

14、主軸方向取決于彈性體所受的外力和約束條件，而與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。因此對(duì)于任意一個(gè)確定點(diǎn)，特征方程的三個(gè)根是確定的，因此 I 1， I 2， I3 的值均與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量的各個(gè)分量變化，但該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力不變量正是對(duì)應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。2.實(shí)數(shù)性：特征方程的三個(gè)根，就是一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力，根據(jù)三次方程根的性質(zhì)，容易證明三個(gè)根均為實(shí)根，所以一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)。3.正交性：任一點(diǎn)的應(yīng)力主方向，即三個(gè)應(yīng)力主軸是正交的。下面證明主應(yīng)力的正交性：a.若1 2 3，則特征方程無重根，因此，應(yīng)力主軸必然相互垂直；b. 若12 3，則特征方程有兩重根，1 和2 的方向必然

15、垂直于3 的方向。而1 和2 的方向可以是垂直的，也可以不垂直；c. 若 1 2 3，則特征方程有三重根，三個(gè)應(yīng)力主軸可以垂直，也可以不垂直。這就是說，任何方向都是應(yīng)力主軸。證明應(yīng)力不變量的正交性。假設(shè)主應(yīng)力 1， 2 和 3 的方向余弦分別為（ l1，m1，n1），（ l2，m2，n2）和（ l 3，m3，n3），由于滿足齊次方程組，有將上述公式的前三式分別乘以l2，m2 和 n2 ，中間三式分別乘以 - l 1，- m1，n1，然后將六式相加，可得同理根據(jù)上述關(guān)系式，如果123，有l(wèi)1l2+m1 m2+n1n2 0， l 2l3+m2m3+n2n3 0，l1l3+m1m3+n1n3 0上式說明如果三個(gè)主應(yīng)力均不相等，則三個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂直的。如