1、高中數(shù)學(xué)必修 1 學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié) 第一章 集合與函數(shù)概念 【 】集合的含義與表示 （ 1）集合的概念 集合中的元素具有確定性,互異性和無(wú)序性 . （ 2）常用數(shù)集及其記法 N表示自然數(shù)集, N或 N表示正整數(shù)集, Z 表示整數(shù)集, Q 表示有理數(shù)集, R 表示實(shí)數(shù)集 . （ 3）集合與元素間的關(guān)系 對(duì)象 a 與集合 M 的關(guān)系是 aM,或者 a M ,兩者必居其一 . （ 4）集合的表示法 自然語(yǔ)言法：用文字表達(dá)的形式來(lái)描述集合 . 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái),寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合 . 描述法： x | x 具有的性質(zhì) ,其中 x 為集合的代表元素 . 圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合 .

2、 （ 5）集合的分類 含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集 . 含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集 . 不含有任何元素的集合 叫做空集 . 【 】集合間的基本關(guān)系 （ 6）子集,真子集,集合相等 名稱 記號(hào) 意義 性質(zhì) 2n示意圖 A A B 1AAAB B 子集 （或 A 中的任一元素都屬 2A A C,就 A CB A 于 B3如 B 且 B 4如 A B 且 B A ,就 A B 或 真子集 ABA） A B ,且 B 中至少 （ 1） A（ A 為非空子集） （或 B2如 A B 且 B C,就 A CB A 有一元素不屬于 A集合 A B A 中的任一元素都屬 1ABAB 于 B,B 中的任一

3、元素 相等 2BA1 個(gè)非空子都屬于 A（ 7）已知集合 A 有 nn 1 個(gè)元素,就它有 2n個(gè)子集,它有 2n1 個(gè)真子集,它有 集, 它有 2 n 2 非空真子. 集 【 】集合的基本運(yùn)算 （ 8）交集,并集,補(bǔ)集 名稱 記號(hào) 意義 性質(zhì) 示意圖 第 1 頁(yè),共 22 頁(yè)交集 A B x | x A, 且 A （1） A A A 2 A eUA UA B （2） A x B （3） A B A A B B 并集 A B x | x A, 或 （1） A A A A B （2） A A x B （3） A B A A B B 1 A eUA 補(bǔ)集 eUA x | x U , 且 x 痧 U

4、 A B U A .U B 痧 U A B UA .UB 【補(bǔ)充學(xué)問(wèn)】含確定值的不等式與一元二次不等式的解法 （ 1）含確定值的不等式的解法 不等式 0 把 ax b解集 | x | a, | x | a a 0 x | ax a | x | aa 0 x | x a或 x a 看 成 一 個(gè) 整 體 , 化 成 | ax b | c,| ax b | cc | x | aa 0 型不等式來(lái)求解 （2）一元二次不等式的解法 判別式 b24ac 000二次函數(shù) y 2 ax bx ca 0 x1,2 bb24ac x x bO 的圖象 一元二次方程 2 ax bx c 0 a 0 2a 無(wú)實(shí)根

5、2a 2 ax 的根 0 （其中 x1 x2 x | x b 2a Rbx c 0 a x | x x1 或 x x2 2 ax 的解集 0 x | x1 x x2 bx c 0 a 的解集 函數(shù)及其表示 第 2 頁(yè),共 22 頁(yè)【 】函數(shù)的概念 （ 1）函數(shù)的概念 設(shè) A , B 是兩個(gè)非空的數(shù)集, 假如依據(jù)某種對(duì)應(yīng)法就 f ,對(duì)于集合 A 中任何一個(gè)數(shù) x ,在集合 B 中都有唯獨(dú)確定的數(shù) f x 和它對(duì)應(yīng), 那么這樣的對(duì)應(yīng) （包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法就 f ） 叫做集合 A 到 B 的一個(gè)函數(shù),記作 f : A B 函數(shù)的三要素 : 定義域,值域和對(duì)應(yīng)法就 只有定義

6、域相同,且對(duì)應(yīng)法就也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù) （ 2）區(qū)間的概念及表示法 設(shè) a, b 是兩個(gè)實(shí)數(shù),且 a b ,中意 a x b 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間,記做 a,b ；中意 a x b 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做開(kāi)區(qū)間,記做 a,b ；中意 a x b ,或 a x b 的實(shí)數(shù) x 的 集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間,分別記做 a,b , a,b ；中意 x a, x a, x b, x b 的實(shí)數(shù) x 的集 合分別記做 a, , a, , , b, , b 留意：對(duì)于集合 x | a x b 與區(qū)間 a, b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必需 a b （ 3）求函數(shù)的定義域時(shí),一般

7、遵循以下原就： f x 是整式時(shí),定義域是全體實(shí)數(shù) f x 是分式函數(shù)時(shí),定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù) 1 f x 是偶次根式時(shí),定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合 對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí),底數(shù)須大于零且不等于 y tanx 中,x k 2 k Z 零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零 如 f x 是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四就運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí),就其定義域一般是各基本初等函數(shù) 的定義域的交集 對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題, 一般步驟是： 如已知 f x 的定義域?yàn)?a,b ,其復(fù)合函數(shù) f g x 的定義域應(yīng)由不等式 a g x b 解出 對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù),求其

8、定義域,依據(jù)問(wèn)題具體情形需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類爭(zhēng)辯 由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù),其定義域除使函數(shù)有意義外,仍要符合問(wèn)題的實(shí)際意義 （ 4）求函數(shù)的值域或最值 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上,假如在函數(shù)的值域中存在 第 3 頁(yè),共 22 頁(yè)一個(gè)最小（大）數(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的, 只是提問(wèn)的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法： 觀看法：對(duì)于比較簡(jiǎn)潔的函數(shù),我們可以通過(guò)觀看直接得到值域或最值 配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和,然后依據(jù)變量的取值范疇確定函數(shù)的 值域或最值 判別式法：如函數(shù) y f x 可以化成一個(gè)

9、系數(shù)含有 y 的關(guān)于 x 的二次方程 2a y x b y x c y 0 ,就在 a y 0 時(shí),由于 x, y 為實(shí)數(shù),故必需有 b 2 y 4a y c y 0 ,從而確定函數(shù)的值域或最值 不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值 換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn),化難為易的目的,三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 三角函數(shù)的最值問(wèn)題 反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值 數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值 函數(shù)的單調(diào)性法 【 】函數(shù)的表示法 （ 5）函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的方法,常用的有解析法,列表法,圖象法三種 解析法

10、：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之 間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 （ 6）映射的概念 設(shè) A , B 是兩個(gè)集合,假如依據(jù)某種對(duì)應(yīng)法就 f ,對(duì)于集合 A 中任何一個(gè)元素,在集合 B 中都 有唯獨(dú)的元素和它對(duì)應(yīng), 那么這樣的對(duì)應(yīng) （包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法就 f ）叫做集合 A 到 B 的映射,記作 f : A B 給定一個(gè)集合 A 到集 B 的映射,且 a A,b B 假如元素 a 和元素 b 對(duì)應(yīng), 那么我們把元素 合 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 函數(shù)的基本性質(zhì) 【1

11、.3.1 】單調(diào)性與最大（小）值 （ 1）函數(shù)的單調(diào)性 定義及判定方法 函數(shù)的 定義 圖象 判定方法 性 質(zhì) 第 4 頁(yè),共 22 頁(yè)函數(shù)的 假如對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某 yy=fXfx2xx（ 1）利用定義 個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量 （ 2）利用已知函數(shù)的 的值 x1,x2, 當(dāng) x x 時(shí),都 單調(diào)性 有 fx1fx2, 那 么 就 說(shuō) fx1（ 3）利用函數(shù)圖象 （在 fx 在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù) 某個(gè)區(qū)間圖 ox1x2象上升為增） （ 4）利用復(fù)合函數(shù) 單調(diào)性 假如對(duì)于屬于定義域 I 內(nèi)某 yy=fX（ 1）利用定義 （ 2）利用已知函數(shù)的 個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量 單調(diào)性 fx1的值

12、x 1, x2,當(dāng) x fx2, 那 么 就 說(shuō) fx 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù) fx 某個(gè)區(qū)間圖 象下降為ox1x 2 減） （ 4）利用復(fù)合函數(shù) 在公共定義域內(nèi),兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù),兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù),增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為 增函數(shù),減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù) 對(duì) 于 復(fù) 合 函 數(shù) y f g x , 令 ug x , 如 y f u 為 增 , ug x 為 增 , 就 x y f gx 為增；如 y f u 為減, ug x 為減,就 y f g x 為增；如 y f u 為 增 , ug x 為 減 ,就 y f g x 為 減 ； 如 y f u 為 減, u g x 為

13、增, 就 y y f gx 為減（ 2）打“”函數(shù) f x x a a x 0 的圖象與性質(zhì) f x 分別在 , a, a, 上為增函數(shù),分別在 o a ,0 , 0, a 上為減函數(shù) （ 3）最大（小）值定義 一般地,設(shè)函數(shù) y f x 的定義域?yàn)?I ,假如存在實(shí)數(shù) M 中意：（ 1） 對(duì)于任意的 x I ,都有 f x M； （ 2 ）存在 x0 I ,使得 f x0 M那么,我們稱 M 是函數(shù) f x 的最大值,記作 fmax x M 一般地,設(shè)函數(shù) y f x 的定義域?yàn)?I ,假如存在實(shí)數(shù) m 中意：（1）對(duì)于任意的 x I ,都有 f x m ；（2）存在 x0 I ,使得 f

14、x0 m 那么,我們稱 m 是函數(shù) f x 的最小值,記作 fmax x m 第 5 頁(yè),共 22 頁(yè)【 】奇偶性 （ 4）函數(shù)的奇偶性 定義及判定方法 函數(shù)的 定義 圖象 判定方法 性 質(zhì) 假如對(duì)于函數(shù) fx 定義域內(nèi) （ 1）利用定義（要先 任意一個(gè) x,都有 fx=判確定義域是否關(guān)于 fx,那么函數(shù) fx 叫做 原點(diǎn)對(duì)稱） 數(shù) 奇函 （ 2）利用圖象（圖象 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱） 函數(shù)的 奇偶性 假如對(duì)于函數(shù) fx 定義域內(nèi) （ 1）利用定義（要先 任意一個(gè) x,都有 fx=fx,判確定義域是否關(guān)于 那么函數(shù) fx 叫做偶函數(shù) 原點(diǎn)對(duì)稱） （ 2）利用圖象（圖象 關(guān)于 y 軸對(duì)稱） 如函數(shù) f

15、x 為奇函數(shù),且在 x 0 處有定義,就 f 0 0 奇函數(shù)在 y 軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同,偶函數(shù)在 y 軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反 在公共定義域內(nèi),兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)） ,兩個(gè)偶函數(shù)（或 奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù),一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù) 補(bǔ)充學(xué)問(wèn)函數(shù)的圖象 （ 1）作圖 利用描點(diǎn)法作圖： 確定函數(shù)的定義域； ； 化解函數(shù)解析式； 爭(zhēng)辯函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性,單調(diào)性） 畫出函數(shù)的圖象 利用基本函數(shù)圖象的變換作圖： 要精確記憶一次函數(shù),二次函數(shù),反比例函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù)等各種基本 初等函數(shù)的圖象 平移變換 y

16、 f x h h 0,左移 h個(gè)單位 0,右移 | h|個(gè)單位 y f x h y f x k 0,上移 k個(gè)單位 k 0,下移 | k|個(gè)單位 y f x k 伸縮變換 y f x 01,伸y f x 1,縮y f x 0A 1,縮y Af x A 1,伸對(duì)稱變換 y f x xy f x y f x yy f x 軸 軸 第 6 頁(yè),共 22 頁(yè)y f x 原點(diǎn) y f x y f x 直線 y x y 1 f x y f x 去掉 y 軸左邊圖y f | x | 象 保留 y 軸右邊圖象,并作其關(guān)于 y軸對(duì)稱圖 象 y f x 保留 x 軸上方圖象 將 x 軸下方圖象翻折上y | f x

17、 | （ 2）識(shí)圖 去 對(duì)于給定函數(shù)的圖象,要能從圖象的左右,上下分別范疇,變化趨勢(shì),對(duì)稱性等方面爭(zhēng)辯函數(shù)的定義 域,值域,單調(diào)性,奇偶性,留意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系 （ 3）用圖 函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為爭(zhēng)辯數(shù)量關(guān)系問(wèn)題供應(yīng)了“形”的直觀性,它是探求解題途徑, 獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法 高中數(shù)學(xué)必修 1 學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié) 其次章 基本初等函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 【 】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 （ 1）根式的概念 n 假如 x a, a R, x R,n 1 ,且 n N,那么 x 叫做 a 的 n 次方根當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí), n n a 的 n 次方根用符號(hào) a表示； 當(dāng)

18、 n 是偶數(shù)時(shí), 正數(shù) a 的正的 n 次方根用符號(hào) a表示, 負(fù)的 n 次方 根用符號(hào) n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；負(fù)數(shù) a 沒(méi)有 n 次方根 式子 na 叫做根式,這里 n 叫做根指數(shù), a 叫做被開(kāi)方數(shù)當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí), a 為任意實(shí)數(shù)；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí), a 0 n n 根 式 的 性 質(zhì) ： n a n a ； 當(dāng) n 為 奇 數(shù) 時(shí) , a a； 當(dāng) n 為 偶 數(shù) 時(shí) , n a n | a | a a 0 a a 0 （ 2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是： mnm a a 0, m, n N, 且 n 1 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù) a n 冪等于 0 正數(shù)

19、的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是： am 1 mnan a 1ma0, m, n N , 且 n 1 0n的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義 （ 3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 留意口訣：底數(shù)取倒數(shù),指數(shù)取相反數(shù) r a as r s a a 0, r , s R R r s a rs a a 0, r , s R r ab r r a b a 0, b 0, r 第 7 頁(yè),共 22 頁(yè)【 】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) （ 4）指數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 定義 函數(shù) y x a a 指數(shù)函數(shù) 0且 a 1 叫做指數(shù)函數(shù) a1x0a 1 yyayaxy圖象 y1y10,10,1定義域 OxOxR值域 0, 過(guò)定點(diǎn) 圖象過(guò)定點(diǎn) 0,1 ,即

20、當(dāng) x 0 時(shí), y 1 奇偶性 非奇非偶 單調(diào)性 在 R 上是增函數(shù) 在 R 上是減函數(shù) 函數(shù)值的 ax 1 x 0 ax 1 x 0 ax 1 x 0 ax 1 x 0 變化情形 a 變化對(duì) 圖象的影響 ax 1 x 0 a x 1 x 0 在第一象限內(nèi), a 越大圖象越高；在其次象限內(nèi), a 越大圖象越低 對(duì)數(shù)函數(shù) 【 】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 （ 1）對(duì)數(shù)的定義 如 ax N a 0, 且 a 1,就 x 叫做以 a 為底 N的對(duì)數(shù),記作 x log N,其中 a 叫做底數(shù), N叫做真數(shù) 負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù) 對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化： x log aNax N a 0, a1, N0 （ 2）幾個(gè)重

21、要的對(duì)數(shù)恒等式 log a 1 0 , log a a b 1 , loga a b （ 3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù) 常用對(duì)數(shù)： lg N ,即 log10 N ；自然對(duì)數(shù)： ln N ,即 log e N （其中 e） 第 8 頁(yè),共 22 頁(yè)（ 4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 假如 a0, a 1,M 0, N 0 ,那么 log a N loga M N1 加法： log a Mloga Nloga MN 減法： log a M 數(shù)乘： n log aMlog aMn n R alog a N Nlog b N b 0, 且 b log b aMnnlog a M b 0, n R 換底公式： log

22、a N blog b a 【 】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) （ 5）對(duì)數(shù)函數(shù) 函數(shù) 名稱 y函數(shù) y 對(duì)數(shù)函數(shù) 1 叫做對(duì)數(shù)函數(shù) loga x定義 log a x a 0 且 aa 1 loga x0 a 1x1yyx1y圖象 1,0定義域 O1,0 x0, Ox值域 在 0, R過(guò)定點(diǎn) 圖象過(guò)定點(diǎn) 1,0 ,即當(dāng) x 1 時(shí), y 0 奇偶性 非奇非偶 單調(diào)性 上是增函數(shù) 在 0, 上是減函數(shù) 函數(shù)值的 loga x 0 x 1 loga x 0 x 1 loga x 0 x 1 loga x 0 x 1 變化情形 a 變化對(duì) 圖象的影響 loga x 00 x 1 loga x 00 x 1 a 越

23、大圖象越靠低；在第四象限內(nèi), a 越大圖象越靠高 在第一象限內(nèi), 6 反函數(shù)的概念 設(shè)函數(shù) y f x 的定義域?yàn)?A ,值域?yàn)?C ,從式子 y f x 中解出 x ,得式子 x y 如 第 9 頁(yè),共 22 頁(yè)果對(duì)于 y 在 C 中的任何一個(gè)值,通過(guò)式子 x y , x 在 A 中都有唯獨(dú)確定的值和它對(duì)應(yīng),那么式 子 x y 表示 x 是 y 的函數(shù),函數(shù) x y 叫做函數(shù) y f x 的反函數(shù),記作 x f 1 y , 習(xí)慣上改寫成 y f 1 x （7）反函數(shù)的求法 確定反函數(shù)的定義域,即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式 y f x 中反解出 x f 1 y ； 將 x f 1 y 改寫成 y

24、 f 1 x ,并注明反函數(shù)的定義域 （8）反函數(shù)的性質(zhì) 原函數(shù) y f x 與反函數(shù) y f 1 x 的圖象關(guān)于直線 y x 對(duì)稱 x 的圖象上 函數(shù) y f x 的定義域,值域分別是其反函數(shù) y f 1 x 的值域,定義域 如 Pa,b 在原函數(shù) y f x 的圖象上,就 P b, a 在反函數(shù) y f 1一般地,函數(shù) y f x 要有反函數(shù)就它必需為單調(diào)函數(shù) 冪函數(shù) （ 1）冪函數(shù)的定義 一般地,函數(shù) y x 叫做冪函數(shù),其中 x 為自變量, 是常數(shù) （ 2）冪函數(shù)的圖象 （ 3）冪函數(shù)的性質(zhì) 圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一,二,三象限,第四象限無(wú)圖象 冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí),圖象分布在第 第

25、 10 頁(yè),共 22 頁(yè)一,二象限 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱 ；是奇函數(shù)時(shí),圖象分布在第一,三象限 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ；是非奇非 偶函數(shù)時(shí),圖象只分布在第一象限 過(guò)定點(diǎn)：全部的冪函數(shù)在 0, 都有定義,并且圖象都通過(guò)點(diǎn) 1,1單調(diào)性：假如 0 ,就冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn),并且在 0, 上為增函數(shù)假如 0 ,就冪函數(shù) 的圖象在 0, 上為減函數(shù),在第一象限內(nèi),圖象無(wú)限接近 x 軸與 y 軸 奇偶性： 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí), 冪函數(shù)為奇函數(shù), 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí), 冪函數(shù)為偶函數(shù) 當(dāng) q（其中 p, q 互 pq qp p質(zhì), p 和 q Z ）,如 p 為奇數(shù) q為奇數(shù)時(shí), 就 y x 是奇函數(shù), 如 p 為奇數(shù) q

26、 為偶數(shù)時(shí), 就 y x q是偶函數(shù),如 p為偶數(shù) q 為奇數(shù)時(shí),就 y x p 是非奇非偶函數(shù) ,當(dāng) 1 時(shí),如 0 x 1,其圖象在直線 y x 下方,如 圖象特點(diǎn)：冪函數(shù) y x , x 0, x 1 ,其圖象在直線 y x 上方,當(dāng) 1 時(shí),如 0 x 1,其圖象在直線 y x 上方,如 x 1 , 其圖象在直線 y x 下方 補(bǔ)充學(xué)問(wèn)二次函數(shù) （ 1）二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式： f x 2 ax bx c a 0 頂點(diǎn)式： f x ax h2k a 0 兩根式： f x a x x1 x x2 a 0 （ 2）求二次函數(shù)解析式的方法 已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),宜用一般式 已知拋物線的

27、頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時(shí),常使用頂點(diǎn)式 如已知拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn),且橫線坐標(biāo)已知時(shí),選用兩根式求 f x 更便利 （ 3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì) 二次函數(shù) f x 2 ax bx c a 0 的圖象是一條拋物線,對(duì)稱軸方程為 x b , 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 2 a 2 a b , 4ac b 4a 2 上遞增, 當(dāng) x b時(shí), 當(dāng) a0 時(shí),拋物線開(kāi)口向上, 函數(shù)在 , b 上遞減, 在 2a b , 2 a 2a fmin x 4ac 2 b；當(dāng) a 0 時(shí),拋物線開(kāi)口向下,函數(shù)在 , b 2a 上遞增,在 b , 2a 上 4a 遞減,當(dāng) x b時(shí), fmax x 4ac

28、2 b 2a 4a 第 11 頁(yè),共 22 頁(yè)二次函數(shù) f x 2 ax bx c a 0 當(dāng) b24ac 0 時(shí),圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) 但尚不 M1x1,0,M2x2,0,|M1M2 | |x1 x2 | | a| 這部分學(xué)問(wèn)在中學(xué)代數(shù)中雖有所涉及, （ 4）一元二次方程 2 ax bx c 0a 0 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容, 夠系統(tǒng)和完整,且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用, 下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì),系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布 2 設(shè)一元二次方程 ax bx c 0a 0 的兩實(shí)根為 x1 , x2 ,且

29、x1 x2 令 x bf x ax2bx c ,從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類問(wèn)題： 開(kāi)口方向： a對(duì)稱軸位置： 2a 判別式： 端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào) k x1 x2f k 0y x a0 x k x1 0y x bx 2a k x1 O x2 O x2 bf k a 0 2a x1 x2 kax1 0y x f k 0ax1 y x bx 2a O x2 x O x2 k k x1 k x2x1 O y bx 0y f k 02a af k 0 f k 0a0 x1 x O k x2 k x2 f k 0a0第 12 頁(yè),共 22 頁(yè)k1 x1 x2k2y a0y 0 x b 2a x f k1 0f

30、k2 0O k1 x1 x 2 k 2 x O k1 x2 k2 x1 x b 2a f k1 f k2 0a00,并同時(shí)考慮 f k1=0f k1 f k2 有且僅有一個(gè)根 x（1或 x2）中意 k1 x（1或 x2）k2或 f k2=0這兩種情形是否也符合 y f k1 a00 x O y f k1 0 x 0O k1 x1 k 2 x2 x1 k1 x2 k2 f k 2 a0f k2 0k1 x1 k2p1 x2 p2此結(jié)論可直接由推出 （ 5）二次函數(shù) f x 2 axbx ca 0 在閉區(qū)間 p, q 上的最值 bq,就 b 2a x 設(shè) f x 在區(qū)間 p, q 上的最大值為 M

31、,最小值為 m ,令 x0 1 p q 2（）當(dāng) a 0 時(shí)（開(kāi)口向上） 如 bp ,就 mf p 如 pbq,就 mf b 2a 如 2a 2a 2a mf q p f 如 bq f x p f q f x O O O f f q b 2a f x 0b 2a ,就 Mf p q f f x 0f pb ,就 2M2a O xq f x p x0 f b 2a x 第 13 頁(yè),共 22 頁(yè)O f q f f pb 當(dāng) a 0 時(shí) 開(kāi)口向下 bq,就 Mf b 2a 如 bq ,就 b 2a x 如 bp ,就 Mf p 如 p2a 2a 2 a Mf q f f b 2a p q ff f

32、 b 2a f p p O O x O x f f f q q x 如 bx 0,就 mf q bx 0,就 mf p 2a 2a f f b 2a q f f b 2a p x0 x0 O x O f f q p 高中數(shù)學(xué)必修 1 學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 一,方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 1,函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù) y f x x D ,把使 f x 0 成立的實(shí)數(shù) x 叫 做函數(shù) y f x x D 的零點(diǎn)； 2,函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) y f x 的零點(diǎn)就是方程 f x 0 實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù) y f x 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；即： 方程 f x 0 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) y f x 的

33、圖象與 x 軸有交點(diǎn) 函數(shù) y f x 有零點(diǎn) 3,函數(shù)零點(diǎn)的求法： 求函數(shù) y f x 的零點(diǎn)： y f x 的圖象聯(lián)系 1（代數(shù)法）求方程 f x 0 的實(shí)數(shù)根； 2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù) 起來(lái),并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn) 4,二次函數(shù)的零點(diǎn)： 2二次函數(shù) y ax bx c a 0 2）,方程 ax bx c 0 有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個(gè) 交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) ）,方程 ax 2bx c 0 有兩相等實(shí)根（二重根） ,二次函數(shù)的圖象與 x 第 14 頁(yè),共 22 頁(yè)軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn) ）,方程 2 ax bx

34、c 0 無(wú)實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 x 軸無(wú)交點(diǎn),二次 函數(shù)無(wú)零點(diǎn) 高中數(shù)學(xué)必修 2 學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié) 第一章 空間幾何體 柱,錐,臺(tái),球的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 空間幾何體的三視圖和直觀圖 1 三視圖： 正視圖：從前往后 側(cè)視圖：從左往右 俯視圖：從上往下 2 畫三視圖的原就： 長(zhǎng)對(duì)齊,高對(duì)齊,寬相等 3 直觀圖：斜二測(cè)畫法 4 斜二測(cè)畫法的步驟： （ 1）.平行于坐標(biāo)軸的線照舊平行于坐標(biāo)軸； （ 2）.平行于 y 軸的線長(zhǎng)度變半,平行于 x, z 軸的線長(zhǎng)度不變； （ 3）.畫法要寫好； 5 用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟： （1）畫軸（ 2）畫底面（ 3）畫側(cè)棱（ 4）成圖 1.3 空間幾何體的表面積與體積 （

35、一 ）空間幾何體的表面積 1 棱柱,棱錐的表面積： 各個(gè)面面積之和 R23圓錐的表面積 S S rl r22 圓柱的表面積 S 2rl 2 r24 圓臺(tái)的表面積 S rl r2Rl 5 球的表面積 4R2（二）空間幾何體的體積 1 柱體的體積 V ShS 上 SS 下 h2 錐體的體積 V 1Sh33 臺(tái)體的體積 V 底 1（ S 3 上4 球體的體積 底 4R3V 3下高中數(shù)學(xué)必修 2 學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié) 其次章 直線與平面的位置關(guān)系 0 45 ,且橫邊畫 A DB C空間點(diǎn),直線,平面之間的位置關(guān)系 1 平面含義：平面是無(wú)限延展的 2 平面的畫法及表示 （1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)

36、平行四邊形,銳角畫成 成鄰邊的 2 倍長(zhǎng)（如圖） （2）平面通常用希臘字母 , , 等表示,如平面 ,平面 等,也可以用表示平面的平行四邊形的 四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示,如平面 AC,平面 ABCD等； 3 三個(gè)公理： 第 15 頁(yè),共 22 頁(yè)（1）公理 1：假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi) 符號(hào)表示為 AL = L A LBL A B 公理 1 作用：判定直線是否在平面內(nèi) （2）公理 2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面； 符A CB 號(hào)表示為： A,B, C 三點(diǎn)不共線 = 有且只有一個(gè)平面 , 使 A , B ,C ； 公理 2 作用：

37、確定一個(gè)平面的依據(jù)； （3）公理 3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線； L符號(hào)表示為： P = =L,且 PL 公理 3 作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù) P 2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系： 相交直線：同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 共面直線 異面直線： 平行直線：同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)； 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)； 2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行； 符號(hào)表示為：設(shè) a,b,c 是三條直線 a b c b =ac 強(qiáng)調(diào)：公理 4 實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性,在平面,空間這個(gè)性質(zhì)都適

38、用； 公理 4 作用：判定空間兩條直線平行的依據(jù)； 3 等角定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 4 留意點(diǎn)： a 與 b 所成的角的大小只由 a, b 的相互位置來(lái)確定,與 O 的選擇無(wú)關(guān),為簡(jiǎn)便,點(diǎn) O 一般取在兩直 線中的一條上； 兩條異面直線所成的角 0 , ； 2 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí),我們就說(shuō)這兩條異面直線相互垂直,記作 a b； 兩條直線相互垂直,有共面垂直與異面垂直兩種情形； 運(yùn)算中,通常 把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角； 2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面,平面與平面之間的位置關(guān)系 1,直線與平面有三種位置關(guān)系：

39、（1）直線在平面內(nèi) 有許多個(gè)公共點(diǎn) a 來(lái)表（2）直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) （3）直線在平面平行 沒(méi)有公共點(diǎn) 指出：直線與平面相交或平行的情形統(tǒng)稱為直線在平面外,可用 示 第 16 頁(yè),共 22 頁(yè)a a =A a 2.2. 直線,平面平行的判定及其性質(zhì) 2.2.1 直線與平面平行的判定 1,直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,就該直線與此平面平行； 簡(jiǎn)記為：線線平行,就線面平行； 符號(hào)表示： a = a b ab 2.2.2 平面與平面平行的判定 1,兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行,就這兩個(gè)平面平行； 符號(hào)表示： a b

40、 ab = P a b 2,判定兩平面平行的方法有三種： （1）用定義； （2）判定定理； （3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行； 2.2.3 2.2.4 直線與平面,平面與平面平行的性質(zhì) 1,定理：一條直線與一個(gè)平面平行,就過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行； 簡(jiǎn)記為：線面平行就線線平行； 符號(hào)表示： a a a b = b 作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題； 2,定理：假如兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行； 符號(hào)表示： = a a b = b 作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行 直線,平面垂直的判定及其性質(zhì) 直線與平面垂直的判定 第 17 頁(yè),共

41、 22 頁(yè)1,定義 假如直線 L 與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線 L 與平面 相互垂直,記作 L ,直 線 L 叫做平面 的垂線,平面 叫做直線 L 的垂面；如圖,直線與平面垂直時(shí) , 它們唯獨(dú)公共點(diǎn) P 叫做垂 足； Lp 2,判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,就該直線與此平面垂直； 留意點(diǎn)： a 定理中的“兩條相交直線”這一條件不行忽視； b 定理表達(dá)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想； 平面與平面垂直的判定 1,二面角的概念：表示從空間始終線動(dòng)身的兩個(gè)半平面所組成的圖形 A 梭 l B 2,二面角的記法：二面角 -l- 或 -AB-

42、 3,兩個(gè)平面相互垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,就這兩個(gè)平面垂直； 2.3.3 2.3.4 直線與平面,平面與平面垂直的性質(zhì) 1,定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行； 2 性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直,就一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直； 本章學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)框圖 平面（公理 1 ,公理 2,公理 3,公理 4） 空間直線,平面的位置關(guān)系 直線與平面的位置關(guān)系 平面與平面的位置關(guān)系 第 18 頁(yè),共 22 頁(yè)高中數(shù)學(xué)必修 2 學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié) 第三章 直線與方程 直線的傾斜角和斜率 傾斜角和斜率 1,直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線 l 與 x 軸相交時(shí) , 取 x 軸作為基準(zhǔn) , x 軸正

43、向與直線 l 向上方向之間所成 的角 叫做直線 l 的傾斜角 . 特別地 , 當(dāng)直線 l 與 x 軸平行或重合時(shí) , 規(guī)定 = 0 . 2, 傾斜角 的取值范疇： 0 180 . 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí) , = 90 . 3,直線的斜率 : 一條直線的傾斜角 90 的正切值叫做這條直線的斜率 , 斜率常用小寫字母 k 表示 , 也就是 k = tan 當(dāng)直線 l 與 x 軸平行或重合時(shí) , =0 , k = tan0 =0; 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí) , = 90 , k 不存在 . 由此可知 , 一條直線 l 的傾斜角 確定存在 , 但是斜率 k 不愿定存在 . 4, 直線的斜率公

44、式 : 給定兩點(diǎn) P1x1,y1,P2x2,y2,x1 x2, 用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線 P1P2 的斜率： 斜率公式 : k=y2-y1/x2-x1 兩條直線的平行與垂直 1,兩條直線都有斜率而且不重合,假如它們平行,那么它們的斜率相等；反之,假如它們的斜率相等, 那么它們平行,即 留意 : 上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少這個(gè)前提,結(jié)論并不成立即 假如 k1=k2, 那么確定有 L1 L2 2,兩條直線都有斜率,假如它們相互垂直,那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之,假如它們的斜率互為負(fù) 倒數(shù),那么它們相互垂直,即 3.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程 1, 直線的點(diǎn)斜式方程：

45、直線 l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P0 x0 , y0 ,且斜率為 k y y0 k x x0 2,直線的斜截式方程：已知直線 l的斜率為 k ,且與 y 軸的交點(diǎn)為 0,b y kx b3.2.2 直線的兩點(diǎn)式方程 1,直線的兩點(diǎn)式方 程 ： 已 知 兩 點(diǎn) P1 x1, x2, P2 x2, y2 其 中 x1 x2 , y1 y2 y-y1/y-y2=x-x1/x-x22,直線的截距式方程：已知直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)為 A a,0 ,與 y 軸的交點(diǎn)為 B 0,b ,其中 a 0,b 03.2.3 直線的一般式方程 第 19 頁(yè),共 22 頁(yè)1,直線的一般式方程：關(guān)于 x, y 的二元一次方程 Ax By C0 （A, B 不同時(shí)為 0） 2,各種直線方程之間的互化； 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 1,給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo) L1 ：3x +4y-2=0L1：2x+y +2=0y1 2解 ： 解 方 程 組 3x y4 20P1P2 x2 x2 2y2 2x y2 2得 x=-2, y=2 所以 L1 與 L2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 M （ -2, 2） 一,兩點(diǎn)間距離 兩點(diǎn)間的 距離公式 二,點(diǎn)到直線的 距離公式 1點(diǎn)到直線距離公式： 點(diǎn) P x0 , y0 到直線