1、多目標規(guī)劃一. 問題引出二. 基本概念三. 基本方法引例： 考慮一個投資問題，假設在一段時間內總共有 億元的資金可用于建廠投資?？晒┻x擇的項目為1，2， 而且，一旦對第 個項目投資，則需投資 億元，而在這個時間段內，第 個項目的收益為 億 元。如何確定最優(yōu)投資方案。建立數學模型：若對第 個項目投資若對第 個項目不投資約束條件為：目標函數： 投資少，收益大 在處理單目標最優(yōu)化問題時，其任務是選擇一個或一組變量，使目標函數取極小（或極大）值。對任意可行解，只要比較它們對應的目標值，就可以判斷哪個優(yōu)哪個劣。也就是說，我們總能排出它們的次序來。但是在多目標情況下，問題就不是那么單純了。例如，我們希望兩

2、個目標和越大越好. 678934512第一目標第二目標兩個目標下解的比較 按照這種比法，方案1、2、3、4、5都是劣解。而余下的6、7、8、9則不然。這幾個方案的特點是，它們中的任何一個和其余的任何一個相比，總有一個指標優(yōu)越，但又不會兩個指標都優(yōu)越。像這樣的解，既不會被舍去，又不是全面優(yōu)越于其他解，為非劣解或有效解。一般思路先找出非劣解按一定法從它們之中選取一個比較好的作 為“最優(yōu)”方案數學語言： 假設所討論的問題中要同時考慮多個目標。我們希望它們越小越好（若極大值可轉化為極小值），即： 式中， 是 的函數限定的約束集合。 這一問題的非劣解 ，是指不能再找到一個 使得(1)對于所有的 來說，都

3、有(2)而且至少有一個 ,有* 為了防止在這一問題上有兩個目標值全相同的非劣解時，造成判 斷錯誤。基本方法一、將多目標轉化為單目標 優(yōu)選法 線形加權法 平方和加權法 乘除法 分層序列法二、直接用數學方法求非劣解1.優(yōu)選法（使主要目標優(yōu)化兼顧其它目標） 假定要求 個目標 的最優(yōu)值，約束條件為 。如果其中一個目標比較關鍵，如 希望它取極小值，使其他目標滿足一定條件，如使 而把問題轉化為單目標規(guī)劃問題 在工程上，往往采取先抓住某個主要指標作為優(yōu)化設計追求的目標，例如取強力為目標函數，則問題歸結為：其中 為常數，表示第個指標的上、下限。2.線性加權法 當 個目標 都要求最小時，可以給每個目標相應的權系

4、數 ，且 ，構成新的目標函數 然后使這個新的目標函數取極小值。這里的權系數大小根據每個目標函數的相對重要性來確定。 如果對其中不同的目標重視程度不同，則可采用加權的平方和作為評價函數，即求：式中， 為加權系數，可按各目標被重視的程度給出。4.乘除法 設 有個目標 。式中，有 個要求極小值，例如設 ，而余下 的要求其極大值，并假定 。這時，采用以下評價函數：作為單目標問題求極小值。5.分層序列法 將目標按重要性的次序分成最重要目標、次重要目標，如 。然后按順序將一個多目標規(guī)劃問題轉化為一系列單目標優(yōu)化問題來求解。步驟： 主要目標 的最優(yōu)集合為 ，再在集合內求次重要目標 的最優(yōu)解，設此時的最優(yōu)解集合為 ，如此繼續(xù)進行，直到