1、流體力學基礎第1頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四5.0 概述 流體靜力學問題相對較簡單，主要是討論平衡狀態下的壓強關系. 流體動力學在日常生活、水利工程和生物體內的許多活動過程中都有突出的應用，如血液的流動、體液的輸運和呼吸過程等.液體和氣體總稱流體.流體各部分之間很容易發生相對運動，因而沒有固定的形狀.這種性質叫做流動性，是流體區別于固體的主要特征.研究流體及其運動規律的科學叫流體力學，流體力學分為流體靜力學和流體動力學兩個分支.第2頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四5.2 理想流體的穩定流動 一、 理想流體實際流體的運動往往是比較復雜的，為

2、了使問題簡化，我們先忽略一些次要因素，提出理想流體的模型，導出理想流體運動的基本規律，再結合實際流體的特點，總結出實際流體運動的規律.絕對不可壓縮，完全沒有黏滯性的流體，稱為理想流體.第3頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四一般說來，液體在流動時，在同一時刻液體內空間各點上液體粒子的速度是不相同的；而在不同時刻通過空間同一點的液體粒子速度也是不相同的. 1. 流線-為了形象地表示液體的流動情況，在任一時刻，可以在液體流動的空間內作出一些曲線，使曲線上各點的切線方向和液體粒子通過該點的速度方向一致，這種曲線叫做該時刻的流線. 一般地，空間的流線圖形在不同時刻是不一樣的. 應

3、該注意，液體粒子運動的軌跡是液體粒子在一段時間內所通過的路程，不能將它與某一時刻的流線圖形混為一談.二、 穩定流動第4頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 2.穩定流動-如果空間流速分布不隨時間而變，即在不同時刻相繼而出現在空間同一點的液體粒子總以同樣的速度通過該點，這樣的流動叫做穩定流動. 3.流管-流體中一束流線所圍成的管狀區域叫做流管. 顯然，流體不能從流管壁流入或流出.流體作穩定流動時，空間流線圖形不隨時間而變，并且流線也就是液體粒子運動的軌跡.液體作穩定流動時，每一時刻空間每一點只能有一個速度，所以，兩條流線不可能相交，即流體粒子不可能從一條流線流到另一條流線上

4、.第5頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 -設理想流體作穩定流動.在流體中任取一流管，并在流管中任選兩個與流線垂直的橫截面，其面積分別為 及 ，兩個截面處的平均流速為 、 . 因為流體不可壓縮，則在任意一段時間內，從截面流入該段流管的流體體積應與從截面流出的流體體積相等三、 連續性方程 第6頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 由于截面 和 是任選的，故式(5.3)對任意兩個與流管垂直的截面都成立，于是式(5.3) 可寫成 (5.4)式(5.3)和(5.4)稱為理想流體作穩定流動時的連續性方程.它表明，同一流管中任意兩截面處的流速與流管截面積成反比

5、，或截面積與流速的乘積為一恒量.乘積 叫做通過該流管的流率或流量. 流量的單位是 .即 (5.3)第7頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四若總管橫截面積為 ，平均流速為 ，分支管橫截面積分別為 、 ，流速分別為 、 ，則由連續性方程有在日常生活中,常見的自來水管和煤氣管都可視為流管.當管道有分支時，不可壓縮的流體在各分支管的流量和等于總管流量.第8頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四例1 有一個三通管，水流過A管后，經B、C兩個支管流出.已知三管的橫截面積分別為 , ， ；A、B兩管中的流速分別為 ，試求C管中的流速.解： 水可以看成理想液體，由連續

6、性方程有 第9頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四5.3 伯努利方程及其應用 一、伯努利方程 伯努利方程是流體力學的基本方程，它描述理想流體在重力場中作穩定流動的基本規律 .設理想流體在重力場中作穩定流動，在其中任意選擇的一支細流管，取流管中任意兩處 、 作為考察點.設流體密度為 ，經過時間 后，這段流體運動到了 、 處.第10頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 而從效果上看，相當于經過 時間， 段這一部分流體運動到了 處.顯然， 段流體的體積等于 段流體的體積，即第11頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 .所以只要討論在

7、時間內，外力對這 段流體所作的功以及這段流體機械能的變化就可以了. 由于是理想流體， 這段流體所受的外力就是周圍流體對它的壓力，對它作功的只有 、 ，它們作功的總和為第12頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 由于 之間流體的運動狀態沒有發生變化，所以其機械能的增量就是 段流體的機械能和 段流體的機械能之差.設這部分流體的質量為 ，即由功能原理得移項并兩邊除，得 式(5.5)中 是單位體積流體的動能， 是單位體積流體的重力勢能.(5.5)第13頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四由于 、 兩截面是任意選定的，故式(5.5)對流管中的任意兩個截面都成立

8、，即當理想流體作穩定流動時，對于同一流管的任一截面，每單位體積流體的動能 、勢能 以及壓強 三者之和為一常量，即(5.6)式(5.5)和(5.6)稱為理想流體的伯努利方程.第14頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 在應用伯努利方程求解實際問題時，要適當選取一支流管及管中的兩個截面，其一個截面在求解處，另一個截面在條件已知處，計算時往往還要與連續性方程聯用. 在具體解題時要注要兩點：公式中所有物理量的單位必須用國際單位制； 流管中凡是與大氣相通處，壓強均為大氣壓 .第15頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 例2 使用壓水泵把水加壓到 水以 的流速沿

9、內半徑為 2.0米的地下管道向樓房供水.若進入樓房的水管內半徑為 1.0米，水管升高1米，求進入樓房時水管內水流速度和壓強. 解：選水管為流管，選內半 徑為 2.0米處為1，內半 徑為 1.0米處為2這兩點.已知1.0米第16頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四根據連續性方程，得根據伯努利方程可得第17頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四例3 一個截面積較大的圓柱形水桶豎直放置，其底部有一個截面積很小的小孔，當桶內水深為 時，求水從小孔流出的速度大小.解： 取水桶和小孔作為流管，選桶內水面處為1，小孔出口處為2，以小孔出口處為高度的參考面，則由題給條

10、件有整理可得將上述條件代入式(5.5)得 由于水桶的截面積比小孔的截面積大得多，因此可認為，第18頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四例4 水在截面積不同的水平管中作穩定流動，出口處的截面積為管的最細處的三倍.若出口處的流速為，求最細處的壓強為多少標準大氣壓?若在此最細處開一小孔，水會不會流出來?解： 對截面積最細處(1)和出口處(2)兩點列伯努利方程，有 ，根據連續性方程可得 (1)第19頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四將 ，代入(1)式得 所以若在此最細處開一個小孔，水不會從小孔流出.第20頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，

11、星期四1. 水平管中壓強與流速的關系當所選流管處于水平位置時， 伯努利方程可簡化為 由式（5.7）可見，流管截面積較大處，流速較小而壓強較大.一項具有壓強的量綱，常稱為動壓強，相應地則稱為靜壓強. (5.7)二、伯努利方程的應用第21頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 空吸作用-當流體以較大流速通過管道時，在管道狹窄部分流速很大，可能使該處壓強小于大氣壓強.如果此處開口與外界連通，則可吸入外界液體或空氣，這種現象叫空吸作用，噴霧器和水流抽氣機就是根據空吸作用制成的.第22頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 流量計-在一段截面積不均勻管中截面積為

12、和 處各裝一豎直支管，設 ，則液體流過時處的支管中液面將高于處支管中的液面，若測得兩處液面的高度差為 ，求管中的流率 。，.由伯努利方程與連續性方程可得 將上兩式聯立求解，并將所以，流體的流率為代入得第23頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 測量液體(或氣體)的流速計形式多樣，但原理相同. 右圖是測液體流速的裝置. 在水平管道中選一流管，兩截面取在兩管的管口、因管口 C 的截面與流體的流線平行，將不影響該處流體粒子的流速，故該處流速 就是管中流體的流速；而管口D 迎著流體流動方向，管口前流體粒子將被阻擋，該處流速為零.管口C與管口D 處高度相差很小，可以忽略不計。根據式

13、(5.7)，有若管中流的是氣體，測量裝置應是怎樣的？第24頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 由式（5.8）可見，均勻流管處于較高處的流體壓強較小，處于較低處的流體壓強較大，這與靜止液體中壓強與高度的關系相同.壓強與高度之間的這種關系，可以用來解釋體位因素對血壓的影響.例如人體取臥位時，頭部與腳部的動脈壓大致相等，靜脈壓也大致相等.當站立時，頭部與腳部相比，動脈壓及靜脈壓都要低130mmHg左右(普通身材).因此，測量血壓時一定要注意體位和測量部位.(5.8)2. 均勻管中壓強與高度的關系-如果流管截面均勻，則各截面上流速相同，伯努利方程可簡化為第25頁，共44頁，20

14、22年，5月20日，10點56分，星期四5.4 實際流體的流動規律 實際流體都有黏滯性，故又稱為黏性流體.不同的黏性流體的黏性可以相差很大，根據其流動特性又可分為牛頓流體和非牛頓流體：水、酒精、血漿等屬于牛頓流體；而血液、瀝青、原油等則是非牛頓流體.一、層流的流動規律1. 層流：在不同條件下，黏性流體的流動狀態是不同的.當流速不太大時，流體是分層流動的，相鄰各層以不同速度作相對滑動，彼此不相混合，這種分層流動稱為片流或層流. 第26頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四第27頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 從甘油在圓管中流動的情形可以看出，管軸處

15、流速最大，沿管徑方向流速逐漸變小，在管壁處液粒黏附于管壁而流速為零.這可以看成流體流動時分成了許多平行于管軸的圓筒形薄層，各層之間有相對滑動，即流體是分層流動的.第28頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四2. 牛頓黏性定律 -流體作層流時，速度是逐層變化的，其速度分布如圖所示.設圖中相距為 的兩液層的速度差為 ，則 表示這兩層之間速度的平均變化率，稱為該處的速度梯度.第29頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 流速逐層變化表明相鄰液層間存在阻礙相對運動的內摩擦力，其方向與兩液層接觸面相切. 實驗表明，液體的內摩擦力 與該處速度梯度 成正比，與兩液層的

16、接觸面積 成正比 (5.10)式中 稱為液體的黏滯系數或黏度，是與液體種類和溫度有關的物質恒量. 粘度的單位在SI制中為帕秒(Pas);在CGS制中為 ，也稱為泊.表5.1列出了幾種液體的黏度. 牛頓黏性定律第30頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 液體分層流動過程是一個剪切形變過程. 剪切形變的程度用 來量度， 稱為剪應變. 由圖可見， 還可以表示為 對時間的變化率稱為剪變率，用 表示. 將牛頓黏性定律形式改寫所以牛頓黏性定律的另一種形式為稱為剪切力(5.11)第31頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四由于實際液體存在內摩擦力，流動過程中必然有一

17、部分機械能被消耗. 當水從水塔中經均勻水平管流出時，流管中各處水的流速保持不變，但壓強逐漸降低.這表明，在流動過程中單位體積水的機械能有一部分被消耗了.3.實際流體的伯努利方程第32頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 所以，以理想流體作穩定流動為前提的伯努利方程就不能直接應用，必須修正為上式稱為實際液體的伯努利方程.式中修正項 為正值，它表示單位體積的流體在流管中從截面1流到截面2的過程中所消耗的機械能.對于截面均勻的水平管，上式則簡化為 這表明，要維持黏性流體在均勻水平管的穩定流動，管兩端必須維持一定的壓強差，以補償由黏性力引起的能量損耗. (5.12)(5.13)第

18、33頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四討論黏性流體在圓形管中流動的情況. 黏度為 的液體在半徑為 、長度為 的均勻水平直圓管中作層流，管兩端的壓強差為 (1) 流速分布4. 泊肅葉公式第34頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 在管中取與管同軸、半徑為 、厚度為 、長度為 的圓筒形流體元為研究對象，它受到由管兩端壓強差產生的推動力為其內層流體施予的內摩擦力為其外層流體施予的內摩擦力為即該流體元受到的黏滯力為第35頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 由于管內流體作穩定流動，所以推動力等于黏滯力，即整理可得兩邊積分，得在處最大，

19、所以于是得第36頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 分離變量后積分，得當 時 ，得 ，于是有 (5.14) 橫截面上各處的流速 與該處到管軸的距離 之間關系曲線為拋物線(圖5.12)，在管軸處流速最大， ；在管壁處流速為零. 第37頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 (2) 流量 由于流速沿管徑變化，不能直接按計算流量，可將圓管橫截面劃分為許多小圓環，計算出每個小圓環面積上的流量后，求和即可得到結果.通過此圓環的流量為對 從 到 進行積分，即可得通過整橫截面的流量.式(5.15)稱為泊肅葉公式.(5.15) 第38頁，共44頁，2022年，5月2

20、0日，10點56分，星期四 泊肅葉公式表明，黏滯液體在水平等截面的圓管中作層流時，流量與壓強梯度(沿管軸方向的壓強差) 成正比，與管半徑的四次方成正比，與液體黏度成反比. 從式(5.15)還可以看出，同一液體在半徑不同的圓管中流動而流量相等時，其壓強梯度與管半徑的四次方成反比，即在管道狹窄處壓強下降較快. 若用平均流速的概念，則由泊肅葉公式可得黏性流體在圓管中作層流的平均流速為 (3) 流阻 泊肅葉公式常常寫成如下的形式式中， 稱為流阻.流阻的名稱是將式(5.17)與電學中的歐姆定律類比而得到的.(5.16)(5.17)第39頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四 流阻是由

21、管道的幾何因素與流體的黏度共同決定的量，其大小反映了黏性流體在管中流動時所受阻力的大小.對圓管而言，管徑對流阻的影響最大：如果管徑減小一半，流阻就增加16倍. 若流體連續通過 段流阻不同的管道，則總流阻為各管流阻之和 這與電阻的串聯相似. 當 個管道并聯時，則總流阻的倒數等于各管流阻的倒數之和 血液在血管中流動的流阻在生理學中叫做外周阻力.從主動脈至腔靜脈的流阻，即體循環的總流阻，稱為總外周阻力.在心血管和微循環研究中，測量人體外周阻力已成為一種十分重要的方法.(5.18)(5.19)第40頁，共44頁，2022年，5月20日，10點56分，星期四二、湍流與雷諾數：當黏滯液體的流速超過某一限度時，流體將不再保持分層流動，外層液體分子可以進入內層，整個流動紊亂而不穩定，并且還會出現渦漩，這種流動叫做湍流.出現湍流時，內摩擦力急劇增大，因而機械能損耗急劇增加. 雷諾分析大量實驗結果后指出：由層流過渡到湍流取決于雷諾數實驗結果表明：當 3000時，流體作