1、流體流動問題的有限元法第1頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四描述穩態不可壓縮流體流動的微分方程就沒有與之對應的泛函表達式。而流體流動問題卻是工程中經常遇到的問題（1）車輛高速運行時的氣動穩定性；（2）兩列高速運行的列車會車時的壓力波動；（3）列車進入隧道時的壓力波動；（4）建筑物的風載荷；（5）室內的通風與空調；（6）橋梁的風致振動；（7）船舶的運行阻力；（8）飛機的升力、阻力。第2頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四不論是那種原因，如果找不到與微分方程對應的泛函表達式，那么就無法利用變分原理建立有限元的計算格式。這時我們只有尋求另外的途徑。這個途徑就

2、是：加權余量法。二 加權余量法加權余量法的基本思想：通過使試探函數與真值的加權誤差在求解域內的總和為零，以求得滿足微分方程的近似解。設某物理問題的控制微分方程及其邊界條件分別為第3頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四為待求函數。如果無法或不易直接求解，可選一個試探函數式中 ci待定常數； i試探函數項。將試探函數帶入控制微分方程及其邊界條件，一般來講不可能正好滿足方程，在域內和邊界S上會產生誤差，即式中R和Rb稱為余量（或殘數，殘差，殘值）。第4頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四加權余量法的基本思想：在域內 和/或 邊界S上尋找n個線性無關的函數Wi(

3、i=1,2,n)，使余量R和Rb在加權求和的意義上等于零，即這里Wi稱為權函數。加權余量法所假設的試探函數并不能滿足微分方程及其邊界條件，但是當加權的試探函數與真值的誤差（余量）在求解域上積分為零時，那么試探函數就在總體上滿足微分方程及其邊界條件。當n足夠大時，試探函數就趨近于真解。第5頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四介紹兩種常用的權函數。1 最小二乘加權余量法設有滿足邊界條件的試探函數帶入控制微分方程將產生余量如果希望余量R在最小二乘的意義下為最?。戳頡的平方和為最?。?，則構造第6頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四使比較可知，權函數通過求解可求

4、出ci，進而得到 。第7頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四2 伽遼金加權余量法如果選用試探函數中的試探函數項i作為權函數Wi，就成為伽遼金加權余量法。即在許多物理問題控制微分方程的有限元法求解過程中，都采用伽遼金加權余量法推導有限元計算格式。第8頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四7-2 二維流體流動的有限元計算格式二維穩態可不壓縮流體流動方程由連續方程和動量方程描述方程中的待求變量為流體速度u,v和壓力p。第9頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四根據有限元法的計算思路，首先選取插值函數來近似描述速度u,v和壓力p在單元內的變化情況

5、。式中N單元形狀函數；ui, vi, pi單元節點處的速度和壓力值。第10頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四這里的插值函數，就作為加權余量法中的試探函數；其中的形狀函數，就作為加權余量法中的權函數。第11頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四經過推導和簡化，可得單元方程為或其中分別為單元剛度矩陣、單元節點列向量和單元節點受到的來自“鉸鏈”的“節點力”。第12頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四第13頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四將 在求解區域內分別按節點號疊加，就可以構成整個流場的有限元計算的總體方程第14頁

6、，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四7-3 流場有限元分析的幾個特殊問題1 速度和壓力插值函數的階次。速度插值函數要高于壓力一階，否則方程會出現“病態”。2 主對角線元素為零。采用罰函數法，將壓力用速度表示。求出速度后，再計算壓力。3 剛度矩陣不對稱。原來介紹的壓縮存儲方法全部沒有用。4 非線性方程組需要迭代計算。第15頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四小結：（1）本章討論了利用有限元法求解非結構問題的又一個例子流體流動問題的計算。所用方法為加權余量法，通過將試探函數帶入控制微分方程，基于使所產生的誤差（余量）在加權平均的意義上等于零的思想，來推導該控制方程的有限元計算格式。（2）本章簡要介紹了加權余量法的基本概念，最小二乘加權余量法中權函數的計算，以及伽遼金加權余量法中權函數的確定。對于無法利用變分原理，即找不到等價的泛函極值問題的控制微分方程有限元求解問題，一般來講，都可以利用加權余量法推導其有限元計算格式。第16頁，共17頁，2022年，5月20日，11點4分，星期四（3）本章簡述了二維穩定流場問題的有限元計算格式的推導思路，同時涉及了流場有限元計算的一些特殊問題，計