1、n維Euclid空間中的點集的初步知識n維Euclid空間中的點集的初步知識第一節 n維Euclid空間中 點集的初步知識 第五章 1.2 中的點列的極限1.1 n維Euclid空間 1.3 中的開集與閉集1.4 中的緊集與區域第一節 n維Euclid空間中 點1.1、 n維Euclid空間1.1 n維Euclid空間規定：加法數乘成為一個n維實向量空間。若定義內積成為一個n維Euclid空間。1.1、 n維Euclid空間1.1 n維Euclid中的長度：中的長度：1.2 中的點列的極限定義1.1 設 是 中的一個點列，其中又設是中的一固定點，若當 時，即使得則稱點列的極限存在，且稱為它的極

2、限，記作這時也稱點列收斂于1.2 中的點列的極限定義1.1 設 是定理1.1則點設點列都有定理1.2設 是 中的收斂點列，則(1) 點列的極限唯一；(2) 是有界點列， (3) 若 則(4) 若 收斂于 ，則它的任一子列也收斂于定理1.1則點設點列都有定理1.2設 是 中的收定理1.3中的有界點列必有收斂子列.( 中的點列 的收斂子列的極限也稱為 的極限點）設 是 中的點列，若使得則稱 是 中的基本點列或Cauchy點列.定理1.4中點列 收斂于 中的點是 中的Cauchy點列.定理1.3中的有界點列必有收斂子列.( 中的點列 的定義1.2則稱 為設 是 中的一個點集，若存在中的點列使得的聚點

3、.的所有聚點構成的集合稱為 的導集.記作集合 稱為 的閉包.若但則稱 為的孤立點.若則稱 為閉集.注：(1) 集合 的聚點一定屬于 嗎？(2) 什么樣的集合對極限運算封閉？1.3 中的開集與閉集定義1.2則稱 為設 是 中的一個點集，若存在中的點定義1.3設稱點集，稱為以 為中心、 為半徑的開球或 鄰域，為點 的去心 鄰域.注：收斂于 可以描述為：點列使得定義1.3設稱點集，稱為以 為中心、 為半徑的開球或 定理1.5設 是 中的一個點集，則即 為的聚點證：存在 中的點列 且使得即 的任意去心鄰域包含 中的點.當且僅當于是由取且于是定理1.5設 是 中的一個點集，則即 為的聚點證：存注：若 則

4、 為閉集。單點集和有限集都是閉集。定義1.4 設的內點.則稱 是集 (1) 若存在 使 由 的所有內點構成的集合稱為 的內部，記作(2) 若存在 使 則稱 是集 定理1.5設 是 中的一個點集，則即 為的聚點 的任意去心鄰域包含 中的點.當且僅當的外點.由 的所有外點構成的集合稱為 的外部，記作注：若 則 為閉集。單點集和有限集都是閉集。定義(3) 若對任何 也含有不是 中的點，由 的記作中既含有 中的點，則稱 是集 的邊界點.所有邊界點構成的集合稱為 的邊界，注：且三者不交。(3) 若對任何 也含有不是 中的點，由 的記作對于 中的任一點集 必有特別的，開球與它的邊界之并稱為閉球。例1.2對

5、于 中的任一點集 必有特別的，開球與它的邊界之并稱n維Euclid空間中的點集的初步知識定義1.5 設 ，若 即A中的點全是 A的內點，則稱A為開集.定理1.6 是開集 是閉集.注：中的開區間中的閉區間注：一個點集是不是“非開即閉” ？定義1.5 設 ，若 即A中的點全是 A的內定理1.7在n維Euclid空間 中,開集有下列性質：(1) 空集與空間 是開集；(2) 任意多個開集的并是開集；(3) 有限多個開集的交是開集.利用對偶原理：(1) 空集與空間 是閉集；(2) 任意多個閉集的交是閉集；(3) 有限多個閉集的并是閉集.定理1.7在n維Euclid空間 中,開集有下列性質：(1.4、 中

6、的緊集與區域設 是 中的一個點集，若存在一個常數使得對于所有的 都有則稱 是有界集。否則稱為無界集.定義1.6設 是 中的一個點集，若 是有界閉集，則稱 為緊集。定義1.7設 是 中的一個點集，若 中的任意連通的開集稱為區域.兩點 都能用完全屬于 的有限個線段連接起來，則稱 是連通集.區域與它的邊界的并稱為閉區域.1.4、 中的緊集與區域設 是 中的一個點集設 是 中的一個點集，若連接 中的任意兩點的線段都屬于 ，即若則稱 是 中的凸集.凸集都是連通的.則設 是 中的一個點集，若連接 中的任意兩點的線段都屬歐幾里得 中文名：歐幾里得外文名：希臘文：?國籍：希臘出生日期：公元前300年（在世時期）職業：數學家主要成就：歐幾里得幾何代表作品：幾何原本，已知數，圓形的分割，反射光學，現象，光學歐幾里得 中文名：歐幾里得歐幾里德空間(Euclidean Space)：簡稱為歐氏空間，在數學中是對歐幾里德所研究的2維和3維空間的一般化。這個一般化把歐幾里德對于距離、以及相關的概念長度和角度，轉換成任意數維的空間。 這是有限維、實的內積空間的“標準”例子。歐幾里德空間在對包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發揮了作用。一個定義距離函數的數學動機是為了定義空間中圍繞點的開