1、 四川師范大學學報（社會科學版）2007年12月 Journal of Sichuan Normal University(Social Sciences Edition) Dec,2007PAGE PAGE 245四川師范大學學報（社會科學版）2007年12月 Journal of Sichuan Normal University(Social Sciences Edition) Dec,2007解讀投資組合的相關系數 張際萍a作者介紹：張際萍，女，四川師范大學文理學院管理系教師；嚴鵬作者介紹：張際萍，女，四川師范大學文理學院管理系教師；嚴鵬飛，男，四川師范大學文理學院管理系教師。（四川師

2、范大學文理學院，四川 成都 610110）摘要：本文僅運用了初等數學和一階導數的數學工具，通俗易懂地詮釋了兩種證券報酬率之間的預期相關系數的直觀經濟意義，推導出相關系數的計算公式，并據以清晰地揭示了投資組合風險分散化效應的內在特征。對于兩種證券構成的投資組合為最小方差組合時各證券投資比例的測定問題，比之“CPA教材”通過計算列示不同投資比例的投資組合進行比較的方法，本文探討出的用初等數學表達的計算公式既簡潔又精確；本文探討出的用初等數學表達的計算公式來計算最小方差組合所要求的相關系數上限rAB的方法，也比“CPA教材”運用的圖像測定法更簡潔且準確，該計算公式和實例驗證，均說明了“CPA教材”案

3、例中的rAB 值存在錯誤（導致錯誤的原因是由于圖像測定法難以避免產生繪圖誤差和視覺誤差。）關鍵詞：投資組合；風險；相關系數；最小方差組合 張際萍 嚴鵬飛 解讀投資組合的相關系數投資組合是指由兩種或兩種以上的資產構成的投資集合。由于研究投資組合理論中的資產通常以金融資產證券為討論對象，因此，本文討論的投資組合指證券投資組合。隨著我國資本市場的改革和發展，為了更好地了解和運用證券投資，在證券投資管理中，對于證券投資組合風險的研究越來越深入，相關考試（如注冊會計師全國統一考試等）已將其列入考試大綱要求掌握的內容。由于目前的有關教材、專業刊物在論述證券投資組合風險理論中涉及到兩種證券報酬率之間的預期相

4、關系數指標（以下簡稱“相關系數”）時通常都運用了高等數學中數理統計的知識，故而使得相關系數指標顯得抽象難懂。為解決這一問題，本文只運用初等數學和一階導數的數學工具，通俗易懂地詮釋了相關系數的直觀經濟意義，推導出相關系數的計算公式，并據以清晰地揭示了投資組合風險分散化效應的內在特征。為討論方便，本文引用以下符號：A和A分別表示證券A和證券B在投資總額中的比例；和分別表示證券A和證券B的標準差，并假設 ；表示證券A和證券B構成的投資組合的標準差；r表示證券A和證券B報酬率之間的預期相關系數。一 相關系數r的直觀經濟意義由于投資組合可以降低風險，但又不能完全消除風險。于是有：（AA） （A+A）令=

5、A+A+2AA r（1）由以上不等式可見：r 1一般而言，多數證券的報酬率趨于同向變動，因此，r大多為小于1的正值。以下針對一般情況進行討論。 （ A+ A）= A + A+2 AA（2） ( A + A )由公式（1）并對比公式（2），相關系數r的直觀經濟意義可表述為：相關系數是按加權平均的方法即公式（2）計算時，將公式（2）的右端2 AA項乘上一個小于1的系數（亦即是打一個折扣），該系數（“折扣率”） 稱之為A和B 兩種證券報酬率之間的預期相關系數r ，r 1 。相關系數越小，越小，投資組合的風險分散化效應越強；反之，投資組合的風險分散化效應越弱。2AA（1r）則表示證券A和證券B構成的投

6、資組合被分散的以方差表示的風險的多少。從理論上講，有兩個極端的情況：（1）r= +1 ，表示證券A和證券B各年報酬率的增長總是成比例，兩者完全正相關，投資組合不能降低風險；（2）r=1表示證券A各年報酬率的增長和證券B各年報酬率的下降成比例，兩者完全負相關，即：若 ，A=A ，則= 0 ，完全消除了風險。但是，在實際經濟生活中一般不存在以上兩種理論上的極端情況。二 相關系數r的計算公式的推導設A、B分別表示證券A、證券B歷史上各年獲得的收益率；、分別表示證券A、證券B各年獲得的收益率的平均數；P表示證券A和證券B構成的投資組合各年獲得的收益率，其他符號的含義同上。= = = = = =A =A

7、對照公式（1）得：= r r=這就是相關系數r的計算公式。三投資組合風險分散化效應的內在特征1.兩種證券構成的投資組合為最小方差組合（即風險最小）時各證券投資比例的測定公式（1）左右兩端對A求一階導數，并注意到A=1A：()=2 A2 (1A)2 (1A) r2A r令 ()= 0 并簡化，得到使取極小值的A：A=（3）式中, 0A1,否則公式（3）無意義。由于使()=0的A值只有一個，所以據公式（3）計算出的A使為最小值。以上分析清楚地說明：對于證券A和證券B，只要它們的系數r適當小（r的“上限”的計算，本文以下將進行分析），由證券A和證券B構成的投資組合中，當投資于風險較大的證券B的資金比

8、例不超過按公式（3）計算的（1A），會比將全部資金投資于風險較小的證券A的方差（風險）還要小；只要投資于證券B的資金在（1A）的比例范圍內，隨著投資于證券B的資金比例逐漸增大，投資組合的方差（風險）會逐漸減少；當投資于證券B的資金比例等于（1A）時，投資組合的方差（風險）最小。這種結果有悖于人們的直覺，揭示了風險分散化效應的內在特征。按公式（3）計算出的證券A和證券B的投資比例構成的投資組合稱為最小方差組合，它是證券A和證券B的各種投資組合中方差（亦即風險）最小的投資組合。現引用2005年度注冊會計師全國統一考試指定輔導教材財務成本管理（以下簡稱“CPA教材”）第四章第四節的一個例子分析如下：

9、例：假設A證券的預期報酬率為10% ，標準差是12% ；B證券的預期報酬率為18%，標準差是20%，兩種證券之間的預期相關系數是0.2 。“CPA教材”通過列示不同投資比例的投資組合進行比較的相關資料說明了最小方差組合下證券A和證券B的投資比例分別為80% 和20% ，該投資組合的標準差為11.11%，小于將全部資金都投資于風險較小的證券A的標準差（12%）。根據本文以上的討論，只要將有關數據代入公式（3），A和A的值就可以一目了然地求得：A=78.57%80%A=120%本例，我們也可以根據前述相關系數的直觀經濟意義對投資組合的風險分散化效應的內在特征作如下分析：(1)如果證券A和證券B的相

10、關系數為1 ，A= 80% ，A= 20%的投資組合不存在風險分散化效應，該投資組合的方差比A=100%的證券投資的方差增多： （(2)由于證券A和證券B的相關系數為0.2 ，如前所述，A=80% , A=20%的投資組合被分散的以方差表示的風險為：(3)以上兩項的綜合結果為：A=80% , A=20%的投資組合的方差比A=100%的證券投資的方差減少0.002048（0.0061440.004096），即：A=80% , A=20%的投資組合的方差為：= ( 驗證成功 )1.最小方差組合符合A100% ，亦即A0所要求的相關系數上限的測定由 1解這個不等式得：r因而，上例中的r應小于 ，而不

11、是“CPA教材”所講的r應小于0.5（用圖象測定會引起繪圖誤差和視覺誤差）。對此，可驗證如下：當 r=0.5 , 先根據公式（3）計算出A的值：A=A=192 % = 8%在這樣的投資比例下,= = 11.92 %12 % (注：=12 % ， =20 % )可見，如果r= 0.5時，全部資金都投資于A證券的標準差（12%）大于拿出8%的資金投資于B證券的投資組合的標準差（11.92%），r=0.5不是最小方差組合符合A100%亦即A0所要求的相關系數的上限。事實上，本例最小方差組合為A=92 % , A=8 %的投資組合，其最小方差為11.92 %（證明從略）。如果 r= 0.6 , A=

12、A= 0即：當0.6 , 只有將全部資金都投資于A證券，才能使得投資的標準差（風險）最小。參考文獻：1中國注冊會計師協會編:2005年度注冊會計師全國統一考試輔導教材 財務成本管理,中國財政經濟出版社。2徐華青.肖武俠.盧曉生:投資組合管理，復旦大學出版社,2004年10月3葛余博:概率論與數理統計,清華大學出版社,2005年4月4李向科.戚發全:金融數學,人民大學出版社,2004年6月UnscrambleThe Correlation Coefficient of Investment PortfolioZhangJi-pingaYan peng-feib(Arts and Science

13、College of Sichuan Normal University, Chengdu, Sichuan 610110)Abstract: This article uses elementary mathematics and first derivative math tools, annotates the intuitive economic meaning of prospective correlation coefficient between two securitiesrate of return straightaway. It deduces the formula

14、of calculating correlation coefficient, also clearly reveals the internal characteristic of investment portfoliodiversification of risk effect. In regarding to the issue of measuring investment ratio of each security when two kinds of securities form an investment portfolio has minimum variance, the

15、 article compares with method used in “CPA text book” to weigh against investment portfolio by different calculated investment ratio.The formula discussed in this article, which expressed by elementary mathematicsis both simple and accurate. Thisarticleapplies the elementary mathematics expression formula to calculate minimum variancevia the method of correlation coefficient upper limit rAB, which is comparably simpler and more accurate with graphic testing method used by “CPA text book”. Verifying by the formula and example, it points out the rAB value