1、廣義最小二乘法、廣義最小二乘法普通最小二乘法、加權最小二乘法是廣義最小二乘法的特例。存在序列相關性最常用的方法是廣義最小二乘法Y =XByix11x1mU1y2X21x2mU2xn1xnmE(U) =0Cov(UU ) = E(UU )W11W12W22存在異方差kWn1Wn2wnn設口 = 口口用D左乘Y =XB+U兩邊D、= D,XB + D/U即* * *Y =X B UFFF*1.1Cov(U U ) = E(U U ) = E(D UU D )F-DE(UU )D J-Du ； 2DDDD=二2|用最小二乘法得： TOC o 1-5 h z FFC* A *E? =(X X )4X

2、YFF=(X D4D4X)4XD4D4Y=(X 11X)X ；1Y這就是廣義最小二乘法估計模型的參數估計量矩陣Q的估計為0自en2、廣義最小二乘法的示例湖北省病蟲災成災面積與受災面積對應關系的分析病蟲災成災面積與受災面積的對應關系的研究對于指導抗災、救災有著重大的意義。從統計分析的角度出發，利用逐年的統計資料將病蟲災成災面積數據看成時間序列yi ,病蟲災受災面積數據看成時間序列Xi ,應用普通最小二乘法可以建立線性模型給出病蟲災成災面積與受災面積之間的線性關系。但這一思路存在著重大的缺陷：沒有考慮擾動項的自相關，直觀上看病蟲災成災面積數據有擾 動項的自相關。如果確實存在著擾動項的自相關而不加以

3、考慮，它將直接影響到病蟲災成災面積與受災面積二者之間關系的準確性。為此，考慮到數據擾動項的 自相關，利用19781995年湖北省病蟲災統計數據，先進行檢驗看是否存在自相 關，通過Durbin-Watson檢驗后，基于廣義最小二乘法，給出湖北省病蟲災成災 面積與受災面積的對應關系。應用19781995年湖北省病蟲災統計數據（見表1）表119781995年湖北省病蟲災統計數據單位：667公頃年份病蟲受災面積Xi病蟲成災面積 yi年份病蟲受災面積Xi病蟲成災面積yi1978479.87175.61987727325.71979424.24151.31988120.8641980620.8328198

4、91197.7523.51981487.5269.31990687.7305.71982384.3212.11991624.6358.71983485.02253.511992294.11571984323.97183.781993673.6356.81985459.2244.51994931.4508.31986197.385.71995455.4240將病蟲災成災面積數據看成時間序列y i =1,2，18,病蟲災受災面積數據看成時間序列X i =1,2,18,設yi =b0十b Xi +uUi為擾動項用普通最小二乘法可得？i = b0 ?為,實際計算的結果為b0 =15.6 b? =0.4

5、66 所以有% =15.6 0.466xj應用普通最小二乘法建立的線性模型，給出了湖北省病蟲災成災面積與受災 面積之間的線性關系。這個結果沒有考慮擾動項是否有自相關。擾動項是否有自相關，可以用Durbin-Watson法檢驗。對yi = b0 + b| Xj +u若用普通最小二乘法得到？i= b0+ ?xi則ei=yi-y；Durbin-Watson統計量定義為:（e-ei）2i =2nei2i=4表2Durbin-Watson檢驗計算表nxiyiA yiA ei = yi -yi2eieieiei - ei（G -ei）21479.87175.6239.2726-63.67264054.20

6、63950.7721.624472.6389032424.24151.3213.3482-62.04823849.976-1430.3285.09997241.9923620.8328304.948323.05172531.3817610.2173.41993311.695944487.5269.3242.828426.47165700.7483459.667-9.1071582.940165384.3212.1194.735517.3645301.5259205.55-5.5271330.549186485.02253.51241.672611.83737140.1233203.12035.

7、32187728.322377323.97183.78166.620817.15925294.4397254.9847-2.299345.2869818459.2244.5229.640114.8599220.8167-325.291-36.75041350.5939197.385.7107.5905-21.8905479.1943629.1153-6.8486846.9043510727325.7354.4392-28.7392825.9406228.197220.7989432.594211120.86471.94028-7.9402863.04809399.34-42.35261793.

8、745121197.7523.5573.7929-50.29292529.3771530.14919.86816394.743813687.7305.7336.1248-30.4248925.6656-1581.582.405616790.68414624.6358.7306.719151.980862702.009223.4732-47.68172273.54615294.1157152.70094.29914418.48264117.134822.94693526.561516673.6356.8329.553927.24607742.34851596.81531.36108983.517

9、17931.4508.3449.692958.607153434.798710.9495-46.47642160.05418455.4240227.869212.13076147.1554E21961.247782.37224156.37應用yi =15.6 +0.466 xi及表1給出的yi , xi可得到ei = yi - yi , i =1,2,18。經過計算（見表2）得到n二.(ei -ei 1 ),i 一 24156.37d = = 1.099/ 221961.24eii 1對a =0.05 ,k =1, n =18查 Durbin-Watson 檢驗表得:dL =1.18, du

10、=1.39 d dL拒絕Ho : P = 0認為擾動項有正自相關。從上述檢驗可知19781995年湖北省病蟲災統計數據中病蟲災成災面積與 受災面積之間線性關系的擾動項有正自相關。 應用普通最小二乘法得到的結果缺 乏準確性。為了解決擾動項的正自相關，可以采用廣義最小二乘法。若擾動項為正自相關，令Y =XB Uy1y2XiX2UiU211xn廣義最小二乘法所得的參數估計式為 無偏的特性。B = (XQJX)LXQY ,它具有最佳線性其中1PD2p2pn 22.n J3；.：n -21：2-PP可用其估計以nzi =2eiei 4代替利用表2的計算結果可得11 -0.352X-Y =12 2072.351 0.352 1178144863= (XJX)Xj，二13.66、0.46eiei