1、靜態場邊值問題第1頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四4.1 邊值問題的分類 第一類邊值問題： 已知位函數在全部邊界面上的分布值 邊值問題 是指存在邊界面的電磁問題。 根據給定邊界條件對邊值問題分類：狄里赫利問題（Dirichlet） 第二類邊值問題：已知位函數在全部邊界面上的法向導數值第三類邊值問題：已知一部分邊界面上的位函數值,和另一 部分邊界面上位函數的法向導數值諾埃曼問題 （Neumann）混合邊值問題 第2頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四邊值問題框圖一、二類邊界條件的線性組合，即已知場域邊界上各點電位的法向導數已知場域邊界上各點電位值第

2、一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件邊值問題參考點電位 有限值場域邊界條件分界面銜接條件自然邊界條件微分方程邊界條件第3頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四解析法數值法實測法模擬法定性定量邊值問題研究方法計算法實驗法作圖法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法數學模擬法物理模擬法邊值問題研究方法框圖第4頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四唯一性定理：在場域V的邊界面S上給定位函數 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V內的解唯一。 唯一性定理的意義 指出了靜態場邊值問題具有唯一解的條件；

3、為靜態場邊值問題求解方法提供了理論根據，為結果 正確性提供了判據； 唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的 理論根據。4.2 唯一性定理 （Uniquness Theorem）第5頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四4.3 直角坐標系中的分離變量法 分離變量法是數理方程中應用最廣泛的一種方法，它適用于求解具有理想邊界條件的典型邊值問題。 分離變量法是通過偏微分方程求解邊值問題。其基本思想是：首先要求給定邊界面與坐標面相合，或分段相合；其次要求待求偏微分方程的解可表示為若干個函數的乘積，其中的每個函數分別僅是一個坐標變量的函數。這樣，通過分離變量可將一個偏微分方程

4、轉化為多個常微分方程來求解。第6頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四 分離變量法解題的一般步驟： 根據邊界的幾何形狀和場的分布特征選定坐標系，寫出 對應的邊值問題（微分方程和邊界條件）； 分離變量，將一個偏微分方程，分離成幾個常微分方程； 解常微分方程，并疊加各特解得到通解； 利用給定的邊界條件確定積分常數，最終得函數的解。在直角坐標系中， 拉普拉斯方程為： 直角坐標系中的分離變量法第7頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四設 可以表示為三個函數的乘積， 即： 當 時 代入上式，得 其中 為分離常數，且 分析 與 討論上式中每項都只是一個變量的函數，其

5、成立的唯一條件是三項中每項都是一個常數，故有第8頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四當 時 通解：當 時 令 其中 為實數通解：或者同理可以求得 和 利用給定的邊界條件確定積分常數，最終得函數的解。 雙曲函數第9頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四例4.3-1 橫截面如圖所示的導體長槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導體蓋板，截面尺寸為ab，槽體的電位為零，蓋板的電位為U(x)， 求此區域內的電位。 在區域 0 xa、0yb內邊界條件為： x = 0, (0, y) = 0 x = a, (a, y) = 0 y = 0, (x, 0) = 0 y = b

6、, (x, b) = U(x)解：選擇直角坐標系第10頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四通解：其中確定常數：當 時 所以由于在X方向上有重復零點（x0和a點），因此 函數應為三角函數，即： 且令分離變量第11頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四當 時 故：分離變量法當 時 因為第12頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四所以故：當 時 討論兩種情況 和分離變量法當第13頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四左右兩邊同乘以 ，并在區間(0，a)積分 又有因此m=1, 3, 5, 分離變量法第14頁，共73頁，2

7、022年，5月20日，14點51分，星期四對應系數相等當因此分離變量法第15頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四分離變量法的求解步驟 選擇適當的坐標系, 確定變量的個數； 寫出方程的通解； 利用自然邊界條件化簡通解； 利用電磁邊界條件建立待定系數的方程 并解方程,求出待定系數。第16頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四4.4 圓柱坐標系中的分離變量法圓柱坐標中的拉普拉斯方程（ ）為僅討論二維平面場，即 與坐標變量 無關的情況令，代入上式得化簡得 第17頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四令 第二項等于（ ） 分析 與 討論當 時

8、 當 時 1 討論分離變量法由于 是周期性函數，即所以 ，且為正整數，即 。第18頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四當 時 當 時 2 討論歐拉方程 令 代入上式，整理得：通解第19頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四例 4.4-1一根半徑為a、介電常數為 的無限長介質圓柱體置于均勻外電場 中，且與 相垂直。設外電場方向為x軸方向，圓柱軸與z軸重合（如圖所示），求圓柱內、外的電位函數。解： 選擇圓柱坐標系。設園柱內、外的電位分別為 、 ，并假設零電位點在坐標原點。 顯然 、 均是與z無關的二維場，都滿足拉氏方程：分離變量法第20頁，共73頁，202

9、2年，5月20日，14點51分，星期四則，圓柱坐標系中二維場的通解為：令由題意知，場分布對稱于x軸，即：故通解中只能包含余弦項即：當 時，其中：第21頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四當 時， 應為有限值 ，即 中不能有 項。當 時，由介質分界面條件知。切向：第22頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四法向：聯立方程（1）、（2）解得：第23頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四介質圓柱體內、外的電場強度為：第24頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四邊界條件：1例4.4-1 將半徑為 的無限長導體圓柱置于真空

10、中的均勻電場 中，柱軸與 垂直，求任意點的電位。2解：第25頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四12分離變量法第26頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四分離變量法第27頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四4.5 球坐標系中的分離變量法球坐標中的拉普拉斯方程（ ）為僅討論場問題與坐標 無關時的情形令 ，代入上式并整理得令兩項分別等于常數 和第28頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四引入一個新的自變量則有 勒讓德方程 當 時 ，勒讓德方程有一個有界解 勒讓德多項式1 討論第29頁，共73頁，2022年，5月20

11、日，14點51分，星期四下面是前幾個勒讓德多項式當時，；時，當勒讓德多項式勒讓德多項式圖形 勒讓德多項式具有正交性 第30頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四2 討論歐拉方程 通解綜上，球坐標中 的通解為令第31頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四例4.5-1 在均勻電場 中，放置一個半徑為a的導體球，球心在原點。求球外的電位及電場強度分布。解：邊界條件 通解選擇球坐標系，并設導體球為零電位。第32頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四 第33頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四 求解位于接地導體板附近的點電

12、荷產生的電位 非均勻感應電荷等效電荷4.6 鏡像法 接地導體球附近有一個點電荷產生的電位等效電荷非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代。第34頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四 鏡像法的目的：把具有典型邊界的靜態場的計算問題，轉化為無限大均勻媒質空間中的問題求解，以達到簡化計算的目的。 鏡像法基本思路：在待求解場域外的適當位置，以虛擬電荷替代分界面上導體的感應電荷或媒質的極化電荷。鏡像法 鏡像法的理論依據：由唯一性定理知：滿足同一方程和同樣邊界條件的位函數的解是相同的。所以引入鏡像電荷后，應該：保持原方程和原邊界條件不變。 鏡像電荷位置選擇原則 1

13、鏡像電荷必須位于待求解場域以外2 鏡像電荷的引入不能改變原問題的邊界條件第35頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四1. 平面邊界的鏡像法例4.6-1 求置于無限大接地平面導體上方，距導體面為 處的點電荷 的電位，并求出場的分布。 一、靜電場中的鏡像法（除 q 所在點外的區域）（邊界條件）解：當 時， ；當 時，當 時， ；確定鏡像電荷（位置、數量和大小）上半空間內任意點的電位為 平面導體的鏡像 Pzz第36頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四平面導體上的感應電荷密度為 驗證邊界條件當Z=0時,所以 平面導體的鏡像 z第37頁，共73頁，2022年，5

14、月20日，14點51分，星期四對應的場分布圖：鏡像法第38頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四例4.6-2 為無限大接地的導電（ ）平面（電壁） ，在 出 處有一無限長均勻帶電的細直導線，導線與 軸平行且經過直角坐標（ ）點，求上半空間（ ）的電位函數。設細直導線的電荷密度為 ，則鏡像線電荷密度為 。 解：電壁的作用可以等效為：鏡像位置 處的鏡像線電荷帶電體系在空間的電位為zz第39頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四式中 不能選為無窮遠點 ，同樣式中 所以 第40頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四例4.6-3 設介電常數分別

15、為 和 的兩種介質，各均勻充滿半無限大空間，兩者的分界面為平面，在介質1中有一點電荷 ，距分界面的距離為 ，如圖所示. 試求整個空間中任一點的電位函數. 設兩個區域的電位函數為 ( ) 和 ( ) 解：（除 q點外的上半空間）（下半空間）當 時 當 時 當 時 第41頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四在介質分界面 處，電位函數滿足邊界條件 解得第42頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四空間的電位分布為：點電荷 位于不同介質平面上方的場圖第43頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四2. 角形區域的鏡像法 所有相互成 角的兩塊半無限

16、大接地導體平面間的場 四 都可用鏡像法來求解，其像電荷個數為P第44頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四例4.6-4 設在點電荷附近有一接地導體球，求導體球外空間的電位及電場分布。邊值問題：點電荷對接地導體球面的鏡像3.球面邊界的鏡像法 設鏡像電荷 位于球內，球面上任一點電位為（除q點外的導體球外空間)第45頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四鏡像法解得第46頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四由疊加原理，接地導體球外任一點P的電位與電場分別為 點電荷位于接地導體球附近的場圖 鏡像電荷不能放在當前求解的場域內 導體上總的感應電荷

17、等于鏡像電荷接地導體球外的電場計算第47頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四在接地球的基礎上判斷鏡像電荷的個數、大小與位置邊值問題：例4.6-5 計算不接地金屬球附近放置一點電荷 時的電場分布。 點電荷對不接地金屬 球的鏡像 感應電荷分布及球對稱性，在球內有兩啊個等效電荷 正負鏡像電荷絕對值相等 正鏡像電荷只能位于球心（ 除 q 點外的導體球外空間）放置鏡像電荷：+q 和 -q第48頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四點電荷位于不接地導體球附近的場圖任一點電位及電場強度為第49頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四4. 柱面邊界的

18、鏡像法 例4.6-6 線電荷密度為 的無限長帶電直線與半徑為a的接地無限長導體圓柱的軸線平行，直線到圓柱軸線的距離為 ，如圖所示。 求圓柱外空間的電位函數。解：第50頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四兩端對 求導可得 圓柱面上電位為零 第51頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四因為 所以 圓柱面上的感應電荷密度為 圓柱面上單位長度的感應面電荷為第52頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四例4.6-7 設分界面為平面的兩個半無限大空間中，分別充滿磁導率為 和 的兩種均勻介質，在介質1中存在一平行于分界面的長直線電流I，與分界面的距

19、離為 ，試求空間的磁場。二、靜磁場中的鏡像法第53頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四下半空間（ ）用鏡像電流 來代替分界面上的磁化電流。 上半空間（ ）用一鏡像電流 代替分界面上的磁四四四化電流。 解：在分界面上第54頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四從而得到 相應的磁場為第55頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四鏡像法小結 鏡像法的理論基礎是靜態場的唯一性定理； 鏡像法的實質是用虛設的鏡像電荷替代未知電荷的分布，使計算場域變為無限大均勻介質空間； 鏡像法的關鍵是確定鏡像電荷的個數、大小及位置； 應用鏡像法解題時，注意：鏡像

20、電荷只能放在待求場域以外的區域。疊加時，要注意場的適用區域。第56頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四4.7 有限差分法1. 二維泊松方程的差分格式通常將場域分成足夠小的正方形網格,網格線之間的距離為h,節點0,1,2,3,4上的電位分別用 和 和 表示。 （1）（2）二維靜電場邊值問題：有限差分的網格分割有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一種數值計算法。其基本思想：將場域離散為許多小網格，應用差分原理，將求解連續函數 的泊松方程的問題轉換為求解網格節點上 的差分方程組的問題。第57頁，共73頁，2022年，5月20日，14

21、點51分，星期四將 和 分別代入式（3），得（4）（5）由（4）（5）（6）由（4）+（5）（7）設函數 在 處可微，則沿 方向在 處的泰勒公式展開為（3）有限差分法第58頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四（9）同理（8）將式（7）和（9）代入式（1），得到泊松方程的五點差分格式即當場域中 ，得到拉普拉斯方程的五點差分格式有限差分法第59頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四若場域離散為矩形網格，差分格式為：122. 邊界條件的離散化處理第二類邊界條件 邊界線與網格線相重合的差分格式第一類邊界條件 給邊界離散節點直接賦已知電位值。介質分界面銜接條件

22、的差分格式邊界條件的離散化處理其中第60頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四3.差分方程組的求解方法高斯賽德爾迭代法式中 迭代順序可按先行后列，或先列后行進行。 迭代過程遇到邊界節點時，代入邊界值或邊界差分格式，的直到所有節點電位滿足 為止。高斯賽德爾迭代法有限差分法第61頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四松弛迭代法式中加速收斂因子最佳收斂因子的經驗公式：（正方形場域、正方形網格）（矩形場域、正方形網格）欠松弛迭代超松弛迭代迭代發散高斯賽德爾迭代法第62頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四 迭代收斂的速度與電位初始值的給定及網

23、格剖分精細有關 迭代收斂的速度與工程精度要求有 程序框圖如下：賦邊界節點已知電位值賦予場域內各節點電位初始值按超松弛法進行一次迭代，求打印 結束N 所有內點 相鄰二次迭代值的最大誤差是否小于Y累計迭代次數N=0N=N+1啟動迭代解程序框圖第63頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四編程題1 橫截面如圖所示的導體長槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導體蓋板，截面尺寸為ab，槽體的電位為零，蓋板的電位為100V。用高斯賽德爾迭代法編程求解。 要求：步長h1，x、y方向的網格數為m16，n10，迭代精度為 。計算：迭代次數N與 分布。有限差分法第64頁，共73頁，2022年，5月20日

24、，14點51分，星期四編程題2 橫截面如圖所示的導體長槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導體蓋板，截面尺寸為aa，槽體的電位為零，蓋板的電位為100V。用超松弛迭代法編程求解 要求：步長h1，x、y方向的網格數為m10，n10，迭代精度為 。計算：迭代次數N與 分布。有限差分法第65頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四作業：P1274-4、4-8、4-13、4-22、4-29第66頁，共73頁，2022年，5月20日，14點51分，星期四雙曲正弦 雙曲余弦 a)：其定義域為:(-,+)；b)：是奇函數；c)：在定義域內是單調增a)：其定義域為:(-,+)；b)：是偶函數；c)：其圖像過點(0,1)；反雙曲正弦函數 其定義域為：(-,+)；反雙曲余弦函數 其定義域為：1,+)； 雙曲函數第67頁，共73頁，2022年，5月2