1、機械控制工程基礎JIXIE KONGZHI GONGCHENG JICHU 第三章 控制系統的時域分析 1第三章 控制系統的時域分析3.1 時間響應與輸入信號 13.2 一階系統時間響應 23.3 二階系統時間響應 33.4 高階系統時間響應 43.5 動態性能指標 53.6 控制系統的穩定性 62 3.1 時間響應與輸入信號 時間響應時間響應指的是在控制系統的輸入作用下，被控制量（即系統輸出）隨時間的變化情況。通過時間分析就可以直接了解控制系統的動態性能。為了明確地了解系統的時間響應及其組成，下面以質量-彈簧系統來分析。質量為 與彈簧剛度為 的單自由度系統在輸入外力為 的作用下,系統的輸出為

2、 ，系統的動力學方程為： （3.1） 假定方程的初始條件（系統的初始狀態）為：時間響應及其組成3 3.1 時間響應與輸入信號 質量-彈簧圖片圖3.1 質量-彈簧圖片4 3.1 時間響應與輸入信號 時間響應方程這一非齊次常微分程的完全解由兩部分組成： 式中的 是齊次常微分方程的通解， 是其特解。 用微分方程求解法可得出滿足初始條件式（3.2）的解為: 式中， 為系統的無阻尼固有頻率； 。5 3.1 時間響應與輸入信號 對任意系統的動力學微分方程的通解 表示線性系統在沒有控制作用下由初始條件引起的運動，習慣上稱為自由運動或自由響應，零輸入響應。 此外，還可以根據工作狀態的不同而把系統的時間響應分為

3、瞬時響應與靜態響應兩部分。瞬態響應是指在某一輸入信號的作用下，系統的輸出量從初始狀態到穩定狀態的過渡過程；而穩態響應是指在 時系統的輸出狀態 。時間響應的組成6 3.1 時間響應與輸入信號 研究系統的動態特性，就是研究系統在輸入信號作用下，輸出量是怎樣按輸入量的作用而變化的，亦即系統對輸入信號如何產生影響。 在分析和設計系統時，需要有一個對各種系統性能進行比較的基礎，這種基礎就是預先規定一些具有特殊形式的試驗信號作為系統的輸入，然后比較各種系統隨這些輸入信號的響應。輸入信號7 3.1 時間響應與輸入信號 典型輸入信號選取典型輸入信號時必須考慮下列原則： （1）選取的輸入信號的形式非常重要。選取

4、典型輸入信號時必須考慮下列原則： （2）所選輸入信號的形式應盡可能簡單，便于用數學式表達及分析處理。 （3）應選取那些能使系統在最不利的情況下的輸入信號作為典型輸入信號。 根據以上原則，常用的典型輸入信號有以下幾種： 8 3.1 時間響應與輸入信號 常用的典型輸入信號（1）單位階躍信號如圖3.2（a)所示，其幅值高度等于1個單位時稱為單位階躍信號 ，其數學表達式為： （3.6） 其拉氏變換式為： （3.7） 階躍信號是評價系統動態性能時應用較多的一種典型輸入信號。實際工作中電源的突然接通、斷開，負載的突變，開關的轉換等，均可視為階躍信號。 9 3.1 時間響應與輸入信號 輸入信號的圖形htt(

5、d)(a)(b)(c)(e)10 3.1 時間響應與輸入信號 常用的典型輸入信號（2）單位斜坡信號 如圖3.2（b）所示，其斜率等于1的信號稱為單位斜坡信號，其數學表達式為 ： （3.8） 其拉氏變換式為： (3.9） 單位斜坡信號的曲線是一種等速度函數，實際工作中的數控機床加工斜面時的進給指令信號、大型船閘勻速升降時的信號等，均可用斜坡信號模擬。 11 3.1 時間響應與輸入信號 常用的典型輸入信號（3）單位加速度信號 如圖3.2（c）所示，即為單位加速度信號，其數學表達式為： (3.10) 其拉氏變換式為： (3.11) 單位加速度信號的曲線是一種等加速度函數，實際工作 中，特別是在分析隨

6、機系統的穩態精度時，經常用到這類信號。如：隨機系統中位置作等加速度移動的進給指令信號可用加速度信號模擬。12 3.1 時間響應與輸入信號 （4）單位脈沖信號 用 表示，其數學表達式為： （3.12） 且定義 （3.13） 此積分表示脈沖面積為1。應該指出，符合這種數學定義的理想脈沖函數，在工程實踐中是不可能發生的。為了盡量接近于單位脈沖信號，通常用寬度h很窄而高度為 的信號作為單位脈沖信號見圖3.2(d)。實際應用中，常把時間很短的沖擊力、脈沖信號、天線上的陣風擾動等可用脈沖信號模擬。單位脈沖信號的拉氏變換為： 常用的典型輸入信號13 3.1 時間響應與輸入信號 常用的典型輸入信號（5）單位正

7、弦信號 如圖3.2（e)所示，即為單位正弦信號，其數學表達式為： （3.14） 其拉氏變換式為： （3.15） 在實際中如電源的波動、機械振動、元件的噪聲干擾等均可近似為正弦信號。正弦信號是系統或元件作動態性能試驗時廣泛采用的輸入信號。 需要說明的是，上述的典型輸入信號，在實驗條件下用得很成功，然而在許多實際生產過程中往往不能使用。 14 3.2 一階系統時間響應由一階微分方程描述的系統稱為一階系統。其方程的一般 形式為： (3.16)其傳遞函數為 (3.17) 式中， 為時間常數，具有時間單位“秒”的量綱。對于不同的系統，由不同的物理量組成。它表達了一階系統本身的與外界作用無關的固有特性，亦

8、即為一階系統的特征參數。從上面的表達式可以看出，一階系統的典型形式是慣性環節， 是表征系統慣性的一個主要參數。 一階系統的數學模型15 3.2 一階系統時間響應一階系統的單位階躍響應當單位階躍信號 作用于一階系統時，一階系統的單位階躍響應為： (3.18)取上式進行拉氏反變換，可得單位階躍輸入的時間響應（稱為單位階躍響應）為： (3.19) 16 3.2 一階系統時間響應一階系統的數學模型上式中右邊第一項是單位階躍響應的穩態分量，它等于單位階躍信號的幅值，第二項是瞬態分量，當 時，瞬態分量趨于零。 隨時間 變化的曲線如圖3.3(a)所示，是一條按指數規律單調上升的曲線。這一指數曲線在 那一點的

9、切線斜率等于 ，因為： 17 3.2 一階系統時間響應一階系統的單位階躍響應曲線上這是一階系統單位階躍響應曲線的一個特點。根據這一點，可以在參數未知的情況下，由一階系統的單位階躍響應實驗曲線來確定其時間常數 。下面分析 對系統的影響。 圖（3.3） 一階系統的單位階躍響應曲線18 3.3 一階系統時間響應一階系統的時間常數（1）時間常數 時間常數 越小， 上升速度越快，達到穩定值用的時間就越短，也就是系統慣性越小，反之，系統對信號的響應越緩慢，慣性越大。所以 的大小反映了一階系統慣性的大小。（2）調整時間 從響應開始到進入穩態所經過的時間叫做調整時間（或過渡時間）。 通常希望響應速度越快越好，

10、調整構成系統的元件參數，減小 值，可以提高系統的快速性。 19 3.2 一階系統時間響應一階系統輸入信號為單位脈沖信號 時，輸入信號的拉氏變換為： 單位脈沖響應為： 則，單位脈沖響應函數 等于其傳遞函數的拉氏變換 （3.20) 一階系統的單位脈沖響應20 3.2 一階系統時間響應一階系統的單位脈沖響應曲線單位脈沖響應函數曲線如圖3.4所示，從圖中可知一階系統的單位脈沖響應函數是一單調下降的指數曲線，而且 只有瞬態項 ，其穩態項為零。 圖（3.4） 一階系統的單位脈沖響應曲線21 3.3 二階系統時間響應二階系統 由二階微分方程描述的系統，稱為二階系統。工程實踐中，雖然控制系統多為高階系統，但在

11、一定準確度條件下，可忽略某些次要因素近似的用一個二階系統來表示。因此，詳細討論和分析二階系統的特性，具有重要的意義。22 3.3 二階系統時間響應 二階系統的動力學方程及傳遞函數分別為： (3.21) (3.22) 式中， 稱為無阻尼固有頻率； 稱為系統的阻尼比。不同系統的 和 值，取決于各系統的元件參數。顯然， 和 是二階系統的特征參數，它們表明了二階系統本身與外界無關的性。 二階系統的數學模型23 3.3 二階系統時間響應二階系統的特征方程 二階常系數非齊次線性方程（3.21）的通解，應等于該方程之齊次方程通解與非齊次方程的特解之和。由于方程式（3.21）的齊次方程所對應的特征方程為： (

12、3.23) 且方程的兩個特征根是： 則從傳遞函數的角度來看，方程的特征根就是傳遞函數的兩個極點。并且隨著阻尼比 取值的不同，二階系統的特征根也不同。 24 3.3 二階系統時間響應阻尼系統（1）當 時，稱為欠阻尼狀態，方程有一對實部為負的共軛復根， 此時，二階系統的傳遞函數的極點是一對位于復平面s左平面內的共軛復數極點。如圖3.5（a）所示。這時，系統稱為欠阻尼系統。（2）當 時，稱為臨界阻尼狀態。系統有一對相等的負實根， ，如圖3.5（b）所示，這時，系統稱為臨界阻尼系統。25 3.3 二階系統時間響應（3）當 時，稱為過阻尼狀態，系統有兩個不等的負實根，即 （3.24) (3.25) 如圖

13、3.5（c）所示，這時，系統稱為過阻尼系統。過阻尼系統26 3.3 二階系統時間響應無阻尼系統（4）當 時,稱為零阻尼狀態.系統有一對純虛根， 如圖3.5（d）所示，這時，系統稱為無阻尼系統。圖3.5 復平面上二階系統特征根分布27 3.3 二階系統時間響應二階系統的單位階躍響應 下面分別討論二階系統不同阻尼比時的單位階躍響應。單位 階躍輸入信號的拉氏變為 ，二階系統單位階躍的拉氏變換為： （1）當 時，稱為欠阻尼狀態，方程有一對實部為負的共軛復根， 式中， 稱為有阻尼固有頻率。取拉氏變換得到的28 3.3 二階系統時間響應二階系統的單位階躍響應 時間響應為： (3.27)式中， 。上式中第一

14、項是穩態項，第二項瞬態項是隨時間 t而衰減的正弦振蕩函數。振蕩頻率為 ，振幅的衰減速度取決于系統的時間衰減常數 。29 3.3 二階系統時間響應二階系統的單位階躍響應（2）臨界阻尼情況（ ） 系統有兩個相等的負實根，這時 取拉氏反變換得到的時間響應： （3.28）30 3.3 二階系統時間響應二階系統的單位階躍響應（3）過阻尼情況（ ） 系統有兩個不等的負實數特征根，見式（3.25）。這時傳遞函數可以寫成： 取拉氏反變換得到的時間響應： 從式（3.29）看出，兩個指數正是系統的兩個極點 ， 與 的乘積。從s平面看，愈靠近虛軸的根，過渡時間愈長，對過程的影響愈大，愈起主導作用。31 3.3 二階

15、系統時間響應二階系統的單位階躍響應（4）如果 ，代入式（3.26）中，并取拉氏反變換，便可得零阻尼情況下的響應，即： （3.30） 此時，系統的響應變成無阻尼的等幅振蕩。 式（3.27）式（3.30）所描述的單位階躍響應曲線如圖3.6所示。由圖可知,當 時，二階系統的單位階躍響應隨著阻尼比的減小，其振蕩特性愈劇烈，但仍為衰減；當 時，達到等幅振蕩；當 時，曲線單調上升，不再具有振蕩的特點。 從瞬態響應的持續時間上看，無振蕩的曲線中, 時比 時的持續時間短，而 比 的情況更早結束瞬態過程。32 3.3 二階系統時間響應二階系統的單位階躍響應曲線圖3.6 二階系統的單位階躍響應曲線圖3.7 二階系

16、統的單位脈沖響應曲線33 3.3 二階系統時間響應二階系統的單位脈沖響應 當輸入信號 為單位脈沖信號時 ，二階系統的單位脈沖響應為： 取其拉氏反變換,得到二階系統在單位脈沖信號作用下的時間響應。（1） 欠阻尼情況（ ） 34 3.3 二階系統時間響應二階系統的單位脈沖響應（2）臨界阻尼情況（ ） （3.33）（3）過阻尼情況（ ） (3.34) 35 3.3 二階系統時間響應二階系統的單位脈沖響應（4）零阻尼情況（ ） （3.24） 按不同的 值可求出一簇相應的單位脈沖響應函數的曲線（如圖3.7所示）。由圖可知，在 時，單位脈沖響應函數總是正值，至少為零；在 時，單位脈沖響應曲線是減幅的正弦振

17、蕩曲線，且 愈小，衰減愈慢，振蕩頻率 愈大，故欠阻尼系統又稱二階振蕩系統，其幅值衰減的快慢取決于 。 36 3.3 二階系統時間響應二階系統的單位脈沖響應 通過二階系統對上述兩種典型信號的響應分析可知，它們所顯示的規律是一致的，這是二階系統本身的特點。系統的特征性完全取決于系統的結構參數。如果已知二階系統的參數 和 ，則完全可以由系統極點的分布來預見系統的響應情況。選擇參數 和 時究竟應考慮哪些性能指標的要求，將在下一節詳細討論。 37 3.4 高階系統時間響應高階系統用三階或三階以上的微分方程描述的系統叫做高階系統。實際上，大量的系統，特別是機械系統，幾乎都可用高階微分方程來描述。對高階系統

18、的研究和分析，一般是比較復雜的。這就要求在分析高階系統時，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使問題簡化，從前述可知，高階系統總可化為零階、一階與二階環節的組合，并且也可包含延時環節，而一般所關注的往往是高階系統中的二階振蕩環節的特征。因此，本節將著重闡明高階系統過渡過程的主導極點的概念，并利用這一概念，將高階系統簡化為二階振蕩系統，在此基礎上利用關于二階系統的一些結論對高階系統作近似分析。38 3.4 高階系統時間響應高階系統的時間響應分析用設高階系統動力學方程的一般表達形式（此處未計入延時環節）為： （3.35） 在零初態時，對上式取拉氏變換得到系統的傳遞函數： （3.36） 系統的特征方程式為

19、：39 3.4 高階系統時間響應高階系統的時間響應分析用特征方程有有n個特征根，設其中n1個為實數根，n2對為共軛虛根，應有：n= n1 +2 n2，由此，特征方程可以分解為n1個一次因式 及n2個二次因子 的乘積。也即系統的傳遞函數有 個實極點和 對共軛復數極點。40 3.4 高階系統時間響應高階系統的單位階躍響應設系統傳遞函數的m個零點為-zi(i=1,2,m),則系統的傳遞函數可寫為： （3.37）則系統在單位階躍輸入信號的作用下，輸出為 （3.38） 41 3.4 高階系統時間響應高階系統的單位階躍響應用對上式按部分分式展開，得： 式中， 是由部分分式所確定的常數。對上式進行拉氏變換后

20、，可得高階系統的單位階躍響應為： （3.39 ） 式中42 3.4 高階系統時間響應 式中高階系統的單位階躍響應分析（3.39）式可知：第一項為穩態分量，第二項為指數曲 線（一階系統），第三項為振蕩曲線（二階系統）。因此，一個高階系統的響應是由多個慣性環節和振蕩環節的響應組成。上述響應，決定于 ， ， 及系數 ， 即與零、極點的分布有關。因此，了解零、極點的分布情況，就可以對系統性能進行定性分析，或者對高階系統進行必要的降階以便于處理。43 3.4 高階系統時間響應用設有一系統，其傳遞函數極點在復平面上的分布如圖3.8（a)所示。極點 距虛軸的距離不小于共軛復數極點 , 距虛軸距離的5倍，即

21、（此處 ， 是相應于 ， 的）；同時，極點 ， 附近無其他零點和極點。由以上已知條件可以算出極點。所對應的過渡過程分量的調整時間為：高階系統的簡化式中， 是極點 ， 所對應的過渡過程調整時間。44 3.4 高階系統時間響應系統的單位脈沖響應曲線 (a) (b) 圖3.8 系統極點位置及單位脈沖響應45 3.4 高階系統時間響應系統的單位脈沖響應分析用圖3.8（b)表示圖3.8（a)所示的單位脈沖響應函數的各分量。由圖可知，由共軛復數極點 ， 確定的分量在該系統的單位脈沖響應函數中起主導作用，因為它衰減得最慢。其他遠離虛軸的極點 ， ， 所對應的單位脈沖響應函數衰減較快，它們僅在過渡過程的極短時

22、間內產生一定的影響。 由以上分析可知，在系統傳遞函數的極點中，如果距虛軸最近的一對共軛復數極點的附近沒有零點，而其他的極點距虛軸的距離都在這對極點距虛軸的5倍以上或者其他極點實部大于這對極點實部的5倍時，則系統的過渡過程的形式及其性能指標主要取決于距虛軸最近的這對共軛復數極點。46 3.4 高階系統時間響應系統的簡化這種距虛軸最近的極點稱為“主導極點”，它們經常以共軛復數的形式成對出現。 應用主導極點分析高階系統的過渡過程，實質上就是把高階系統近似作為二階振蕩系統來處理，這樣就大大簡化了系統的分析和綜合工作。但在應用這種方法時一定要注意條件，同時還要注意，在精確分析中，其他極點與零點對系統過渡

23、過程的影響不能忽視。47 3.5 動態性能指標時域性能指標時域性能指標與時間響應有關，而輸入引起的時間響應由瞬態響應和穩態響應兩部分組成，因此時域響應的性能指標由動態性能指標和穩態性能指標所組成。瞬態響應的性能指標可以評價系統在過渡過程響應的快速性和平穩性，穩態性能指標主要是用誤差來衡量系統穩態響應的準確性 。通常，系統的性能指標是根據欠阻尼狀態下的二階環節對單位 階躍輸入的響應給出。48 3.5 動態性能指標時域性能指標選擇單位階躍信號作為輸入信號，原因有 二：一是產生單位階躍輸入信號比較容易，而且從系統對單位階躍輸入的響應也比較容易求得對任何輸入的響應；二是在實際中，許多輸入與階躍輸入相似

24、，而且階躍輸入又往往是實際中最不利的輸入情況。因此，下面有關性能指標的定義及計算公式都是在欠阻尼狀態下二階環節對單位階躍響應情況下導出的。系統對單位階躍輸入信號的瞬態響應與初始條件無關。為了便于比較各種系統的瞬態響應，一般設定零初始條件。49 3.5 動態性能指標常用的性能指標下面定義一些常用的性能指標，見圖3.9所示。圖3.9 系統瞬態響應性能指標50 3.5 動態性能指標（1）上升時間 響應曲線從穩態值的10上升到90%,或從穩態值的5上升到95，或從0上升到100所用的時間都稱為上升時間。對于欠阻尼的振蕩環節，常采取0100的上升時間。對于過阻尼情況通常采取10100的上升時間。它可以反

25、映響應曲線的上升趨勢，是表示系統響應速度的指標。 由式（3.27）及上述定義，當 時，有： （ ） 常用的性能指標51 3.5 動態性能指標常用的性能指標且在未到達穩態前有 ，要使上式成立，即要求 考慮到 為 第一次達到穩態值的時間，故取 ，即： （3.40）由上式可知，當 一定時， 增大，上升時間 就縮短；而當 一定時， 愈大，上升時間就愈長。 52 3.5 動態性能指標常用的性能指標（2）峰值時間 把響應曲線達到第一個峰值所需要的時間定義為峰值時間。對式（3.27）取導數，并令 ，可得： 化簡得： 所以有： 53 3.5 動態性能指標常用的性能指標下根據定義，當 時對應的峰值時間： （3.

26、41） 可見峰值時間是有阻尼振蕩周期 的一半。根據式（3.41）可知，當 一定時， 增大，峰值時間 就縮短； 而當 一定時， 愈大，峰值時間就愈長。54 3.5 動態性能指標常用的性能指標（3）最大超調量最大超調量是響應曲線上超出穩態值的最大偏離量，對于衰減振蕩曲線，最大超調量發生在第一個峰值處。若用百分比表示最大超調量，有： （3.42）因為最大超調量發生在峰值時間，故將式（3.27）與 代入式（3.42），可得： 55 3.5 動態性能指標常用的性能指標又： 得 （3.43） 可見 唯一地決定于 值， 值愈小， 愈大。56 3.5 動態性能指標常用的性能指標（4）調整時間在響應曲線的穩態值

27、附近取穩態值的 或 作為誤差帶（即允許誤差 或 ），響應曲線達到并不超出誤差帶范圍，所需要的最小時間稱為調整時間。可用如下表達式表征： （3.44） 將式（3.27）及 代入式（3.44）得： （ 3.45） 57 3.5 動態性能指標下為簡單起見，可忽略上式中正弦函數的影響，近似地以幅值包絡線的指數函數衰減到 時，認為過渡過程即已完畢。則有：整理得：調整時間 與 之間的關系曲線如圖3.10所示。圖中縱坐標采用無因次時間 ，可以看出，當 一定時，隨 的增大開始減小，當 時，在 附近達最小值，當 時，在 附近達最小值，當 以后，調整時間不但不減小，反而趨于增大，這是因為系統阻尼過大，會造成響應遲

28、緩，雖然從瞬態響應的平穩性方面看， 越大越好，但快速性變差。常用的性能指標58 3.5 動態性能指標所以當系統允許有微小的超調量時，應著重考慮快速性的要求。另外由圖中 與 的關系曲線可以看出，在 附近， 約為5，平穩性也是令人滿意的，所以在設計二階系統時，一般取 為最佳阻尼比。圖3.10中的曲線具有不連續性，是由于 值的微小變化有時會使 發生顯著變化造成的。另外應當指出，由（3.45）表示的調整時間是和 及 的乘積成反比的， 的值通常先由最大超調量 來確定，所以 主要依據 來確定，調整 可以在不改變 的情況下來改變瞬態響應時間。常用的性能指標59 3.5 動態性能指標常用的性能指標圖3.10

29、關系曲線60 3.5 動態性能指標常用的性能指標（5）振蕩次數把在過渡過程時間 內 穿越其穩態值 的次數的一半定義為振蕩次數。由于有阻尼振蕩周期 ，所以振蕩次數為：綜上所述，要使二階系統具有滿意的性能指標，必須選擇合適的阻尼比 和無阻尼固有頻率 。以上性能指標主要從瞬態響應性能的要求來限制系統參數的選取，對于分析、研究及設計系統都是十分有用的。 61 3.5 動態性能指標例題講解例3.1 設系統的方框圖如圖3.11所示，其中 與 。當有一單位階躍信號作用于系統時，求其性能指標 ， ， 。 圖3.1162 3.5 動態性能指標解： （1）求 ，由 故由式（3.41）可得： （2）求 ，由式（3.

30、43）可得： （3）求 由式（3.45）可得：例題講解63 3.5 動態性能指標例題講解例3.2 圖3.12（a）是一個機械系統。當施加3N的階躍力后，系統中質量塊m作圖3.12（b）所示的運動，根據這個響應曲線，確定質量m，粘性阻尼系數c 和彈簧剛度系數k 的值。64 3.5 動態性能指標例題講解解： 根據牛頓定律，建立機械系統的動力學微分方程，得系統的傳遞函數為： （1）由響應曲線的穩態值（1cm）求出 ,由于階躍力 ，它的拉氏變換為 ，故： 由拉氏變換的終值定理可求得 的穩態值65 3.5 動態性能指標例題講解因此（2）由響應曲線可知 求系統的 和 。 由：解得： ，代入 中，得： （3

31、）將傳遞函數與二階系統傳遞函數的標準形式比較得到 、 與 及 的關系，求 及 ，由 和 得： 66 3.5 動態性能指標時間響應的實驗方法綜合了解系統的時域性能指標需實時測定控制系統的時間響應。通常控制系統的性能指標是根據系統對單位階躍輸入的瞬態響應形式給出。因此，這里簡單介紹單位階躍輸入下系統的時間響應的實驗方法。（1）輸入信號的產生 階躍時間函數，可以用簡單的開關電路產生，如圖3.13所示。當 時，開關K打開；當 時，開關K合上。也可以用低頻信號發生器產生方波的前沿及后沿作為階躍時間函數。當然，使用單片機、微機或其他數字電路同樣可以方便地產生階躍時間函數。67 3.5 動態性能指標時域性能

32、指標應注意，輸入信號的畸變會給測試結果帶來誤差。階躍輸入的高度一般為輸入量工作范圍的10%到90。無論是位移階躍還是壓力階躍，關鍵是保證信號的前沿陡直，使 （上升時間）遠小于 （被測系統的時間常數）。圖3.13 開關電路及其階躍信號輸出68 3.5 動態性能指標時域性能指標（2）輸出響應的測量 首先要初步估計被測系統的動態性能，然后選擇滿足被測系統動態性能要求的傳感器。如：被測系統的上升時間越短，則傳感器的上限工作頻率應該越高，再合理設計和選擇測量系統，可以使用多通道信號測試儀器同時測試輸入信號和輸出響應。詳細的測量方法可參考有關傳感器和測試技術的書籍。 工程控制系統的時間響應一般是在有噪音的

33、背景下測定的，單位測定結果總是有誤差存在。可通過重復測試的方法，減小系統的測試誤差。69 3.5 動態性能指標控制系統設計控制系統時應滿足多種性能指標，但最重要的技術要求是系統必須穩定。因為穩定性是系統能夠正常工作的首要條件，只有工作穩定才能進一步討論其他性能指標。70 3.6 控制系統的穩定性控制系統 設計控制系統時應滿足多種性能指標，但最重要的技術要求是系統必須穩定。因為穩定性是系統能夠正常工作的首要條件，只有工作穩定才能進一步討論其他性能指標。71 3.6 控制系統的穩定性穩定性的基本概念控制系統在實際運行過程中，總會受到外部和內部的擾動，例如火炮射擊時，施加給火炮隨動系統的沖擊負載；雷

34、達天線跟蹤時，突然遇到陣風以及其他系統負載和能源的波動、系統參數的變化、外部環境條件的改變等等。如果系統不穩定，就會在任何微小的擾動的作用下偏離原來的平衡狀態，并隨時間的推移而發散。因此，如何分析系統的穩定性，并提出保證系統的措施，是自動控制的基本任務。設線性定常系統處于某一平衡狀態，若此系統在干擾的作用下偏離原來的平衡狀態，當干擾作用消失后，系統能否回到原來的平衡狀態，這就是系統的穩定性問題。72 3.6 控制系統的穩定性系統的穩定性如果系統在擾動作用消失后，能夠恢復到原平衡狀態，即系統的零輸入響應是收斂的，則系統為穩定的。相反，若系統不能恢復到原平衡狀態，或系統的零輸入響應是發散的，則系統

35、為不穩定的。 圖3.14（a）所示的系統，小球在最低點處于平衡狀態，當受到外力作用小球會偏離最低點，在外力消失后，小球經一段時間左右運動后，最后回到平衡點，所以該系統是穩定的。 圖3.14 系統穩定性示意圖（a）(b)73 3.6 控制系統的穩定性系統的穩定性如而圖3.14（b）所示的系統，當小球受力偏離最高點時將會越滾越遠，不會回到平衡位置，所以系統是不穩定的。 綜上所述，如果線性系統受到擾動的作用而使輸出量 發生偏差，產生 。擾動消失后，經過足夠的時間，該偏差的絕對值能小于一給定的正值 ，即 則系統是穩定的；否則系統是不穩定的。74 3.6 控制系統的穩定性上述穩定性定義表明，控制系統的穩

36、定性取決于瞬態響應。故線性系統的穩定性僅取決于系統本身的固有特性，而與外界條件無關。因此，可設系統的初始條件為零，用單位脈沖函數 作用于系統，這時系統的輸出增量為脈沖響應 此時 視為系統的擾動輸入，若 ，則系統穩定。設系統閉環傳遞函數為：線性系統的穩定性75 3.6 控制系統的穩定性線性系統的穩定性假定系統的特征方程有 個不同的實數根和 對不同的共軛復數根，則擾動作用下系統下輸出為： (3.47) 對上式進行拉氏變換，有 (3.48) 76 3.6 控制系統的穩定性線性系統的穩定性由式（3.48）可知，當系統全部特征根 都具有負實部時， 。 綜上所述，線性控制系統穩定的充要條件是系統特征方程的

37、所有根具有負的實部；或特征根全部在s平面的左半平面。如果系統有一個根在s平面的右半平面，則系統不穩定。在工程實際中，所有物理上可實現的系統都存在非線性，受引發振蕩的能量限制，系統的輸出量只能增大到一定程度，此后輸出將形成大幅度的等幅振蕩。77 3.6 控制系統的穩定性Routh-Hurwitz穩定判據 線性定常系統穩定的充要條件是其全部特征根具有負實部。運用此方法需要求出系統傳遞函數的全部極點，才能判斷系統是否穩定。但在實際工程系統中，特征方程的階次往往較高，不使用計算機直接求和比較困難。這樣就提出了各種不解特征方程的根，而只討論特征根的分布，從而判斷系統穩定性的方法。78 3.6 控制系統的

38、穩定性 設系統特征方程為： （3.49）將式（3.49）各項同除 并分解因式，得：式中 ， ， 為系統的特征根。將上式右邊展開，得：系統穩定的必要條件（3.51）（3.50）79 3.6 控制系統的穩定性系統穩定的必要條件比較式（3.50）與式（3.51），可得： （3.52）從式（3.52）可知，要使全部特征根均具有負實部，必須滿足以下兩個條件，即系統穩定的必要條件。 （1）特征方程的各項系數 都不為零。 （2）特征方程的各項系數 的符號相同。 80 3.6 控制系統的穩定性系統穩定的必要條件按習慣，一般取 為正值，因此系統穩定的必要條件是： 這一條件并不充分，對各項系數均為正且不為零的特征

39、方程，還可能有正實部的根。因為當特征根有正有負時，它們組合起來仍能滿足式（3.52）中各式。 若系統不滿足穩定的必要條件，則系統比不穩定。若系統滿足穩定的必要條件，還需進一步判定其是否滿足穩定的充分條件。 81 3.6 控制系統的穩定性Routh（勞斯）判據Routh判據是根據系統特征方程的各項系數進行代數運算，得出全部根具有負實部的條件，從而判斷系統的穩定性。因此這種穩定判據又稱代數穩定判據。（1）Routh 表的排列 將式（3.49）所示的系統特征方程系數先構成Routh表的前兩行，第一行由特征方程的第1，3，5，項的系數組成；第二行由特征方程的第2，4，6，項的系數組成。以后各行的數值需

40、逐行計算，這種排列一直進行到第n行，構成Routh表。82 3.6 控制系統的穩定性 Routh（勞斯）表排列表中，83 3.6 控制系統的穩定性系數 的計算一直進行到其余的 值全部為零為止。 這一計算過程一直計算到第n行為止，為簡化數值計算，可用一個正整數去乘或去除某一行的各項，這并不改變穩定性的結論。Routh（勞斯）判據84 3.6 控制系統的穩定性Routh（勞斯） 穩定判據Routh判據指出，系統特征方程具有正實部的數目等于Routh表列中第一列的各元素符號改變的次數。 系統穩定的充要條件是: Routh表中第一列的各元素的符號為正，且值不等于零。85 3.6 控制系統的穩定性Routh（勞斯）判據應用例3.3 系統的特征方程為試用Routh判據確定系統是否穩定。解：特征方程的所有系數均為正實數，列出勞斯表列如下：因為上邊計算出勞斯表中第一列數值也全部為正實數，所以系統是穩定的。86 3.6 控制系統的穩定性Routh（勞斯）判據應用例3.4 系統的特征方程為試用Routh判據確定系統是否穩定。 解