1、常微分方程 線性微分方程的基本理論1第1頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三及其各階導數均為一次的n階微分方程稱為n階線性微分方程.一、基本概念n階線性微分方程: 未知函數一般形式為:式中上的連續函數。及是區間2第2頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三n階線性齊次微分方程: n階線性齊次微分方程，簡稱齊線性方程,（3.2.1）稱非齊線性方程。3第3頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三上面兩個方程分別為齊次和非齊次的線性方程。 關于高階方程同一階方程一樣, 也有相類似的解的存在惟一性定理.4第4頁，共41頁，2022年，5月20日，5點

2、19分，星期三定理3.1：如果(3.2.1）的系數 及右端函數 在區間 上連續， 滿足下列初始條件 方程（3.2.1）存在惟一的解 則對任一個 及任意的 5第5頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三線性微分算子:為常數.性質3.2 性質3.1例如:6第6頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三二、齊次線性方程解的性質和結構定理3.2 (疊加原理) 如果 是方程（3.2.2）的n個解， 則它的線性組合 也是方程（3.2.2）的解，這里是常數.7第7頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三例1 驗證是方程 的解.解: 分別將代入方程, 得所以為方程

3、的解.8第8頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三基本解組:如果方程（3.2.2）的任意一個解都可以表示為 ,則稱是方程組（3.2.2） 的基本解組。線性相關:對定義在區間(a, b)上的函數組 如果存在不全為0的常數 , 使得 在(a, b)上恒成立,稱這些函數在所給的區間上線性相關，不然稱這些函數線性無關.9第9頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三例2: 函數在任何區間上都是線性無關的，因為如果只有當所有的 時才成立. (3.2.5)事實上, 如果至少有一個則 (3.2.5) 式的左端是一個不高于n次的多項式，它最多可有n個不同的根 . 它在所考慮的區

4、間上不能有多于n個零點, 更不可能恒為零.10第10頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三注1：在函數 中有一個函數等于零, 則函數在（a, b）上線性相關。 則在（a, b）上線性無關的充要條件為 或在（a, b）上不恒為常數. 注2：考慮到兩個函數構成的函數組 如果 或 在(a, b) 上有定義,11第11頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三注3：函數組的線性相關與線性無關是依賴于所取的區間。例4: 函數 上是線性無關, 而在上是線性相關的. 和事實上在區間上不是常數, 分別在區間和上是常數.例3:在任何區間上都線性無關. 在任何區間上都線性相關.12

5、第12頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三Wronskian 行列式:稱為這些函數的Wronskian行列式, 通常記做 由定義在區間（a, b）上的k個k-1次可微函數 所作成的行列式13第13頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三證明:由假設知存在一組不全為零的常數使得依次將此恒等式對 t 微分, 得到 n 個恒等式定理3.3 如果函數組 在區間(a, b) 上線性相關, 則在(a, b) 上它們的Wronskian行列式恒等于零, 即.14第14頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三上述n個恒等式所組成的方程組是關于的齊次方程組,

6、它的系數行列式就是Wronskian行列式, 由線性代數的知識知, 要使方程組存在非零解, 則必有15第15頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三如果函數組 的某點處 不等于0, 即 , 推論 3.1Wronskian行列式在區間（a, b）上則該函數組在區間上線性無關。定理3.3 如果函數組 在區間(a, b) 上線性相關, 則在(a, b) 上它們的Wronskian行列式恒等于零, 即.16第16頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三顯然對所有的 t, 恒有但在上線性無關.事實上, 假設存在恒等式則當時, 有當時, 有故在上線性無關.注: 定理3.3的

7、逆定理不一定成立.例17第17頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三定理3.4 若函數組 是齊線性方程在區間（a, b）上的n個線性無關的解,則它們的Wronskian 行列式在該區間上任何點都不為零.證明: 用反證法假設有使得18第18頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三其系數行列式故它有非零解現以這組解構造函數由定理3.2 知,是齊線性方程的解.考慮關于的齊次線性代數方程組19第19頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三即這個解滿足初始條件又也是齊線性方程滿足初始條件的解, 由解的惟一性知,由不全為零, 知矛盾, 從而定理得證.20第

8、20頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三則該解組在（a, b）上線性相關.使得它的Wronskian 行列式在區間（a, b）上的n個解。如果存在 推論3.2：設是方程 (3.2.2)推論3.3: 方程（3.2.2）的n個解 在其定義區間（a, b）上線性無關的充要條件存在一點 使得 是在該區間上21第21頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三定理3.5 n 階齊次線性方程（3.2.2）一定存在n個線性無關的解. 線性無關解組, 基本解組及通解的關系?證明:由定理3.1 知, 方程滿足初始條件的解一定存在, 因為所以這 n 個解一定線性無關, 故定理得證.

9、22第22頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三定理3.6 如果 是n階齊次方程（3.2.2）的 n 個線性無關的解。即方程（3.2.2）的任一解 都可以表示成證明: 設是方程 (3.2.2) 的任一解, 并且滿足條件則它一定是該方程的基本解組，23第23頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三考慮方程組由于它的系數行列式是方程的n個線性無關解的Wronskian 行列式在 處的值, 故它不為零. 因而上面的方程組有惟一解現以這組解構造函數由解的疊加原理和惟一性定理得即24第24頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三定理3.7 (通解結構定理

10、)若 是方程（3.2.2）的n個線性無關的解，則方程的通解可以表示成 其中 是任意常數 .25第25頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三定理3.8是方程（3.2.2）的n個解， 設 (等價命題)(1) 方程（3.2.2）的通解為 (2) 是方程的基本解組. (3) 在(a, b)上線性無關. (4) 存在使 (5) 任給有 26第26頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三定理 3.9 (劉維爾公式)注1： 在 內有一點為零， 則在整個上恒為零.設 是（3.2.2）的任意n個解， 是它的Wronskian行列式，則對(a, b)上任意都有 一點，上述公式我們

11、稱為劉維爾(Liouville)公式.27第27頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三注2：對二階微分方程 若 是方程的一個解，則可得通解.設 是與 不同的解，則由劉維爾公式推得用 乘以上式兩端可得 由此得 28第28頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三取 , 則為另一個解，因為所以與線性無關.29第29頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三例5 求方程 的通解. 解：易知 為一特解，所以 30第30頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三三、非齊次線性方程解的結構定理3.10n階線性非齊次方程的通解等于它的一個特解與它所

12、對應的齊次方程的通解之和. 31第31頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三證明: 設是方程 （3.2.10) 的一個特解，是方程 （3.2.2) 的通解。是方程（3.2.10) 的解。首先我們證明所以是方程 （3.2.10) 的解。即事實上(3.2.10)32第32頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三是非齊方程的通解。其次證即證對于非齊方程的任意一解總可以表示為其中是由中的任意常數取某一特定的值而得到的。所以是齊次方程的解，于是事實上， 因為可由中的任意常數取某一特定的值而得到。其中33第33頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三定理

13、3.11 設 與 分別是非齊次線性方程和則 是方程 的解。的解,證明：34第34頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三常數變易法求特解是齊線性方程的設 n個線性無關的解， 因而齊線性方程的通解為(3.2.11)為求非齊線性方程的一個特解, 將(3.2.11) 中的常數看成關于 t 的函數, 此時(3.2.11) 式變為(3.2.12)將 (3.2.12) 代入齊線性方程得到一個所滿足的關系式.(3.2.10)(3.2.2)35第35頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三我們還需要另外 n-1個條件來求出 在理論上這些條件是任意給出的,為了運算的方便, 我們按下面的方法來給出這 n-1 個條件.對 (3.2.12) 式兩邊對 t 求導得令得到(3.2.12)36第36頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三對上式兩邊繼續對t 求導, 重復上述做法, 令繼續上述做法, 直到獲得第 n-1 個條件令37第37頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三最后, 將上式兩邊對 t 求導得將上面得到的代入 (3.2.10), 得到由n 個未知函數所滿足的方程組:(3.2.10)38第38頁，共41頁，2022年，5月20日，5點19分，星期三 該方程組的系數行列式恰好是齊線性方程的n 個線性無關解的 Woolskin 行列