1、- 專題一 第 5 講 導數及其應用 一,選擇題 每道題 4 分,共 24 分 1已知函數 fx 的導函數為 fx,且中意 fx 2xf1ln x,就 f1 A e B 1 C1 D e 1 解析 f x 2f 1 x,令 x1,得 f1 2f1 1, f1 1. 應選 B. 答案 B 泉州模擬已知曲線 x 2 3ln x 的一條切線的斜率為 1,就切點的 2 2022 y 4 2 橫坐標為 A3 B 2 1 C1 D.2 解析 設切點為 x0 ,y0 1 3 y 2x x, 1 1 x0 3 , 2 x0 2 解得 x03x 0 2 舍去 答案 A 32022 聊城模擬 求曲線 yx2與 y

2、x 所圍成圖形的面積,其中正確選項 AS 1x2xdx B S 1xx dx 0 D S 0 CS 1y2ydy 1y ydy 0 0,1 ,1,1 , 0 解析 兩函數圖象的交點坐標是 故積分上限是 1,下限是 0, 由于在 0,1 上, x x2,故求曲線 yx2與 yx 所圍成圖形的面 S 1 x 0 x2dx. 第 1 頁,共 7 頁- - 答案 B 4函數 fx 2x33x21,x 0, 在2,2 上的最大值為 2,就 a 的取值 eax , x 0 范疇是 A. 1 ln 2 , B. 0, ln 2 12 2 1 C, 0 D. , 2ln 2 解析 當 x 0 時, fx 6x

3、2 6x,函數的極大值點是 x 1,微小值點 是 x 0,當 x 1 時, fx 2,故只要在 0,2 上 eax 2 即可,即 ax ln 2 在0,2 ln 2 1 上恒成立,即 a x 在0,2 上恒成立,故 a2ln 2. 答案 D 5設函數 fx ax2bxca, b, c R,如 x 1 為函數 fxe x 的一個極 值點,就以下圖象不行能為 yfx 圖象的是 解析 設 hx fxe x,就 hx 2ax be x ax 2bx cexax 22ax bx b ce x.由 x 1 為函數 fxe x 的一個極值點,得當 x 1 時, ax 22ax bx b c c a 0, c

4、a. fx ax 2bxa.如方程 a ax2 bx a 0 有兩根 x1 , x2 ,就 x1 x2 a 1, D 中圖象確定不中意該條件 答案 D 第 2 頁,共 7 頁- - 6設 a R,如函數 fx eax3xx R有大于零的極值點,就 a 的取值范 圍是 A3,2 B3, C, 3 D3,4 解析 由已知得 fx3aeax,如函數 fx 在 x R 上有大于零的極值點, 就 f x 3aeax0 有正根當 3aeax0 成立時,明顯有 a0,此時 x1a 3 ln a ,由 x0 得到參數 a 的取值范疇為 a 3. 答案 C 二,填空題 每道題 5 分,共 15 分 72022

5、南三模濟 曲線 yexx2 在點 0,1 處的切線方程為 解析 y ex2x,所求切線的斜率為 e0201, 切線方程為 y11x0,即 xy 10. 答案 x y 1 0 1 4x2dx. 8 2022 棗莊市高三一模 0 解析 1 4x2dx 表示圓 x2 y24 中陰影部分的面積的0 大小,易知 AOB 6 ,OC1, AOB 1 4 x dxSOBCS 2 扇形 0 1 1 3 21 32622 3 2 3. 答案 2 3 92022 州模擬泉 如函數 fx xa 數,就實數 a 的取值范疇是 xln xa 為常數 在定義域上是增函 解析 fxxa x ln x 在0 , 上是增函數,

6、 a2 x 2.fx 1 a1 0 在0, 上恒成立,即 2 x x x 第 3 頁,共 7 頁- - 而 2 x 2 2 2 x 2 , 當且僅當 x 1, x x x 即 x1 時等號成立, a 4. 答案 , 4 三,解答題 每道題 12 分,共 36 分 10 2022 泉州模擬 已知函數 fx x3ax 2 bxa2a, b R 1 如函數 fx 在 x1 處有極值為 10 ,求 b 的值； 2 如對任意 a 4 , ,fx在 x0,2 上單調遞增,求 b 的最小值 解析 1f x 3x 22axb, 就 f 1 32ab0 2 10 . a 4 或 a 3 . f 1 1aba b

7、11 b 3 a 4 當 時, f x 3x 8x 11, 64 132 0,所以函數有極值點； a 3 當 時, f x 3x 1 2 0 ,所以函數無極值點 b 3 就 b 的值為 11. 2 解法一 fx 3x2 2axb0 對任意的 a 4, ,x 0,2 都成 立, 就 Fa 2xa3x 2b0 對任意的 a 4 , ,x0,2 都成 立 x0,Fa 在 a 4 , 單調遞增或為常數函數, 所以得 Fa min F 4 8x 3x2 b0 對任意的 x 0,2 恒成立,即 b3x 2 8x max , 2 4 2 16 16 , 又 3x 8x 3 x3 3 3 當 x4 時, 3x

8、28xmax16,得 b16, 3 3 3 16 所以 b 的最小值為 3 .第 4 頁,共 7 頁- - 解法二 fx 3x 2 2ax b0 對任意的 a 4,x0,2 都成立, 即 b 3x22ax 對任意的 a 4, ,x0,2 都成立,即 b 3x2 2ax max , 2 令 Fx 3x 22ax 3 x a3 2a3 . 當 a 0 時, Fx max 0,b 0； 2 2 a a a2 16 16 又 3 max 3,b 3 .16 綜上, b 的最小值為 3 . 11 已知函數 fx exln x . 1 求函數 fx 的單調區間； 2 設 x0,求證： fx 1 e2x 1

9、； 3 設 nN,求證： ln1 2 1 ln2 3 1 . lnnn 1 1 2n 3. 解析 1由題知,函數 fx 的定義域為 0, , 由 fxexln x ln x 1 1 令fx0,解得xe；1 令fx0,解得0 xe.故 fx 的增區間為 1 1 2x 1 x 1lnx 1 2x 1. lnx 1 e,減區間為 0, e . 2 證明 2x 1 要證 fx 1 e ,即證 x 1 2x1 . lnx 1 x 1 0. 令 gx lnx 1 2x 1, x 1 1 3x 2 就 gx x1 x1 2 x 1 2, 令 g x 0,得 x 2, 第 5 頁,共 7 頁- - 且 gx

10、在 0,2 上 單 調 遞 減 , 在2, 上單調遞增, 所以 gx min g2 ln 3 1, 故當 x 0 時,有 gx g2 ln 3 10, 即 fx1 e2x1 得證 2x1 3 證明 由 2得 lnx1 x 1 3 , 3 即 lnx 12x1, 3 所以 lnkk1 12k k1 12k k1 , 所以 ln1 21 ln2 31. ln nn 1 1 2 3 12 2 3 23 . 2 3 n n 1 3 1 2n 3 2n 3. 12 設函數 fx a x2 1xa,x0,1 ,aR* n 1 如 fx 在0,1 上是增函數,求 a 的取值范疇； 2 求 fx 在0,1 上的最大值 1. 解析 1當 x0,1 時, fx a 2 xx 1 要使 fx 在 x0,1 上是增函數, ax 需使fx10在0,1上恒成立x 1 2 x21 1 即 a 1 2 在 0,1 上恒成立 x x 1 而 1 x2 在0,1 上的最小值為 2 , 又 a R* ,0 a 2 為所求 2由1知： 當 0 a 2 時, fx 在0,1 上是增函數 fx max f1 1 2a1； 當 a 2