1、第四節(jié)一、立體體積 二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 五、物體的引力 下頁(yè) 返回 結(jié)束 重積分的應(yīng)用 第十章 一、立體體積 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為 占有空間有界域 的立體的體積為上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 面上的圓周為底，而以曲面為頂?shù)那斨w的體積.例(補(bǔ)). 計(jì)算以解: 曲面在 xoy 面上投影為則圍成的閉區(qū)域上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4(P163). 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積 d A 無(wú)限積

2、累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱(chēng)為面積元素)則上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有且上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 (補(bǔ)). 計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解: 曲面在 xoy 面上投影為則出的面積 A .上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù)則 公式 ,分別位于為為即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導(dǎo)出其質(zhì)心 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn)

3、,即得此質(zhì)點(diǎn)在第 k 塊上任取一點(diǎn)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同理可得則得形心坐標(biāo)：上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例(補(bǔ)). 計(jì)算二重積分其中D 是由曲所圍成的平面域 .解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3. 求位于兩圓和的質(zhì)心. 解: 利用對(duì)稱(chēng)性可知而之間均勻薄片上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 質(zhì)心坐標(biāo)為四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x , y , z) 處的微元 因此物體 對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算. 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類(lèi)似

4、可得:對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例5.求半徑為 a 的均勻半圓薄片(面密度為常量)解: 建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量對(duì)其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解: 取球心為原點(diǎn), z 軸為 l 軸,則球體的質(zhì)量例6.求密度為的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球 所占域?yàn)?用球坐標(biāo)) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 G 為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,利用元素法,其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為物體對(duì)位于外的點(diǎn) 的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力上頁(yè) 下頁(yè)

5、 返回 結(jié)束 例(補(bǔ)).設(shè)面密度為 ,半徑為R的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解: 由對(duì)稱(chēng)性知引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. 。上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例7. 求半徑 R 的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解: 利用對(duì)稱(chēng)性知引力分量點(diǎn)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)P175 1，5, 9(2)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分的計(jì)算X型（）直角坐標(biāo)系下Y型上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 補(bǔ)例：解X-型上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （）極坐標(biāo)系下上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 補(bǔ)例.計(jì)算二重積分其中D 為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示: 利用極坐標(biāo)原式上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例(補(bǔ)).計(jì)算積分其中D 由所圍成 .提示:如圖所示連續(xù),所以上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例(補(bǔ)). 計(jì)算二重積分其中:(1) D為圓域(2) D由直線解: (1) 利用對(duì)稱(chēng)性.圍成 .上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 積分域如圖:將D 分為添加輔助線利用對(duì)稱(chēng)性 , 得上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例(補(bǔ)).證明證:左端= 右端上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三重積分的計(jì)算() 直角坐標(biāo)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用“先二后一”計(jì)算.補(bǔ)例. 試計(jì)算橢球體的體積 V.解上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 () 柱面坐標(biāo)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 8 (3).計(jì)算三重積分其中是由 xoy平面上曲