1、空間解析幾何主講 楊滌塵第1頁第1頁第二章 軌跡與方程主要內容：1、平面曲線方程2、曲面方程3、母線平行于坐標軸柱面方程4、空間曲線方程第2頁第2頁第一節 平面曲線方程一、曲線與方程：定義：當平面上取定了標架之后，假如一個方程與一條曲線有著關系：（1）滿足方程(x,y)必是曲線上某一點坐標；（2）曲線上任何一點坐標(x,y)滿足這個方程；則這個方程稱為這條曲線方程，這條曲線稱為方程圖形。曲線方程常表示為：F(x,y)=0 或 y=f(x)第3頁第3頁二、曲線矢量式方程例1、求圓心在原點，半徑為R圓方程。解：矢量式方程 |OM|=R普通方程x2+y2=R2例2、已知兩點A(-2,-2),B(2,

2、2)，求滿足條件 |MA|-|MB|=4動點軌跡。化為普通方程為xy=2 (x+y2)故曲線為yxoxy=2解：矢量式方程 |MA|-|MB|=4第4頁第4頁1、矢性函數 當動點按某種規律運動時，與它對應徑矢也伴隨時間t不同而改變（模與方向改變），這么徑矢稱為變矢，記為r(t)。假如變數t(atb)每一個值對應于變矢r一個完全值（模與方向）r(t)，則稱r是變數t矢性函數，記為r=r(t) (atb).2、矢性函數分量表示 設平面上取定標架為O;e1,e2,則矢性函數可表示為r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb). （1）其中x(t),y(t)是r(t)分量，它們分別是變數t函數。第

3、5頁第5頁3、矢量式參數方程 若取(atb)一切也許值，由（1）r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb).4、坐標式參數方程曲線 參數方程常能夠寫成下列形式：稱為曲線坐標式參數方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t)終點總在一條曲線上；反之，在這條曲線上任意點，總相應著以它為終點徑矢，而這徑矢可由t某一值t0(at0b)通過（1）完全擬定，則稱表示式（1）為曲線矢量式參數方程，其中t為參數。表示徑矢r(t)第6頁第6頁 已知直線l通過定點M0(x0,y0),且與非零矢量v =X,Y共線，求直線l方程。解：設M(x,y)為直線l上任意一點，并設OM=r，OM0=r0

4、，則點M在l上充要條件為矢量M0M與v共線，即M0M=tv(t為隨M而定實數）又由于M0M=r-r0因此r-r0=tv（1）矢量式參數方程為 r=r0+tv (t+)（2）矢量式參數方程為5、直線方程故得l第7頁第7頁注1：參數t幾何意義：當v是單位矢量時，|t|為點M與M0之間距離。事實上，|MM0|=|tv|=|t|注2：直線方向矢量：與直線l共線非零矢量 v 稱為直線l方向矢量。（3）：直線對稱式方程由直線參數方程（2）中消去參數t可得：對稱式方程（4）直線普通方程和點法式方程將對稱式方程改寫為Ax+By+c=0 (3)第8頁第8頁 其中A=Y，B=-X，C=-(Yx0-Xy0),方程(

5、3)稱為直線普通方程。反之，設(x0,y0)是（3）上一點，則Ax0+By0+c=0故（3）可改寫為A(x-x0)+B(y-y0)=0 （4）或可見系數A，B幾何意義是： 矢量q=B,-A是直線（3）一個方向矢量，而矢量p=A,B垂直于矢量q，從而垂直于直線（3），我們稱p=A,B為直線（3）法矢量，而方程（4）稱為直線點法式方程。第9頁第9頁6、兩條直線相關位置鑒定給定兩條直線l1: A1x+B1y+C1=0 l2: A2x+B2y+C2=0則（4）兩直線交角第10頁第10頁例3、一個圓在始終線上無滑動滾動，求圓周上一點P軌跡。解： 取直角坐標系，設半徑為 a圓在x軸上滾動，開始時點 P 恰

6、在原點， 通過一段時間滾動， 圓與直線切點移到 A 點，圓心位置移到C點，這時有r=OP=OA+AC+CP設=(CP,CA),于是矢量CP對x軸所成有向角為POraaxCy第11頁第11頁則又由于|OA|=AP=a，因此OA=ai, AC=aj從而點P矢量式參數方程為r=a(-sin)i+a(1-cos) （+）其坐標式參數方程為這種曲線稱為旋輪線或擺線。xOy第12頁第12頁例5 已知大圓半徑為a，小圓半徑為大圓半徑四分之一，若大圓不動，而小圓在大圓內無滑動地滾動，動圓上某一定點P軌跡稱為四尖星形線，求四尖星形線方程。解（略）參數方程為第13頁第13頁七 曲線參數方程例6 把橢圓普通方程式

7、化為參數方程。法一法二設y=tx+b,代入原方程得解得 在第二式中取t=0,得x=0，因此舍去第一式，取從而第14頁第14頁在法二中，若令u=-t，則得橢圓另一個表示式為注：第二種解法中，設y=tx+b，事實上是在橢圓上取一定點(0,b),作以(0,b)為中心直線束，而這時橢圓參數方程恰為直線束中直線與橢圓交點普通表達式。由于這時過點(0,b)y軸斜率不存在，因此需補上點(0,-b)，或把它當作當t時交點。第15頁第15頁例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a0) 為參數方程。解：設y=tx，代入可得參數方程注1：有些曲線只能用參數方和表示而不能用普通方程表示，即不能用x,y初等函數來表示

8、，如注2：在曲線普通方程與參數方程互化時，必須注意兩種形式方程等價性，即考慮參數取值范圍。第16頁第16頁第二節 曲面方程一、. 定義: 若曲面S與三元方程F (x, y, z) =0有下列關系:(1) S上任一點坐標滿足方程F (x, y, z) =0;(2) 不在S上點坐標都不滿足方程F (x, y, z) =0;那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0圖形.F (x, y, z) = 0 Sxyzo第17頁第17頁例1、求連結兩點A(1,2,3),B(2,-1,4)線段垂直平分面方程。解：垂直平分面能夠當作到兩定點A和B等距離

9、動點M(x,y,z)軌跡，故點M特性為|AM|=|BM|用兩點間距離公式代入并化簡可得：2x-6y+2z-7=0例2 求兩坐標面xOz和yOz所成二面角平分面方程。解：由于所求平分面是與兩坐標面xOz和yOz有等距離點軌跡，因此M(x,y,z)在平分面上充要條件是|y|=|x|即X+y=0 與 x-y=0第18頁第18頁(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 (1)稱方程(1)為球面原則方程.尤其: 當球心在原點O(0, 0, 0)時, 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2 例3、求球心為M0(x0, y0,z0), 半徑為R球面方程. 解：對于球面上任一點

10、M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即 M0 M R第19頁第19頁解依據題意有所求方程為第20頁第20頁解: 原方程可改寫為(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半徑為 球面.例5: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示如何曲面?第21頁第21頁例6 方程 圖形是如何？依據題意有圖形上不封頂，下封底解第22頁第22頁二、曲面參數方程1、雙參數矢函數在兩個變數u,v變動區域內定義函數r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2)稱為雙參數矢函數，

11、其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是變矢r(u,v)分量，它們都是變數u，v函數。當u,v取遍變動區域一切值時，徑矢OM= r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 終點M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)所畫軌跡普通為一張曲面。Mozxy S第23頁第23頁2、曲面矢量式參數方程定義：若取u,v(aub,cvd)一切也許值，由（2）表示徑矢r(u,v)終點M總在一個曲面上，反之，在這個曲面上任意點M總相應著以它為終點徑矢，而這徑矢可由u,v值 (aub,cvd)通過（2）完全決定，則稱（2）式為曲面矢量式參數方程，其中u,v為參數。3、曲面坐標式參

12、數方程由于徑矢r(u,v)分量為x(u,v),y(u,v)z(u,v),因此曲面參數方程也常寫成表示式（3）稱為曲面坐標式參數方程。第24頁第24頁例5 求中心在原點，半徑為r球面參數方程。 M RxyzPQ解：設M(x,y,z)是球面上任一點，M在xOy 坐標面上射影為P，而P在x軸上射影為Q，又設在坐標面上有向角(i,OP)=,Oz軸與OM交角zOM=，則r=OM=OQ+QP+PM且 PM=(rcos)k因此r=(rsincos )i +(rsinsin )j+ (rcos)k (4)此即為中心在原點，半徑為r球面矢量式參數方程。 QP=(|OP|sin)j=(rsinsin )jOQ=(

13、|OP|cos )i=(rsincos )i第25頁第25頁中心在原點，半徑為r球面坐標式參數方程為（4），（5）中，為參數，其取值范圍分別是0與-。第26頁第26頁例7 求以z軸為對稱軸，半徑為R圓柱面參數方程。 解：如圖,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i, QP(Rsin )j, PM=uk因此 r=(Rcos)i+ (Rsin )j +uk （6）此即為圓柱面矢量式參數方程。其坐標式參數方程為（6）（7）式中，u為參數，其取值范圍是-，-u+ 第27頁第27頁第三節 母線平行于坐標軸柱面xyzo1、引例: 考慮方程x2 + y2 = R2所表示曲面.在

14、xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以原點O為圓心, 半徑為R圓.xoy面上圓 x2 + y2 = R2 叫做柱面準線.平行于 z 軸直線 L 叫做柱面母線.曲面能夠看作是由平行于 z 軸直線L沿xoy面上圓x2 + y2 = R2 移動而形成, 稱該曲面為圓柱面.olM(x, y, 0)第28頁第28頁2、 定義: 平行于定直線并沿定曲線C移動直線 L 形成軌跡叫做柱面.定曲線C叫做柱面準線.動直線 L 叫做柱面母線.第29頁第29頁例1: 方程 y2 =2x 表示.母線平行于 z 軸柱面, oxzyy2 =2x它準線是xoy面上拋物線y2 =2x,該柱面叫做拋物柱面.第30頁第30

15、頁例2: 方程 xy = 0表示.母線平行于 z 軸柱面, xxy = 0zyo它準線是xoy面上直線xy = 0, 因此它是過z軸平面.第31頁第31頁3、 母線平行于坐標軸柱面方程.1 方程F (x, y) =0 表示:2 方程F (x, z) =0 表示:3 方程F (y, z) =0 表示:母線平行于 z 軸柱面, 準線為xoy面上曲線 C: F (x, y) = 0 .母線平行于 y 軸柱面, 準線為xoz面上曲線 C: F (x, z) = 0 .母線平行于 x 軸柱面, 準線為yoz面上曲線 C: F (y, z) = 0 .第32頁第32頁例3、下列方程各表示什么曲面？（母線平

16、行于z軸橢圓柱面）（母線平行于x軸雙曲柱面）（母線平行于y軸拋物柱面）注：上述柱面方程都是二次，都稱為二次柱面。第33頁第33頁第四節 空間曲線及其方程空間曲線普通方程空間曲線參數方程（1）矢量式參數方程（2）坐標式參數方程第34頁第34頁空間曲線普通方程 曲線上點都滿足方程，滿足方程點都在曲線上，不在曲線上點不能同時滿足兩個方程.空間曲線C可看作空間兩曲面交線.特點：一、空間曲線普通方程第35頁第35頁例2、求在xOy 坐標面上，半徑為R，圓心為原點圓方程。解：例1、寫出Oz軸方程。解：Oz軸可當作兩個平面交線，如或可見，空間曲線普通方程表示不是唯一。第36頁第36頁例3: 球面 x 2 +

17、 y 2 + z 2 = 32與平面 z = 2交線是x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2一個圓, 它普通方程是第37頁第37頁例4: 方程組表示如何曲線?解: 方程方程.它準線xOy面上圓, 圓心在點因此方程組表示上述半球面與圓柱面交線.（維維安尼曲線Viviani）表示球心在原點O, 半徑為a上半球面.表示母線平行于z 軸圓柱面第38頁第38頁二、空間曲線參數方程將曲線C上動點坐標x, y, z都表示成一個參數t函數.x = x (t)y = y (t) (2)z = z (t)當給定 t = t1時, 就得到C上一個點(x, y, z), 伴隨 t變動便可得曲線C上所有點

18、. 方程組(2)叫做空間曲線參數方程.第39頁第39頁例5: 假如空間一點 M 在圓柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 繞 z 軸旋轉, 同時又以線速度v 沿平行于z 軸正方向上升(其中,v都是常數), 那末點M 構成圖形叫做圓柱螺旋線, 試建立其參數方程. 解: 取時間t為參數, 設當t = 0時, 動點位于x軸上一點 A(a, 0, 0)處。通過時間t,由A運動到M(x, y, z),M在xOy面上投影為M (x, y, 0).第40頁第40頁(1) 動點在圓柱面上以角速度 繞z軸旋轉, 因此通過時間t, AOM = t. 從而x = |OM | cosAOM = acos ty

19、= |OM | sinAOM = asin t(2) 動點同時以線速度v沿 z 軸向上升. 因而z = MM = vt 得螺旋線參數方程x = acos ty = asin tz = vt 注: 還能夠用其它變量作參數.xyzAOMtM第41頁第41頁yxzAOMtM比如: 令 = t. 為參數; 螺旋線參數方程為:x = acos y = asin z = b 當從 0變到 0 + 是, z由b 0變到 b 0+ b ,即M點上升高度與OM 轉過角度成正比.尤其, 當 = 2 時, M點上升高度h = 2 b, h在工程上稱 h = 2 b為螺距.第42頁第42頁例6 維維安尼曲線 二分之一徑為a球面與一個直徑等于球半徑圓柱面，假如圓柱面通過球心，則球面與圓柱面交線稱為維維安尼曲線 ，試寫出其普通方程和參數方程。解：普通方程參數方程Oxyz第43頁第43頁三、空間曲線在