1、關于常數項級數第一張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月一 常數項級數的概念及基本性質1 常數項級數的概念 定義：給定一個數列將各項依即次相加, 簡記為稱上式為無窮級數，其中第 n 項叫做級數的一般項。級數的前 n 項和第二張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月稱為級數的部分和。收斂 ,則稱無窮級數并稱 S 為級數的和,記作當級數收斂時, 稱差值為級數的余項.則稱無窮級數發散 .顯然第三張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例1. 討論等比級數 (又稱幾何級數)( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解: 1) 若從而因此級數收斂 ,從而則部分和因此級數發散 .其和為第四張，PPT共四十

2、一頁，創作于2022年6月2). 若因此級數發散 ;因此n 為奇數n 為偶數從而綜合 1)、2)可知,時, 幾何級數收斂 ;時, 幾何級數發散 .則級數成為不存在 , 因此級數發散.此時第五張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月如果級數是發散的。解例2. 說明調和級數:是收斂的，則但所以，級數是發散的第六張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例3. 判別下列級數的斂散性:解: (1) 所以級數 (1) 發散 ;第七張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月(2) 所以級數 (2) 收斂, 其和為 1 .第八張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月2 無窮級數的基本性質 說明: 級數各

3、項乘以非零常數后其斂散性不變 .即性質1 若級數收斂于 S ,則各項乘以常數 c 所得級數也收斂 ,其和為 c S .即第九張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月性質2 設有兩個收斂級數：則級數也收斂, 其和為即說明: 若兩級數中一個收斂一個發散 , 則必發散 . 但若兩級數都發散 ,不一定發散.第十張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例4判別下列級數的斂散性，如果收斂，求其和。解（1）因為均收斂，所以收斂，且和為（2）因為收斂，發散，發散。第十一張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月性質3.在級數前面加上或去掉有限項, 不會影響級數的斂散性.性質4. 收斂級數加括弧后所成的級數

4、仍收斂于原級數的和.證: 設收斂級數若按某一規律加括弧,則新級數的部分和序列 為原級數部分和序列 的一個子序列,推論: 若加括弧后的級數發散, 則原級數必發散.因此必有例如第十二張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例5. 判斷級數的斂散性:解: 考慮加括號后的級數發散 ,從而原級數發散 .第十三張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月注意(1)并非級數收斂的充分條件.例如, 調和級數雖然但此級數發散 .(2) 若級數的一般項不趨于0 , 則級數必發散 .設級數性質5. （收斂級數的必要條件）則必有收斂，第十四張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例6. 說明下列級數是發散的解（1）

5、所以原級數是發散的（2）所以原級數是發散的（3）級數是發散第十五張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月二 正項級數及其審斂法若定理1 收斂的充要條件是則稱為正項級數 .正項級數部分和有界 .序列第十六張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月都有定理2 (比較審斂法)設且存在對一切有(1) 若級數則級數(2) 若級數則級數證:設對一切則有收斂 ,也收斂 ;發散 ,也發散 .分別表示級數是兩個正項級數, (常數 k 0 ),因在級數前加、減有限項不改變其斂散性, 故不妨部分和, 則有第十七張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月(1) 若級數則因此有界,由定理 1 可知,則由(1)可知,(

6、2) 若級數收斂,收斂,也收斂 .從而級數有界,也收斂 .級數這與發散矛盾.第十八張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例7. 討論p-級數的收斂性解: 1) 若因為對一切而調和級數由比較判別法可知 p 級數發散 .發散 ,第十九張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月因為當故考慮級數的部分和時,2) 若p 級數收斂 .由比較判別法知故級數收斂 , 第二十張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月重要參考級數: 幾何級數, p-級數, 調和級數.例8. 判別下列級數的斂散性 解 (1) 而 發散, 所以 原級數發散第二十一張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月(2)收斂，所以收斂.(

7、3)收斂，所以收斂.(4) 所以 原級數收斂收斂第二十二張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月推論1 (比較審斂法的極限形式)則有兩個級數同時收斂或發散 ;(2) 當 l = 0 (3) 當 l = 設兩正項級數滿足(1) 當 0 l 時,第二十三張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月特別取推論2（極限審斂法）設為正項級數，如果則級數收斂；如果則級數發散.第二十四張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例9 判別下列級數的斂散性解(1)(2)收斂.第二十五張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月(3)(4)第二十六張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例10 判別級數的斂散性.

8、解當時，當時，發散;當時，收斂，發散;也收斂.第二十七張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例11 設正項級數 收斂，證明：級數收斂.證因為收斂，所以由于故收斂.第二十八張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月定理3 比值審斂法 ( Dalembert審斂法)設 為正項級數, 且則(1) 當(2) 當時, 級數收斂 ;（或) 時, 級數發散 .說明: (1) 當時,級數可能收斂也可能發散.例如（2）在判別收斂時，求極限過程不可缺.此時比值判別法失效.第二十九張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例12 判別下列級數的收斂性:解收斂.發散.第三十張，PPT共四十一頁，創作于2022年6

9、月收斂.定理4 根值審斂法 ( Cauchy審斂法)設 為正則項級數, 且(2) 當（或）時, 級數發散 .解 例13. 判別級數 的收斂性.該級數發散 .第三十一張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月三 任意項級數則各項符號正負相間的級數稱為交錯級數 .定理5 ( Leibnitz 判別法 )則該交錯級數收斂 , 若 滿足條件:余項滿足1 交錯級數且和滿足第三十二張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月證: 又，故級數收斂于S，且，故余項因此第三十三張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例14 判別下列級數的斂散性：解(1)且所以收斂.(2)原級數收斂.第三十四張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月2 絕對收斂與條件收斂 定義: 對任意項級數若若原級數收斂, 但取絕對值以后的級數發散, 則稱原級收斂 ,數為條件收斂 .為絕對收斂.例如 ：絕對收斂 ；則稱原級數條件收斂 .第三十五張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月證: 設根據比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂 ,令定理6 絕對收斂的級數一定收斂 .第三十六張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月說明：發散，若用正項級數的比值或根值審斂法判定是發散的.則可以斷定第三十七張，PPT共四十一頁，創作于2022年6月例15 判別下列級數斂散性，如果收斂指出是條件收斂，還是絕對收斂。解