1、高等數(shù)學(xué)（下）分階精講精練講主講：張高等數(shù)學(xué)（下）分階精講精練講主講：張育（對(duì)目錄第十一章 第一型曲面積第十二章 第二型曲線積第十三章 第二型曲面積【注老師沒有完全按照講義的順序講課而是打亂了順序重新整合授課體系第五多元函數(shù)微分基本概 【注老師沒有完全按照講義的順序講課而是打亂了順序重新整合授課體系第五多元函數(shù)微分基本概 zxyz f (xz f (Pz z f (xy),(xyD稱為該函數(shù)的值域類似地，可以定義三元函數(shù)u f (x, yz以及三元以上函數(shù)2、二元函數(shù)的極定義 f(xy)DP0(x0y0)DD的邊界上，A 對(duì)于任給的正數(shù) P(xyD(x x )2 y ，恒有|f(xy)A| 成

2、立 Af(xy)當(dāng)000y)(x0y0)時(shí)的極限 lim f(xy A，此極限稱為二重極限 y（1）P(xy) P(x0y0在(x ,y )點(diǎn)的極限值不存在，即fp 不存在，這是由“極限若存在，必唯一”決定的0在（2）能夠區(qū)分lim lim fxylim lim f(xy與lim fxy. y0(x2 y2)(x,y) (0,(x,y) (0,f (xy) x2 ，求lim f (xy x2 y2 x2 y2 】已知f (x,y) x 22，求lim f (xy 13lim lim f (x, ylim lim f (x, ylim f (xxx0 yyy0 x y如fx,y xsin 1 y

3、1yx3.lim f3lim lim f (x, ylim lim f (x, ylim f (xxx0 yyy0 x y如fx,y xsin 1 y1yx3.lim f(xy f(x0y0f(x y)在點(diǎn)(x0 y0)處連續(xù)f(xy)D y f(x y)在某一點(diǎn)(x0 y0)4.（1）定義 zf(xy)在點(diǎn)(x0y0)的某鄰域內(nèi)有定義 f(x0 x,y0) f(x0,存在 zf(xy)在點(diǎn)(x0y0)x的偏導(dǎo)數(shù) f (x y z000yf(x0 x,y0) f (x0,y0) f(x,y0) f(x0,y00f(x0,y0 y) f (x0,y0) lim f (x0,y) f(x0,y0f

4、 (x ,y ) y y0f (x,f (x,00，若f(x,y ) f(x ,y )，則） 2 2f(xye x y f(00f(00 xy（2）高階偏導(dǎo)數(shù) zf(x y)D fx (xyfy (xy數(shù) zf(x y)的二階偏導(dǎo)數(shù) 按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有如下四2z )2f(x,y) fxy(x,y (x2z 2 fyx(x,y)y (yfyy (x, y) x(y2 5.（1）定義 zf(xy)在點(diǎn)(x 5.（1）定義 zf(xy)在點(diǎn)(xy)zf(xxyy)f(xy) n z AxBy( (x)2 (y)2 )A、Bx、y x、y 有關(guān) zf(x y)在點(diǎn)(x y)可微 AxByzf(

5、xy)在點(diǎn)(xy)的全微分 dz （2）可微的必要條件 zf (x y)在點(diǎn)(x y)處可微，則該函數(shù)在點(diǎn)(xy)A z B z x、y，有x dxy dy ，則dz z dx z （3）可微的充分條件 zf(xy)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)x y 在點(diǎn)(xy)處連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)(x y)處可微.z f (x, y在點(diǎn)(x, y（1）寫出全增量zf(x0 xy0 y f(x0y0（2）AxByA fx (x0y0B fy (x0y0(x)2 0z f (xy在(x0y0點(diǎn)可微，否則，就不可微f(xy2x y2 0z f (x, y滿足xy x2 (y6.z f (x, y其在某特殊點(diǎn)(x0y0)（比如二元

6、分段函數(shù)的分段點(diǎn)）（1）fx (x0y0)fy (x0y0（2）fx (xyfy (x(xylim fy (xy)，看x (x0y0 yyy3lim fy (xy fy (x0y0z f (x, y在點(diǎn)(x0, y0 y5.2 計(jì)lim fy (xy fy (x0y0z f (x, y在點(diǎn)(x0, y0 y5.2 計(jì) z u z z z u zz fu,v，ux,y，vx,；u v u v z fu,v，u x，v x， z du zdv u v w fu,v，u x,y,z，vx,y,z，w wu wu v w fu，u x,y,z，w dwu ，w dwdu du z fx,u,v，u x

7、,y，vx,y，z f 1 f f xuvzz 已經(jīng)求了幾階導(dǎo)，求導(dǎo)后的新函數(shù)仍然具有與原函數(shù)完全21z f(e cosyx y f xy x 2z f(x y, f(xy，求.u x22222 xy 0簡(jiǎn)化為uv 0，求a可把方程6v x44y f (x,z) z F(xyz) 0 xyf F 4y f (x,z) z F(xyz) 0 xyf F 0dy .z z 5zarctan x y，求dzx 6z f (xy二階可偏導(dǎo)且 2f (x0) 1f (x0) xf (x, yy應(yīng)用極值與最值（多元1、極值與最值的概極值 z f (x, y) 在點(diǎn)(x0, y0(x0, y0的點(diǎn)(x, y

8、f(xy f(x0y0) (f(xy f(x0y0z f (xy在點(diǎn)(x0y0處取得極大值(或極小值) f(x0y0，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)最值 z f (xyDD上任何異于(x0y0的點(diǎn)(x, y，都有f(xy f(x0y0) (f(xy f(x0y0z f (xy在點(diǎn)(x0y0處取得最大值(或最小值) f(x0y0，最大值、最小值統(tǒng)稱為最值 使函數(shù)取得最值的點(diǎn)稱為最值點(diǎn)2、多元函數(shù)極值與最值問) 一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則 (x ,y )0, f (x ,)0z f(xy在點(diǎn)(x 取極fx (x0y00, fy (x0y00zxy在點(diǎn)(00并無(wú)極值，但它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)

9、z yz 在點(diǎn)(00處卻都等于零. 如果把滿足兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都等于零的點(diǎn)叫做駐點(diǎn)，則5如，函數(shù)z x2 y2 在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，但該函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處卻取得了極A0如，函數(shù)z x2 y2 在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，但該函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處卻取得了極A00A0(x ,y ) 記f (x y B ，則 B AC 02(x ,y ) 0. 問題f (xykx2 2kxy y2在點(diǎn)(00處取得極小值，求k 的取值范圍(x, y,z) 求目標(biāo)函數(shù)u f (x, yz(x,y,z) F(x,y,z,u) f (x,y,z)(x,y,z)u(x,y,ux f u yyFz fz zuzF

10、(x,y,z) 解上述方程組得(x0y0z0z x2 2】求u x2 y2 z2在約束條件x yz 3】求u xy 2yz x2 y2 z2 10下的最大值與最小值6第六二重積1f (xyDnf(x,y)d limf(i,iD0 第六二重積1f (xyDnf(x,y)d limf(i,iD0 ，為所有i注（2）f (xyD為底的曲頂柱體的體積f (x, VD（3（f (x, y為面密度的D的質(zhì)量f (x,MD（4）要了解二重積分的存在性，也稱為二元函數(shù)的可積性. D 由一f(xy)D上連續(xù)時(shí) f (x y)D 上有界 且DD上可積也就是二重積分存2積 d AD D可積函數(shù)必有界 f(xy)D

11、上可積時(shí)f(xy)D 積分的線性性質(zhì) k1、k2為常數(shù) k1 f (x,y)k2g(x,y)d k1f (x,y)d k2 g(x,DDD積分的可加性 當(dāng)f(xy)在有界閉區(qū)域D 上可積時(shí)D2 D,D2 ，Dy d y d ( ,積分的保號(hào)性 當(dāng)f(xy)g(xy)D上可積時(shí)若在D上f(xy)g(xy) 有Df(x y D(x y ,y)d|( ,DD6估值定理 M、m f(x y)D 上的最大值和最小值 D 7積 mAf(x,y)d D7 f(x y)D 上連續(xù) D 的面積 D 一點(diǎn)( )使積 mAf(x,y)d D7 f(x y)D 上連續(xù) D 的面積 D 一點(diǎn)( )使Df(x,y)d f

12、 (,)3、普通對(duì)稱性與輪換對(duì)稱Dy f (x,f (x,y) f (x,Df(x,y)dxdy f(x,y) f(x,Dy x3y 1x 1I (xycosxsin y)d （ D（B）2（C）2cosxsin （D）2(xycosxsin 其中D1D 在第一象限的部分xyD 不變（D yx對(duì)稱f(x,y)d f (y,DD【例D (x, 1，常數(shù)0I (ex ey)d x yDf (x) f (y)D(xy) x2y2 1x0yf (x) f(DI sin(x3 y3d D(xDx y計(jì)1、直角坐標(biāo)系下的計(jì)Df(x,f(x,DX區(qū)域 12(d（2）f(x,y)dc f(xy)dx DY 型

13、區(qū)域1(y)x2(y) 1D82、極坐標(biāo)系下的計(jì)算fx,f rcos,rsinD d（OD 外部1r 12、極坐標(biāo)系下的計(jì)算fx,f rcos,rsinD d（OD 外部1r 1fx, f rcos,rsinDd（）（OD 邊界上2fx, f rcos,rsind（O ）30D3、極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系選擇的一般原yx（1）f(x y f( ) f( ) xy. . 這只是一般原則，4、極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互相轉(zhuǎn)x r yr二重積分的交換積分次10f (x, 22Dy sinx xx0 x 2 f 后積y先積x的表達(dá)式f(x,y)d D形心公式的(xyDxyx(x,y(x,x ,y D(x,(

14、x,DD的范疇內(nèi)，重心就是質(zhì)心；第二，當(dāng)密度(x,y)為常數(shù)時(shí)，重心就形心. 以后的三重積分和線面積分（僅為數(shù)學(xué)一9I(xy)d D(xy) x2y2 xy1D綜合應(yīng) 1】求dxx2】II(xy)d D(xy) x2y2 xy1D綜合應(yīng) 1】求dxx2】Ir cos2drd，其中D(r,) 0 ,0r 212.4D2dx02（）當(dāng)x 1 時(shí)，求x dt 等價(jià)的無(wú)窮大量t0第七無(wú)窮級(jí)引1級(jí)數(shù)的定義 u1u2u3un u1u2u3un為(常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù) 簡(jiǎn)稱(常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù) un 即un u1u2u3un n2、級(jí)數(shù)的部分和 Sn ui u1 u2 u3 un 為級(jí)數(shù)un 的部分和3、級(jí)數(shù)的斂散性

15、若limSn S（存在） 則稱級(jí)數(shù)un 收斂 S叫做該級(jí)數(shù)的和并S un 若limSn 不存在 則稱級(jí)數(shù)un 發(fā)散kun 也收斂 即un S kun kS k un 收斂2 若un S vn T 則(un vn S T 性質(zhì)性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所成的新級(jí)數(shù)仍然收斂 且其和不變【注】推論 如果加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)發(fā)散 則去掉括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)也發(fā)散性質(zhì)如果un 收斂 則limun 0【注】逆否命題：若imun ,則un 一定發(fā)散n u (u 0)正項(xiàng)級(jí)n性質(zhì)如果un 收斂 則limun 0【注】逆否命題：若imun ,則un 一定發(fā)散n u (u 0)正項(xiàng)級(jí)n 常）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(un 0)交錯(cuò)級(jí)

16、級(jí)數(shù) u un符)任意項(xiàng)級(jí)n函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)n傅里葉級(jí)數(shù)(僅數(shù)學(xué)一一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)(unun 0如無(wú)特殊說(shuō)明，下面的一般項(xiàng)un均是非負(fù)的1、收斂原則 正項(xiàng)級(jí)數(shù)un 收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列Snun Sn有上【例】設(shè)an 0 (n 1,2,) ，Sn a1 a2 an，則數(shù)列Sn有界是數(shù)列an收斂v 收斂u 收nn2、比較判別法 設(shè)u 和，則都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 且0u nn un發(fā)散 vn發(fā)設(shè)un 和vn 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 若vn收斂，則unu 是高階無(wú)窮小 n若un發(fā)散，則vn若un收斂，則vn00 =vn是高階無(wú)窮小 nn若vn收斂，則unu 是高階無(wú)窮小 n若un發(fā)散，則vn若un收斂，則vn

17、00 =vn是高階無(wú)窮小 nn 若v 發(fā)散，則u nn A0u 與v 是同階無(wú)窮小u 與 v同斂設(shè)un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)發(fā) 該法失效，另謀他法（一般轉(zhuǎn)而用比較判別法 1(或?yàn)閘im 設(shè)un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù) limn un 1(或?yàn)?2n1】判別11.nn1nx10二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)n1u u 0nn萊布尼茨判別法 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)n1un limun 0un (n=1,2,3,（1（2. （11n 比如，請(qǐng)判別級(jí)數(shù)ln（2n用萊布尼茨判別法，本題可考慮泰勒公式. 1n 11 nn 1（1（2. （11n 比如，請(qǐng)判別級(jí)數(shù)ln（2n用萊布尼茨判別法，本題可考慮泰勒公式. 1n 11 nn 1

18、112 由于limnnn1 nn【例】判別n n、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)(un un符定義（1）設(shè)un 為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若un 收斂,就稱un 絕對(duì)收斂（2）設(shè)un 為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若un 收斂,但發(fā)散,就稱un 條件收斂定理 若任意項(xiàng)級(jí)數(shù)un 絕對(duì)收斂,則un 【注】對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，一般都是先把一般項(xiàng)un 加上絕對(duì)值，變成正項(xiàng)級(jí)數(shù)后再問題，即un . 于是，判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的種種方法均可能派上用場(chǎng)a 0)（ a 收斂，2(n 2（D）斂散性與 設(shè)函數(shù)序列un(x)定義在區(qū)稱u1xu2 xu3xun xI 上I 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) x x0 為定義在區(qū)間成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nn.n 冪級(jí)數(shù) 若的一般項(xiàng)un (x是冪函數(shù)，

19、則稱為冪級(jí)數(shù) nn； xn a a xa x2 a xn ；其中a 為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)I 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) x x0 為定義在區(qū)間成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nn.n 冪級(jí)數(shù) 若的一般項(xiàng)un (x是冪函數(shù)，則稱為冪級(jí)數(shù) nn； xn a a xa x2 a xn ；其中a 為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)nn收斂 x0n nx0 I，有發(fā)散 x0為級(jí)數(shù)n n收斂域 n 冪級(jí)n代入級(jí)數(shù)xn ，判別此數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收0n 二 0處收斂時(shí)阿貝爾定理 當(dāng)冪級(jí)xn xx11xn 0處收斂時(shí)xxxn22(x【例】求n1f (xf(x在 0(nf 2n0000 )n，其中“ ”叫做“可f(xx 處的泰勒級(jí)數(shù)000f 0(x【例】求n1f (xf(

20、x在 0(nf 2n0000 )n，其中“ ”叫做“可f(xx 處的泰勒級(jí)數(shù)000f 0f x的麥x 0n 0f nxnf2f (xf (x )n )n00f (x在區(qū)間(x0 Rx0 R內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)則 xRx,f00)n1 limR n0其中 介于x x0之間3f (xx0 nfn x 0，并逐個(gè)計(jì)算0方法直接法：驗(yàn)證lim，nn(nf .2n000方法1展開成(x3)的冪級(jí)數(shù)，并求f (n)(3).(n 1,12f (x展開成(x3的冪級(jí)數(shù)(x nn1 方法1展開成(x3)的冪級(jí)數(shù)，并求f (n)(3).(n 1,12f (x展開成(x3的冪級(jí)數(shù)(x nn1 應(yīng)為 x4 n(xR)收斂

21、 S(x)在(RR(或RR)上連續(xù)n S(x)I 上可積n x dxn nx(xInn 的和函數(shù)S(x)在其收斂區(qū)間(RR)內(nèi)可導(dǎo) 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公nS(x) (a nnx x nnnn（1）ex x,11n（4）ln(1xn x n x （6）!1 n1xn （7）2 （1）（7斂區(qū)間的端點(diǎn)是否收斂與 的取值有關(guān)，可以證明(這里不證)： x n x （6）!1 n1xn （7）2 （1）（7斂區(qū)間的端點(diǎn)是否收斂與 的取值有關(guān)，可以證明(這里不證)：當(dāng) 1時(shí),時(shí),收斂域?yàn)?,1；當(dāng) 0時(shí), ,1 ,1 n1 1,kZ (nnxn n2(4)nxn1 nn(n 10 0 1t dt ln(1(1

22、 xn1S(xnxn x【注】求lim12 )2 3( 1113 n( ) n2222n2S(x) x，設(shè)是以2l 為周期的可積函數(shù)，如果在l,l上則S(xa S(x)a bn 2n1ll fx f (x0) f (xS(x) x為第一類間斷2f(l0) f(l設(shè)是以2l 為周期的可積函數(shù)，如果在l,l上則S(xa S(x)a bn 2n1ll fx f (x0) f (xS(x) x為第一類間斷2f(l0) f(lx為端2x的周期為2的傅里葉級(jí)數(shù)為S(x)，則在x x 12 ，.2二、周期為2l設(shè)周期為2l的周期函afS(x) a bn 2n1ll其中系數(shù)an 和bn ll(n , (nll

23、1ln ()l1、將普通周期函數(shù)在l,l llf01llaf (x)nlf (x)sin nll)nl2、將奇偶周期函數(shù)在l,l a0 a 當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，展開系數(shù)為nf(x)sinn l)nll0 lf0l0f(x)cosn為偶函數(shù)時(shí)，展開系數(shù)為a l)nllb 0n3、將非對(duì)稱區(qū)間0,l上的函數(shù)a0 a 當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，展開系數(shù)為nf(x)sinn l)nll0 lf0l0f(x)cosn為偶函數(shù)時(shí)，展開系數(shù)為a l)nllb 0n3、將非對(duì)稱區(qū)間0,l上的函數(shù)得到若要求展開成正弦級(jí)l,l上的奇函數(shù)f 0,l上的f (x) 需作奇延若要求展開成余弦級(jí)l,l上的偶函數(shù)f 需作偶延a0 a 當(dāng)為奇

24、函數(shù)時(shí)，展開系數(shù)為nf(x)sinn l)nll0 lf0l0f(x)cosn當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，展開系數(shù)為a l)nllb 0n展開成余弦級(jí)數(shù)，并求f.第八多元函數(shù)積分學(xué)的預(yù)（1）向量的相等 性a (ax,ay,az )axiay jaz 對(duì)于a axayaz b(bx,by,bz ), c (cx,cy,cz a (ax,ay,az )axiay jaz 對(duì)于a axayaz b(bx,by,bz ), c (cx,cy,cz （內(nèi)積，點(diǎn)積）()a b (ax,ay,az ) (bx,by,bz ) axbx ayby azbz axbx ayby a b b cos cos 為aaa 2 a

25、2 a 2 b 2 b 2 b a axbx ayby azbz（）Prj a稱為a在bbb 2 b 2 b a bb cos 0a2（外積，叉積）()abbsin，用右手螺旋定則確定方向（aiajk 0b sin a0aaazbz ()a,b,cabc； 0三向量共面（）（1）平面方程（以下假設(shè)平面的法線向量n A,BCax ay Ax BCA( ( 0 z) x xx a 12z0 Ax BCA( ( 0 z) x xx a 12z0 y zc1 （平面過(a, 0), (0, b, 0), (0, 0, c三點(diǎn)b2 1 A2xB2yC2zD2 0，如果所求平面通過已知直線（一般式A2x

26、B2 yC2z D2 0是否滿足所求結(jié)論，以免遺漏。（2）直線方程（以下假設(shè)直線的方向向量 l,mn 1 2 ，其中n1 , 2A, A2 【注】其幾何背景很直觀，是兩個(gè)平面的交線；且該直線的方向向量n1n2 x y lmnx lt y y mtM( x , y , z) t0z z nt 0 x y 1z （P(xyz i 12x 21（1）P x 到平面A d BC,0A2B2 Cx1 y zP x y ，方向向量 lmn 11 lmnd l2m2 （3）直線到直線的距離表d l2m2 （3）直線到直線的距離表兩平行直線的距離d l2m2兩異面直線的距離（Px,y ,z d 1 P2x2,

27、y2z2分別L1L2上的兩點(diǎn)【簡(jiǎn)單推導(dǎo)】以1,2P1P2 為棱畫平行六面體121【注1 2 0d 0，則兩直線共面（4）d A2B2 C l1 m1 L 2x2 y2 z2 12 11 L1L2間的夾角 arc，其中 min 1,2, 1,2 1 L1L2間的夾角 arc，其中 min 1,2, 1,2 1 2 2n 間的夾角 arccos 2其中 minn1,n2 , n1,n2 平面2A B LnL n Al ，其中 ,n 0, 2L與平面間的夾角 arcs i 2nF(x, y,z) ）一般式（1.G(x, y,z) x t:yt,tz t以求曲線xOyF(x, y,z) ）將z 消去，

28、得到(x, y) 0（1G(x, y,z) (x,y) ）則曲線xOy（2.z 曲線對(duì)其他平面的投影曲線可類似求得2z y x y yz 曲面方程 F(x, yz) y2 y2 b 2c1 曲面方程 F(x, yz) y2 y2 b 2c1 2x2 z（了解即可，不用掌握其圖形（a b時(shí)為圓柱面x2 y（3）旋轉(zhuǎn)曲面（重點(diǎn)） 曲線Cxf x y2 z20f x,y 曲線Cx x2 z2y0f x,y yf 曲線Cx 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)一、空間曲線的切線與法平x （1）設(shè)空間曲線由參數(shù)方程y(tz (x y0, 0是上的點(diǎn)，且當(dāng)t t0 時(shí)，(t0，(t0(t00這里的 t 增加的方曲線(t

29、 ),(t (x ,y 0000 x （1）設(shè)空間曲線由參數(shù)方程y(tz (x y0, 0是上的點(diǎn)，且當(dāng)t t0 時(shí)，(t0，(t0(t00這里的 t 增加的方曲線(t ),(t (x ,y 0000 xx0 y zz0 曲線在點(diǎn) (x y 0(t (t (t 000曲線(x ,y00處的法(x y0, 0點(diǎn)且與切線垂直的平面）(t0)(xx0 t0)( 0)(zz0 0F(x, y,z) （2）設(shè)空間曲線由交面式方程組G(x, y,z) 曲線0處的切向量為 (x ,y0GGGGGP 0 yzxyzx P0 xy z曲線在點(diǎn) (x y ，0yGx 0PP00曲線(x ,y0(x y0, 0點(diǎn)且

30、與切線垂直的平面）Gx(zz0)00Gx 0（1）設(shè)空間曲面由方( ,y,z 0是 上的點(diǎn)，(x ,y0曲面(x y0, 0處的法向量（垂直于該點(diǎn)切平面的向量）n Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0 x y 00Fx( 0 x , 0 , 0z F (0 x ,0y ,0 z F 0( x ,0 y 0, z y曲面(x y0, 0Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(y y0)Fz(x0,y0,z0)(zz0) （2）設(shè)空間曲面由方程z F( , , z yz(x y0, 0處的法向量（垂直于該點(diǎn)切平面的向量）n fx(x0,y0

31、), fy(x0,y0),xy z0(x y0, 0處的法向量（垂直于該點(diǎn)切平面的向量）n fx(x0,y0), fy(x0,y0),xy z0f (x ) x (y 曲面(x y0, 0fx(x0,y0)(xx0) fy(x0,y0)(y y0)(zz0) PSx2y2z2 yz1S P xoy P1定義 設(shè)函數(shù)u u(x, yP(x y 的某空間鄰域U R2lP P(x, y為l上且在U 0tyy y tcos以t (x)2 (y)2 表示P與P 之間的距離，若極0limu(P)u(P0) limu(x0 tcos,y0 tcos)u(x0,y0tttt存在，則稱此極限為函數(shù)u u(x,

32、yP 沿方向l的方向?qū)?shù).0定理（方向?qū)?shù)的計(jì)算公式） 設(shè)函數(shù)u u(xyP0(x0y0可微，則u u(xyP0 處沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在，u(P )cos u(P )cos其中coscos 為方向lf (xy) x y f (0,0)，f (0,0)xy2定義 設(shè)三元函數(shù)u u(xyP0(x0y0ux(P ),u(P為函數(shù)u u(x, yP0處的梯度3u(Pcos u(P cos 為函數(shù)u u(x, yP0處的梯度3u(Pcos u(P cos ux(P ),u(P )到u(P),u(P)cos,coslocos lo與lo 的夾角，當(dāng)cos 1其中為div A Px,y,ziQx,

33、y,zjRx,y,zkdivA P QA旋度 ijk第九三重積1概念 f (xyz定義在三維有界空間區(qū)域nf(x,y,z)dvlimf(i,i,i)vi 0 注 （1）將所理解，就是以f (x, y,z)為點(diǎn)密度的空間物體的質(zhì)量Mf (x, y,（3）要了解三重積分的存在性. 設(shè)空間有界閉區(qū)域f(xy所理解，就是以f (x, y,z)為點(diǎn)密度的空間物體的質(zhì)量Mf (x, y,（3）要了解三重積分的存在性. 設(shè)空間有界閉區(qū)域f(xy在f(xyz在上有界 且在限塊光滑曲面外都是連續(xù)的，則它在上可積也就是三重積分存在總假設(shè) f (x, y, z) 在 上連續(xù)，也就是三重積分總是存在的.2、三重積分的

34、性質(zhì)（以下總假設(shè)為空間有界閉區(qū)域在求空間區(qū)域的體積 1dv V 其中為可積函數(shù)必有界 f (xyz在上可積時(shí)則其在積分的線性性質(zhì) k1、k2為常數(shù) k1 f (x,y,z)k2g(x,y,z)dv k1f (x,y,z)dvk2g(x,y,積分的可加性 當(dāng)f (x, y,z)在上可積時(shí) ( z dv ( , ,z)dv ( ,y z 積分的保號(hào)性 f (x, yz、g(x, yz在上可積且在f (x, yz g(x, yzf (x,y,z)dv g(x,y,|f (x,y,z)dv| f (x,y,z) 設(shè)Mm 分別是f (x,y,z)在上的最大值和最小值為VmV f(x,y,z)dv7 三重

35、積分的中值定理 f (xyz在上連續(xù)V 為一點(diǎn)(, ) ，使f (x,y,z)dv f (,3、三重積分f (x,y,z)dv f (,3、三重積分的普通對(duì)稱性與輪換對(duì)稱假設(shè)yozf (x,y,f (x,y,z) f (x,y,f (x,y,z)dv f (x,y,z) f (x,y,其中1是yoz面前面的部分xyf(x,y,z)dv f(y,x,如，設(shè)(x, y2，則f(x)dvfy)dvf(z)dv三重積分的（投影法 z 積分，則要將xoyDxy Dxy 內(nèi)任意一點(diǎn)xyz軸的直線，使之穿過，先碰到zz1(xy，后離開記為zz2xyz (x,f(x,y.z)dv2f(x,z1(x,D（截面法

36、 xyzzefze, fzh的平面（xoy平面）去截Dz df (x, y,z)dv dz f (x,y,df (x, y,z)dv dz f (x,y,c（1） （2） 去截 Dz是圓域或其部分（比如旋轉(zhuǎn)體）.（2）都學(xué)過且熟悉的知識(shí). 聯(lián)系x ry rz 于是，柱面坐標(biāo)系中的體積元素 dv rdrddzf(x,y,z)dxdydz f(rcos,rsin,z)rdrddz （3）球面坐標(biāo)系采用r,Mxyz，點(diǎn)M xoyM，則，（1） x軸到射線OM為向量OM z x rsin于是，聯(lián)系直角坐標(biāo)系與球面坐標(biāo)系的橋梁為： yrsinsin z r 當(dāng)r 常數(shù)時(shí)，表示以原點(diǎn)為球心，半徑為r =z

37、 當(dāng) z軸為中心，半頂角為的錐面用這樣的三組面去劃分積分區(qū)域，就得到dv，在極限狀態(tài)下，它可以看作邊長(zhǎng)分別drrdr sind 的小長(zhǎng)方體，則dv r2 sindrdd ，f (x,y,z)dvf (rsincos,rsinsin,rcos)r2f (x2 y2 球或球的部f (x y 1 f (x2 y2 球或球的部f (x y 1 后離開，記2 2) 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以z軸為對(duì)稱軸的圓錐面半頂角（0后離開，記 先碰到，記后離開，記則f(xyz)dvf(rsincosrsinsinrcos)r2sin）f (rsincos,rsinsin,rcos)r sin2222 1 z x2 【例1】計(jì)算

38、I zdv，其中是由 z z 2Izdv，其中(xyz) zx2 y2 3z,0 z sinzdz111【例】計(jì)算I zx 00（2）形心公式的逆用（由x xdv xV ，其中V 為的體積.）I (2x yz)dv(xyz) (x1)2 y2)2 z2 a2aIy2dv(xyz) x2y2z2 a2a0第十第一型曲線積第一型曲線積分的概念、性質(zhì)與對(duì)1、第一型曲線積分的f (x, yLf (x, yL概念 nf(x,y)ds=limf(i,if (x, yLf (x, yL概念 nf(x,y)ds=limf(i,i0 ， maxli，強(qiáng)調(diào)該極限與對(duì)曲線L 的分割方式無(wú)關(guān)（2）f (xy為線密度的

39、空間物質(zhì)曲線的質(zhì)量M L f (x了 或f (xyL上有界 LL積分存在 在的f (x, yLL ds 其中l(wèi)L L可積函數(shù)必有界 f (xyL上可積時(shí)L積分的線性性質(zhì) k1、k2為常數(shù) Lk1 f(x,y)k2g(x,y)dsk1L f(x,y)dsk2L g(x,當(dāng)f (x, y)在L上可積時(shí)L2 L,L2 ，f(x,y)ds f (x,y)dsf(x,L LL1 12積分的保號(hào)性 f (xyg(x, yLLf (xy g(x, yf(x,y)dsL g(x,L f(xf (x, y)M、m f (xyL上的最大值和最小值 lL LmlL L f(x,y)ds7中值定理 f (xyL上連續(xù)

40、 lL LL上至少存在一點(diǎn)(,6得f (x,y)ds f (Lx f (x, f (x,y) f (x,f (x,y)ds L1Lf(x,y) f(x,其中L1L的右半平面Lx f (x, f (x,y) f (x,f (x,y)ds L1Lf(x,y) f(x,其中L1L的右半平面關(guān)于y軸對(duì)稱的情況與此類似xyLf(x,y)ds L f(y,x ）給出，則dsx(t) y(t) dt 22L（ty x(t)2 y(t)2f (x, y)ds f (x(t), 且LL由y y(xa xb給出，則ds1 y(x)2dx x bf (x, y)ds f (x, y(x) 1y(x)2且La 給出，

41、則dsr()2 r()2d LLrrbr()2 r()2)cos,)sinf (x, y)ds f且La2（2）形心公式的逆用（由xxds xlL ，其中l(wèi) 為L(zhǎng)的長(zhǎng)度.）LLL3【例】計(jì)算I (xx2 y2 x2 3y2 5y)ds，其中Ly1) 12La第十一第一型曲面積f (x, yz定義在空間有界光滑曲面f (x, yz沿曲面概念 nf(x,y,z)dS 第十一第一型曲面積f (x, yz定義在空間有界光滑曲面f (x, yz沿曲面概念 nf(x,y,z)dS limf(i,i,i0 ，為所有Si 的直徑的最大值，強(qiáng)調(diào)該極限與對(duì)曲面注 （1）將 f (x,y,了解兩個(gè)可積條件即可：設(shè)空

42、間曲面f (x, yz在續(xù) 或者當(dāng) f (x, y, z) 在 上有界 且在 上除了有限個(gè)點(diǎn)和有限條光滑曲線外都是連續(xù)的，則它在 上的第一型曲面積分存在 在數(shù)學(xué)中，一般總假設(shè)f(x,y,z)在上連續(xù)，2、第一型曲面積分的性質(zhì)（以下總假設(shè)為空間有限分片光滑曲面求空間曲面的 積 dS S S 為可積函數(shù)必有界 f (xyz在上可積時(shí)則其在積分的線性性質(zhì) k1、k2為常數(shù) k1 f (x,y,z)k2g(x,y,z)dS k1 f (x,y,z)dS k2 g(x,y,當(dāng)f (x, y,z)在上可積時(shí)2 2 ，f (x,y,z)dS f (x,y,z)dS f (x,y,積分的保號(hào)性 f (x, y

43、zg(x, yz在上可積且在f (x, yz) g(x, yzf (x, y,z)dS g(x, y,f (x, y,f (x, y,z) 6 M、m f(xyz在上的最大值和最小值 S 為有mS f(x,y,6 M、m f(xyz在上的最大值和最小值 S 為有mS f(x,y,z)dS 7 中值定理 f (xyz在上連續(xù) S 為的面積，則在(, 使f (x,y,z)dS f (,3、普通對(duì)稱性與輪換對(duì)稱假設(shè)yozf (x,y,f (x,y,z) f (x,y,f (x,y,z)dS f(x,y,z) f(x,y,其中1是yoz面前面的部分xyf(x,y,z)dS f (y,x,第一型曲面積分

44、的計(jì)1、基礎(chǔ)性計(jì)算方法化為二重積1)將投影到某一平面（比如xoy面）上投影區(qū)域比如D 2)將z z(x, y)或者F(x, yz) 0代入f (x, y3)計(jì)算z，z dS 1z)2 z)2xyf (x, y,z)dS f (x，y,z(x,y) 1z2 z2 xoyz z(x, y必須是單值函數(shù)！忘記了這一點(diǎn)，就可能算錯(cuò)結(jié)果如果將 （2）要么將分成若干曲面122（2）形心公式的逆用（由x （2）要么將分成若干曲面122（2）形心公式的逆用（由x xdS xS ，其中S 為的面積.）2【例】設(shè)為橢球面x z2 1的上半部分，點(diǎn)P(x,y,z)， 為在點(diǎn)P處的平面.(x, y,z)是點(diǎn)O(0,0

45、,0)到平面 的距離，求I dS(x, y,第十二第二型曲線積1（1）從數(shù)學(xué)上說(shuō)，場(chǎng)就是空間區(qū)域上的一種對(duì)應(yīng)法則如果P(x, yz都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)量u ，則在u u(x,y,如果P(x, yz都對(duì)應(yīng)著一個(gè)向量F，則在F(x, y,z) P(x, y,z) 問題可以這樣來(lái)描述：在一個(gè)向量場(chǎng)變力場(chǎng)中，設(shè)某質(zhì)點(diǎn)在變力F(x, y, z作用下，沿著有向曲線 A B，問總共做了多少功？分析如下.(x, y,設(shè)沿著有向曲線P(x, yz) d jdz 情形下將變力F(x, y, zdW F(x, yz) dr 于是變力F(x, yz沿著有向曲線A B F(x,y,z) dr P(x,y,(x,y,z)dx,dy,W P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,第二型曲線積分的被積函數(shù)F( P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,第二型曲線積分的被積函數(shù)F(x, P(x, y)i