1、第七章 一階電路(First Order Circuit)2. 一階電路的零輸入響應、零狀態響應和 全響應求解； 重點 4. 一階電路的階躍響應和沖激響應。3. 穩態分量、暫態分量求解；1.動態電路方程的建立及初始條件的確定；含有動態元件(電容和電感)的電路稱動態電路。特點：1. 動態電路 7.1 動態電路的方程及其初始條件當動態電路狀態發生改變時（換路）需要經歷一個變化過程才能達到新的穩定狀態。這個變化過程稱為電路的過渡過程。例+-usR1R2（t=0）i電阻電路0ti過渡期為零K未動作前，電路處于穩定狀態i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= UsK+uCUsRCi (t =

2、0)K接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達到新的穩定狀態+uCUsRCi (t )過渡狀態新的穩定狀態t1USuct0?i有一過渡期電容電路前一個穩定狀態K未動作前，電路處于穩定狀態i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= UsK動作后很長時間，電容放電完畢，電路達到新的穩定狀態前一個穩定狀態過渡狀態第二個穩定狀態t1USuct0i有一過渡期第三個穩定狀態+uCUsRCi (t 0)2. 動態電路的方程+uLUs(t)RLi (t 0)有源電阻電路一個動態元件一階電路應用KVL和電感的VCR得：若以電感電壓為變量：+uLuS(t)RLi (t 0)CuC二階電路若以電流為變量：一

3、階電路一階電路中只有一個動態元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。（1）描述動態電路的電路方程為微分方程；結論：（2）動態電路方程的階數等于電路中動態元件的個數；二階電路二階電路中有二個動態元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。高階電路電路中有多個動態元件，描述電路的方程是高階微分方程。 動態電路的分析方法（1）根據KVl、KCL和VCR建立微分方程復頻域分析法時域分析法 （2）求解微分方程經典法狀態變量法數值法卷積積分拉普拉斯變換法狀態變量法付氏變換本章采用 工程中高階微分方程應用計算機輔助分析求解。 (1) t = 0與t = 0的概念認為換路在 t=0時刻進行0 換路前一瞬間 0 換

4、路后一瞬間3. 電路的初始條件初始條件為 t = 0時u ，i 及其各階導數的值000tf(t) 圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求開關閉合后電容電壓隨時間的變化。例R +CiuC(t=0)解特征根方程：得通解：代入初始條件得：說明在動態電路的分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。t = 0+時刻當i()為有限值時iucC+-q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0)換路瞬間，若電容電流保持為有限值， 則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。 (2) 電容的初始條件0q =C uC電荷守恒結論當u為有限值時L (0)= L (0)iL(0)= iL(0)iuL+-L

5、 (3) 電感的初始條件t = 0+時刻0磁鏈守恒換路瞬間，若電感電壓保持為有限值， 則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。結論L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0)（4）換路定律（1）電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。注意: 換路瞬間，若電感電壓保持為有限值， 則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。 換路瞬間，若電容電流保持為有限值， 則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。（2）換路定律反映了能量不能躍變。5.電路初始值的確定(2) 由換路定律 uC (0+) = uC (0)=8V+-10ViiC+8V-

6、10k0+等效電路(1) 由0電路求 uC(0)或iL(0)+-10V+uC-10k40kuC(0)=8V(3) 由0+等效電路求 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)例1求 iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k電容開路電容用電壓源替代iL(0+)= iL(0) =2A例 2t = 0時閉合開關k , 求 uL(0+)iL+uL-L10VK14+uL-10V140+電路2A先求由換路定律:電感用電流源替代10V14解電感短路求初始值的步驟:1. 由換路前電路（一般為穩定狀態）求uC(0)和iL(0)；2. 由換路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。3. 畫0+等效電路。

7、4. 由0+電路求所需各變量的0+值。 b. 電容用電壓源替代。a. 換路后的電路（取0+時刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。 電感用電流源替代。iL(0+) = iL(0) = ISuC(0+) = uC(0) = RISuL(0+)= - RIS求 iC(0+) , uL(0+)例3K(t=0)+uLiLC+uCLRISiC解0+電路uL+iCRISR IS+0電路RIS由0電路得：由0電路得：例4iL+uL-LK2+-48V32C求K閉合瞬間各支路電流和電感電壓解由0電路得：12A24V+-48V32+-iiC+-uL由0+電路得：iL2+-48V32+uC1A+200V

8、-100+100V100100+uLiC例5求K閉合瞬間流過它的電流值。解（1）確定0值（2）給出0等效電路iL+200V-LK100+uC100100C7.2 一階電路的零輸入響應換路后外加激勵為零，僅由動態元件初始儲能所產生的電壓和電流。1. RC電路的零輸入響應已知 uC (0)=U0特征根特征方程RCp+1=0則 uR= Ri零輸入響應iK(t=0)+uRC+uCR代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0A=U0tU0uC0I0ti0令 =RC , 稱為一階電路的時間常數 （1）電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數；從以上各式可以得出：連續函數躍變 （2）響應與初始狀態成線性

9、關系，其衰減快慢與RC有關；時間常數 的大小反映了電路過渡過程時間的長短 = R C 大 過渡過程時間長 小 過渡過程時間短電壓初值一定：R 大（ C一定） i=u/R 放電電流小放電時間長U0tuc0 小 大C 大（R一定） W=Cu2/2 儲能大物理含義工程上認為, 經過 35 , 過渡過程結束。：電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。 t2t1 t1時刻曲線的斜率等于U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 次切距的長度I0tuc0t1t2（3）能量關系 電容不斷

10、釋放能量被電阻吸收, 直到全部消耗完畢。設uC(0+)=U0電容放出能量： 電阻吸收（消耗）能量：uCR+C例 已知圖示電路中的電容原本充有24V電壓，求K閉合后，電容電壓和各支路電流隨時間變化的規律。解這是一個求一階RC零輸入響應問題，有：i3K3+uC265Fi2i1+uC45Fi1t 0等效電路分流得：326Req2. RL電路的零輸入響應特征方程 Lp+R=0特征根 代入初始值 i(0+)= I0A= i(0+)= I0iK(t=0)USL+uLRR1t 0iL+uLR-RI0uLttI0iL0從以上式子可以得出：連續函數躍變 （1）電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數； （2）

11、響應與初始狀態成線性關系，其衰減快慢與L/R有關；令 = L/R , 稱為一階RL電路時間常數L大 W=Li2/2 起始能量大R小 P=Ri2 放電過程消耗能量小放電慢大 大 過渡過程時間長 小 過渡過程時間短物理含義時間常數 的大小反映了電路過渡過程時間的長短 = L/R電流初值i(0)一定： 電感不斷釋放能量被電阻吸收, 直到全部消耗完畢。設iL(0+)=I0電感放出能量： 電阻吸收（消耗）能量：iL+uLRiL (0+) = iL(0) = 1 AuV (0+)= 10000V 造成V損壞。例1t=0時 , 打開開關K，求uv。現象 ：電壓表壞了電壓表量程：50V解iLLR10ViLK(

12、t=0)+uVL=4HR=10VRV10k10V例2t=0時 , 開關K由12，求電感電壓和電流及開關兩端電壓u12。解iLK(t=0)+24V6H3446+uL212t 0iL+uLR小結4. 一階電路的零輸入響應和初始值成正比，稱為零輸入線性。一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的 響應, 都是由初始值衰減為零的指數衰減函數。2. 衰減快慢取決于時間常數 RC電路 = RC , RL電路 = L/R R為與動態元件相連的一端口電路的等效電阻。3. 同一電路中所有響應具有相同的時間常數。iL(0+)= iL(0)uC (0+) = uC (0)RC電路RL電路動態元件初始能量為零，由t

13、 0電路中外加輸入激勵作用所產生的響應。列方程：iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=07.3 一階電路的零狀態響應 非齊次線性常微分方程解答形式為：1.RC電路的零狀態響應零狀態響應齊次方程通解非齊次方程特解與輸入激勵的變化規律有關，為電路的穩態解變化規律由電路參數和結構決定全解uC (0+)=A+US= 0 A= US由初始條件 uC (0+)=0 定積分常數 A的通解通解（自由分量，暫態分量）特解（強制分量，穩態分量）的特解-USuCuCUStuc0-USuCuCUSti0tuc0 （1）電壓、電流是隨時間按同一指數規律變化的函數； 電容電壓由兩部分構成：從以上式子可以得出：連

14、續函數躍變穩態分量（強制分量）暫態分量（自由分量）+ （2）響應變化的快慢，由時間常數RC決定；大，充電 慢，小充電就快。 （3）響應與外加激勵具有正比例關系；（4）能量關系電容儲存：電源提供能量：電阻消耗RC+-US電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉換成電場能量儲存在電容中。例 t=0時 , 開關K閉合，已知 uC（0）=0，求（1）電容電壓和電流，（2）uC80V時的充電時間t 。解50010F+-100VK+uCi(1) 這是一個RC電路零狀態響應問題，有：（2）設經過t1秒，uC80V2. RL電路的零狀態響應iLK(t=0)US+uRL+uLR已知iL(0)=0，電路方程為：tu

15、LUStiL00例1t=0時 ,開關K打開，閉合前電路無原始儲能， 求t0后iL、uL的變化規律 。解這是一個RL電路零狀態響應問題，先化簡電路，有：iLK+uL2HR8010A200300iL+uL2H10AReqt0例2t=0時 ,開關K打開，閉合前電路無原始儲能，求t0后iL、uL的及電流源的端電壓。解這是一個RL電路零狀態響應問題，先化簡電路，有：iLK+uL2H102A105+ut0iL+uL2HUSReq+7.4 一階電路的全響應電路的初始狀態不為零，同時又有外加激勵源作用時電路中產生的響應。iK(t=0)US+uRC+uCR解答為 uC(t) = uC + uCuC (0)=U0

16、以RC電路為例，電路微分方程：=RC1.全響應全響應穩態解 uC = US暫態解uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由起始值定A2. 全響應的兩種分解方式強制分量(穩態解)自由分量(暫態解)uC-USU0暫態解uCUS穩態解U0uc全解tuc0全響應 = 強制分量(穩態解)+自由分量(暫態解)（1） 著眼于電路的兩種工作狀態物理概念清晰iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=U0iK(t=0)US+uRC+ uCR=uC (0)=0+uC (0)=U0C+ uCiK(t=0)+uRR全響應= 零狀態響應 + 零輸入響應零狀態響應零輸入響應(2). 著眼于因果關系便于疊加計

17、算零狀態響應零輸入響應tuc0US零狀態響應全響應零輸入響應U0例1t=0時 ,開關K打開，求t0后的iL、uL解這是一個RL電路全響應問題，有：iLK(t=0)+24V0.6H4+uL8零輸入響應：零狀態響應：全響應：或求出穩態分量：全響應：代入初值有：62AA=4例2t=0時 ,開關K閉合，求t0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是一個RC電路全響應問題，有：+10V1A1+uC1+u1穩態分量：全響應：A=10+24V1A1+uC1+u13. 三要素法分析一階電路一階電路的數學模型是一階微分方程：令 t = 0+其解答一般形式為：分析一階電路問題轉為求解電路的三個要素的問題用0+等效

18、電路求解用t的穩態電路求解直流激勵時：1A2例113F+-uC已知：t=0時閉合開關，求換路后的uC(t)。解tuc2(V)0.6670例2t=0時, 開關閉合，求t0后的iL、i1、i2解三要素為：iL+20V0.5H55+10Vi2i1應用三要素公式三要素法為：+20V2A55+10Vi2i10等效電路例3已知：t=0時開關由12，求換路后的uC(t) 。2A410.1F+uC+4i12i18V+12解三要素為：4+4i12i1u+例4已知：t=0時開關閉合，求換路后的電流i(t) 。解三要素為：+1H0.25F52S10Vi例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：電感

19、無初始儲能t = 0 時閉合k1 , t =0.2s時閉合k2求兩次換路后的電感電流i(t)。0 t 0.2s解(0 t 0.2s)( t 0.2s)it(s)0.25(A)1.2627.5 一階電路的單位階躍響應一. 單位階躍函數1. 定義t(t)012. 單位階躍函數的延遲t(t-t0)t0013. 由單位階躍函數可組成復雜的信號例 11t0tf(t)0(t)tf(t)10t0- (t-t0)（矩形）脈沖（pulse）例 21t1 f(t)0二、階躍函數的作用N+_USt = 0NUS(t)+_N+_USt = t0NUS(tt0)+_iC+uCRuC (0-)=0三. 單位階躍響應tuc

20、1t0i（單位）階躍響應（unit step response）： 單位階躍輸入作用下的零狀態響應。例 1延時脈沖作用于圖示電路，已知 ，求電流 i(t) 。+_解求解零狀態響應問題單獨作用下的零狀態響應戴維南等效零狀態比例性單獨作用下的零狀態響應_+_+零狀態響應求圖示電路中電流 iC(t)10k10kus+-ic100FuC(0-)=010k10k+-ic100FuC(0-)=010k10k+-ic100FuC(0-)=00.510t(s)us(V)0例 2+-ic100FuC(0-)=05k10k10k+-ic100FuC(0-)=010k10k+-ic100FuC(0-)=0等效同理可

21、得分段表示為t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形0.368又例3+-u(t)155HiL已知: u(t)如圖示 , iL(0)= 0 求: iL(t) , 并畫波形 。u(t)12120t(s)V u(t)= (t)+ (t-1)-2 (t-2) (t)(1 - e - t / 6) (t) (t -1)1 - e - ( t - 1) / 6 (t -1)-2 (t -2)-21 - e - ( t - 2) / 6 (t -2)iL(t) = (1 - e - t / 6) (t)+ 1 - e - ( t - 1) / 6 (t -1) -21 - e - ( t - 2) /

22、 6 (t -2)法一解+-5u(t)/65/65HiL法二0 t 1 iL(0+)=0 t 0 iL(t)=0 iL()=1AiL(t) = 1 - e - t / 6 A =5/ (1/5)=6 su(t)12120t(s)V+-155HiL1V0 t 11 t 2 iL(1+)= iL(1-)= 1 - e - 1/ 6 =0.154 A iL(t) = 2 +0.154 - 2 e - ( t - 1 )/ 6 = 2 - 1.846 e - ( t - 1 )/ 6 AiL()=2A iL(t) = 1 - e - t / 6 A0 t 1 = 6 s+-155HiL2V 1 2 i

23、L(2+)= iL(2-)= 2 - 1.846 e - ( 2 - 1 )/ 6 =0.437 A iL(t) = 0.437 e - ( t - 2 )/ 6 AiL(t) =0 t 0 1 - e - t / 6 A 0 t 12 - 1.846 e - ( t - 1 )/ 6 A 1 2 155HiL t 2 =6 s00.1540.43712t(s)iL(t)A1. 單位脈沖函數 p(t)1/tp(t)07-6 一階電路的沖激響應2. 單位沖激函數 (t) /21/tp(t)- /2定義t(t)(1)0t (t-t0)t00（1）3. 單位沖激函數的延遲 (t-t0)4. 函數的篩分性 同理有：* f(t)在 t0 處連續t(t)(1)0f(t)f(0)f(0)(t)例5. 函數與階躍函數 的關系零狀態h(t)單位沖激激勵在電路中產生的零狀態響應 由單位階躍響應求單位沖激響應單位階躍響應單位沖激響應h(t)s(t)單位沖激 (t)單位階躍 (t)定