1、概率統計專項練習1、（2019石家莊市模擬（一）東方商店欲購進某種食品（保質期兩天），此商店每兩天購 進該食品一次（購進時，該食品為剛生產的）.根據市場調查，該食品每份進價8元，售價12元，如果兩天內無法售出，則食品過期作廢，且兩天內的銷售情況互不影響，為了解市場的需求情況，現統計該食品在本地區100天的銷售量如下表：銷售量/份15161718天數20304010（視樣本頻率為概率）（1）根據該食品100天的銷售量統計表，記兩天中一共銷售該食品份數為E,求E的分布列與數學期望；（2）以兩天內該食品所獲得的利潤期望為決策依據，東方商店一次性購進32或33份，哪一種得到的利潤更大？2、（2019合

2、肥市第二次質量檢測）某種大型醫療檢查機器生產商，對一次性購買2臺機器的客戶，推出2種超過質保期后2年內的延保維修優惠方案，方案一：交納延保金 7 000元，在延保的2年內可免費維修 2次，超過2次每次收取維 修費2 000元；方案二：交納延保金 10 000元，在延保的2年內可免費維修 4次，超過4次每次收取 維修費1 000元.某醫院準備一次性購買 2臺這種機器.現需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了 50臺這種機器超過質保期后延保2年內維修的次數，得下表：維修次數0123臺數5102015以這50臺機器維修次數的頻率代替 1臺機器維修次數發生的概率.記X表示這2臺機器超過

3、質保期后延保的 2年內共需維修的次數.（1）求X的分布列；（2）以方案一與方案二所需費用 （所需延保金及維修費用之和）的期望值為決策依據，醫院 選擇哪種延保方案更合算？3、（2019福州市第一學期抽測）某市某超市為了回饋新老顧客，決定在2019年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動.為設計一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面向該市某高中學生征集活動方案，該中學某班數學興趣小組提供的方案獲得了征用.方案如下：將一個 4X 4X4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成 64個相同的小 正方體.經過攪拌后，從中任取兩個小正方體，記它們的著色面數之和為E,記抽獎一次中獎的禮品價值為與

4、求P(e 3);(2)凡是元旦當天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎.記抽取的兩個小正方體著 色面數之和為6,設為一等獎，獲得價值50元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數之和為5,設為二等獎，獲得價值30元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數之和為4,設為三等獎，獲得價值 10元的禮品，其他情況不獲獎.求某顧客抽獎一次獲得的禮品價值的 分布列與數學期望.4、(2019廣州市調研測試)某企業對設備進行升級改造，現從設備改造前后生產的大量 產品中各抽取了 100件產品作為樣本，檢測一項質量指標值，若該項質量指標值落在20,40)內的產品視為合格品，否則為不合格品，圖 1是設備改造前樣本的頻率分

5、布直方圖，表 1是設備改造后樣本的頻數分布表.圖1:設備改造前樣本的頻率分布直方圖表1:設備改造后樣本的頻數分布表質里指標值15, 20)20, 25)25, 30)30, 35)35, 40)40 , 45)頻數2184814162(1)請估計該企業在設備改造前的產品質量指標的平均值;(2)該企業將不合格品全部銷毀后，對合格品進行等級細分，質量指標值落在25, 30)內的定為一等品，每件售價240元；質量指標值落在20, 25)或30, 35)內的定為二等品，每件售價180元；其他的合格品定為三等品，每件售價120元.根據表1的數據，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替

6、從所有產品中抽到一件相應等級產 品的概率.現有一名顧客隨機購買兩件產品，設其支付的費用為X(單位：元)，求X的分布列和數學期望.5、.(2018高考全國卷I )某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合 格品的概率都為p(0pk0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.8289、（2019武漢市調研測試）中共十九大以來，某貧困地區扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的要求，帶領廣大農村地

7、區人民群眾脫貧奔小康.經過不懈的奮力拼搏，新農村建設取 得巨大進步，農民年收入也逐年增加.為了更好地制定2019年關于加快提升農民年收入，力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統計了貧辦統計了（1）根據頻率分布直方圖，估計50位農民的年平均收入組數據區間的中點值表示）.x（單位：千元）（同一組數據用該（2）由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區農民年收入中科近似為年平均收入 x,f（1）根據頻率分布直方圖，估計50位農民的年平均收入組數據區間的中點值表示）.x（單位：千元）（同一組數據用該（2）由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區農民年收入中科近似為年平均收入 x,f近似為樣本方差s2,經計算得X服

8、從正態分布N（白婿），其 s2= 6.92.利用該正態分布，解決卜列問題:（i）在2019年脫貧攻堅工作中，若使該地區約有占總農民人數的84.14%的農民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準，則最低年收入大約為多少千元？（ii）為了調研“精準扶貧，不落一人”的落實情況，扶貧辦隨機走訪了 1 000位農民.若每個農民的年收入相互獨立，問：這1 000位農民中年收入不少于12.14千元的人數最有可能是多少?附：參考數據與公式強32= 2.63,若 XN(, (2),則 P( p- KXW 葉 6= 0.682 7;P(廠 2 oX 葉 2/ 0.954 5; P(廠 3 oX 葉 3 人 0.9

9、97 3.10、（2019濟南市七校聯合考試）“黃梅時節家家雨” “梅雨如煙暝村樹” “梅雨暫收斜照明”江南梅雨的點點滴滴都流潤著濃烈的詩情.每年六、七月份，我國長江中下游地照明”江南梅雨的點點滴滴都流潤著濃烈的詩情.每年六、七月份，我國長江中下游地區進入持續25天左右的梅雨季節，如圖是江南Q鎮20092018年梅雨季節的降雨量（單位:mm）的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計總體概率，解答下列問題:“梅實初黃暮雨深”，請用樣本平均數估計Q鎮明年梅雨季節的降雨量;“江南梅雨無限愁”，Q鎮的楊梅種植戶老李也在犯愁，他過去種植的甲品種楊梅，畝產量受降雨量的影響較大 （把握超過八成）,而乙品種楊梅20

10、092018年的畝產量（單位:n (adbc)(a+b) (c+ d) (a+c) (b + d)kg）與降雨量的發生頻數（年）如n (adbc)(a+b) (c+ d) (a+c) (b + d)一-J、降雨量200, 400)100 , 200) U 400 , 500總計6001總計10他來年應該種植哪個品種的楊梅受降雨量影響更小?（完善列聯表，并說明理由）附：K2=,其中 n = a+ b+ c+d.2P(K2k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.70611、（2019濟南市模擬考試）某客戶準備在家中安裝一套凈水系統，該系統為三級

11、過濾，使用壽命為十年.如圖所示，兩個一級過濾器采用并聯安裝，二級過濾器與三級過濾器為串聯安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現.在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現.在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立 ），三級濾芯無需更換.若客戶在安裝凈水系統的同時購買濾芯，則一級濾芯每個80元.二級濾芯每個 160元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯，則一級濾芯每個200元，二級濾芯每個400元.現需決策安裝凈水系統的同時購買濾芯的數量，為此參考了根據100套該款凈水系統在十年使用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表，其中圖1是

12、根據200個一級過濾器更換的濾芯個數制成的柱狀圖，表 1是根據100個二級過濾器更換的濾芯個數制成的頻數分布表.圖J二級濾芯更換的個數56頻數6040表1以200個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發生的概率，以100個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發生的概率.（1）求一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為30的概率；（2）記X表示該客戶的凈水系統在使用期內需要更換的一級濾芯總數，求X的分布列及數學期望；（3）記m, n分別表示該客戶在安裝凈水系統的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數， 若m + n=28,且n5, 6,以該客戶的凈水系統在使用

13、期內購買各級濾芯所需總費用的 期望值為決策依據，試確定m, n的值.12、某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類蔬菜.根據過去50周的資料顯示，該地周光照量X（單位：小時）都在30小時以上，其中不足50小時的有5周，不低于50小時且 不超過70小時白有35周，超過70小時的有10周.根據統計，該基地的西紅柿增加量 y（千 克）與使用某種液體肥料的質量x（千克）之間的關系為如圖所示的折線圖.tWT克024 5 6（1）依據折線圖，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系？請計算相關系數r并加以說明（精確到0.01）;（若|r|0.75,則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）（2）蔬菜大棚對光照要

14、求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運行臺數受周光照量X限制，并有如下關系：周光照量X（單位：小時）30X70光照控制儀運行臺數321若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3 000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損 1 000元.以頻率作為概率，商家欲使周總利潤的均值達到最大，應安裝光照控制儀多少臺?n附相關系數公式:(xi-x)(yy)n附相關系數公式:(xi-x)(yy)參考數據：寸03= 0.55, 59=0.95.概率統計專項練習答案(1)根據題意可得P(E= 30)=1x1=, P(E= 31)=1x X2 = , P(E=

15、 32) = -x2x 2+x=1,(J ) 5 5 255 10255 510 10 4 TOC o 1-5 h z 33)=5卡2 +吊針2=在34) =4本2+小七, 212111P( 3= 35)=x X2 = , P( E= 36) = X=P(。35) 51025(J ) 1010100.E的分布列如下:3031323334353613171121P25254255025100E( 9= 30X -7+ 31 X 3- 32X ；+ 33X 工+34 xg+35X 4 + 36X -7- = 32.8()25254255025100 TOC o 1-5 h z (2)當購進32份時

16、，利潤為32X4X 27+(31X4- 8) X 舟+ (30 X 4 16) X 三=107.52 + 13.92 +4.16= 125.6(元). 252525當購進33份時，利潤為33 X 4X 黑十(32 X 4 8) X 1 +(31 X 416) X 3- +(30 X 4 24) X 2=77.88 +30+ 12.9610042525+ 3.84= 124.68(元).因為 125.6124.68,所以，當購進32份時，利潤更大.(1)X的所有可能取值為 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. TOC o 1-5 h z 111111P(X=0)=T0X礦而噂=1)=而*/2

17、=而1-0 1- 5=2X2- 5X1-0 1- 5=2X2- 5X1- 5+2X旦10X工10=3)P(X 2) 5 5 5 1025P(X=4) = 2X 2+&X 1X2 = , P(X = 5)=-X X2 = 一,P(X 4) 5 5 10 525() 5 1025339P(X=6)=130 xw=荷，所以x的分布列為X0123456P1 1131176911002525502525100(2)選擇延保方案一，所需費用Y1的分布列為Y17 0009 00011 00013 00015 000P1711769100502525100E(Y1)=0X 7 000 + 11X 9 000

18、+ X 11 000+ X 13 000+-9-X 15 000= 10 720(元).() 100502525100選擇延保方案二，所需費用丫2的分布列為Y210 00011 00012 000P671006259100E(Y2)=益 x 10 000 + 25* 11 000+急 X 12 000= 10 420(元).因為E(Y1)E(Y2),所以該醫院選擇延保方案二較合算.3、解：(1)64個小正方體中，三面著色的有8個，兩面著色的有24個，一面著色的有24個，另外8個沒有著色，所以P(土 所以P(土 3)=C1 c8+ C% c2；4c64640 _202 016 63.(2)設E為

19、抽取的面數之和，刀為獲得的禮品價值，則E的所有可能取值為0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6,刀的取值為50, 30, 10, 0,C2281P(50) = P(上 6)=晶=右=72，P= 30) = P(P= 30) = P( 5)=C1 C241922C24 =2 016=21P= 10) = P ( 4)=CP= 10) = P ( 4)=C24 + c8 C24 c64=4682 0161356所以Y的分布列如下:5030100P121383722156126所以 e( = 5OX且+30*金+10*g + 0*且=370 2 0162 0162 0162 01663 .4、解：

20、（1）根據題圖1可知，設備改造前樣本的頻數分布表如下質里指標值15, 20)20, 25)25, 30)30, 35)35, 40)40 , 45)頻數416401218104X 17.5+ 16X 22.5+40X27.5+ 12X 32.5+18X 37.5+10X 42.5=3 020.樣本產品的質量指標平均值為端0= 30.2,121383P= 121383P= 0）=1一茨一五一而一誨 TOC o 1-5 h z 根據樣本質量指標平均值估計總體質量指標平均值為30.2. 一一1 1 1(2)根據樣本頻率分布估計總體分布，樣本中一、二、三等品的頻率分別為2, 3 6，故從所有產品中隨機

21、抽一件，是一、二、三等品的概率分別是11，4.2 3 6隨機變量 X的取值為240, 300, 360, 420, 480.1 11 一 1 1 1P(X=240) =TX 7= , P(X=300) = C2x -X6 6 363 6 9P(X= 360) = C2X1 x 1+ 1 x 1= ：5，P(X=420)=C2xX1 = 1, P(X = 480)=X = 1,2 6 3 3182 3 32 2 4所以隨機變量X的分布列為X240300360420480P115113691834所以 E(X)= 240 X 工+ 300X 1+ 360 X 5- + 420 X 1+ 480 X

22、-= 400.36918345、解：(1)20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=c2op2(1 p)18.因此f p) = c2o2p(1p)1818p2(1 p)17 = 2C20P(1 p)17(1 10p).令 fp0=O,得 p= 0.1.當 pC (O,O.14,fp0O;當 pC (0.1 , 1)時，fp)400,故應該對余下的產品作檢驗.6、解：(1)由題意知，樣本中僅使用 A的學生有18+9 + 3=30人，僅使用B的學生有10+14+1=25人，A, B兩種支付方式都不使用的學生有5人.故樣本中A , B兩種支付方式都使用的學生有100 30 255=40人.所以從

23、全校學生中隨機抽取1人，該學生上個月A , B兩種支付方式都使用的概率估計所以從全校學生中隨機抽取4010040100= 0.4.(2)X的所有可能值為0, 1, 2.記事件C為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽取記事件C為“從樣本僅使用1 000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額 大于1 000元”.由題設知，事件C、D相互獨立，且P(C)=9 =0.4, P(D)=14 = 0.6. 3025所以 P(X=2) = P(CD)=P(C)P(D) = 0.24.P(X=1) = P(CDU CD)= P(C)P(D) + P(C)P(D)=0.4X (1

24、0.6) + (1 0.4)X 0.6= 0.52,P(X=0)= P(C D)= P(C)P(D) =0.24,所以X的分布列為X012P0.240.520.24故 X 的數學期望 E(X)=0X 0.24 + 1 X 0.52 +2X 0.24=1.(3)記事件E為“從樣本僅使用 A的學生中隨機抽查 3人，他們本月的支付金額都大于2 000元”.假設樣本僅使用 A的學生中，本月支付金額大于 2 000元的人數沒有變化，則1由上個月的樣本數據得 P(E) = = 7七.C30 4 060答案示例1 :可以認為有變化.理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發生.一旦發生，就有理由

25、認為本月的支付金額大于2 000元的人數發生了變化.所以可以認為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下：事件E是隨機事件，P(E)比較小，一般不容易發生，但還是有可能發生的，所以無法確 定有沒有變化.(1)依題意可得純電動汽車地方財政補貼的分布列為補貼/(力兀/輛)344.5概率0.20.50.3所以該市每輛純電動汽車2017年地方財政補貼的均值為 3X 0.2+4X0.5+4.5X0.3 =3.95(萬元).(2)由頻數分布表得每天需要充電車輛數的分布列為輛數6 0007 0008 0009 000概率0.20.30.40.1若采用方案一，100臺直流充電樁和900臺交流充電樁每天

26、可充電車輛數為30X 100 +4X 900=6 600,可得實際充電車輛數的分布列為實際充電車輛數6 0006 600概率0.20.8于是估計在方案一下新設備產生的日利潤為25X （6 000X 0.2 + 6 600X 0.8） 500X 100 80X 900 = 40 000（元）.30X200 +若采用方案二，200臺直流充電樁和40030X200 +4X400=7 600,可得實際充電車輛數的分布列為實際充電車輛數6 0007 0007 600概率0.20.30.5于是估計在方案二下新設備產生的日利潤為25 X （6 000 X 0.2 + 7 000X 0.3 + 7 600 X

27、 0.5） 500 X 200 80 X 400 = 45 500（元）.不應卜“禁奧令”應卜.“禁奧令”總計男生20525女生101525總計302050(1)由題意將列聯表補充如下:8、所以 gSST2-.3336,635,所以有99%的把握認為對下 “禁奧令”的態度與性別有關.(2)由題意，可知在這10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人認為不 應下“禁奧令”，E的所有可能取值有1, 2, 3, 4.c4c1c3121)= =荷；C2C2+C4C1C2C1 42 p（ E= 2）=c5c2=100；- 1 _ 1 _2_ 2_ 1 _ 1P(E= 3)=C2C21000401

28、02 + 0402P(E= 3)=C2C2100一.、020264)=乖=而所以E的分布列是1234P12424061001001001009、解：(1)x= 12X 0.04+14X 0.12+ 16X 0.28+ 18X 0.36+20 X 0.10+22X 0.06 + 24X 0.04 = 17.40(千元).(2)由題意，XN(17.40, 6.92).1 0.682 7(i) P(X 科3 = 2 + 2=0.841 4,廠 產 17.40-2.63= 14.77,即最低年收入大約為14.77千元.0.954 5(ii)由P(X 12.14)= P(XW一2 4=0.5+2= 77

29、 3,得每個農民的年收入不少于 12.14千元的事件的概率為 0.977 3,記這1 000位農民中年收入不少于12.14千元的人數為 巳則個B(103, p),其中p= 0.977 3,于是恰好有k位農民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是 P(土 k)= 0k103pk(1 p)103 k,P ( E= k)(1 001 k) x p從而由 c / ； =;一1 ,得 k1 001p, TOC o 1-5 h z P ( E= k-1) kx (1-p)PQ=k) (k+ 1) (1 p)由P ( E= k+ 1) =(1 000k) pP而 1 001p= 978.277 3,所以，977.277