1、歸納 1 歷史上，人們?cè)?jīng)有過(guò)制造永動(dòng)機(jī)的美好愿望，希望制造出一種不消耗能量的機(jī)器，永無(wú)休止地為人類服務(wù).人們提出過(guò)許多永動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)方案.最早永動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)方案是13世紀(jì)的法國(guó)人亨內(nèi)考提出的，后來(lái)人們又提出了各種永動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)方案.2滾珠永動(dòng)機(jī)軟臂永動(dòng)機(jī) 阿基米德螺旋永動(dòng)機(jī)磁力型永動(dòng)機(jī) 3 從大量的失敗案例中，科學(xué)界歸納出了一個(gè)結(jié)論:不可能制造出永動(dòng)機(jī).后來(lái)，著名科學(xué)家羅蒙諾索夫提出了能量守恒定律，從理論上說(shuō)明了制造永動(dòng)機(jī)是不可能的. 在這里我們用到了數(shù)學(xué)中的什么原理？請(qǐng)進(jìn)入本節(jié)的學(xué)習(xí)！4歌德巴赫猜想的提出過(guò)程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想:“任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩

2、個(gè)素?cái)?shù)之和”即偶數(shù)素?cái)?shù)素?cái)?shù)改寫(xiě)為:1037，20317，30131763+3， 1 00029+971，83+5， 1 002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 5這個(gè)結(jié)論是否正確呢？人們驗(yàn)證了許多偶數(shù)，都滿足這個(gè)規(guī)律，但是至今還沒(méi)有得到證明，這個(gè)結(jié)論仍然是猜想.6例1 在一個(gè)凸多面體中，試通過(guò)歸納猜想其頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)滿足的關(guān)系.解：考察一些多面體，如圖所示，將這些多面體的面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）、頂點(diǎn)數(shù)（V）列出，得到表：7多面體面數(shù)（F）棱數(shù)（E）頂點(diǎn)數(shù)（V）三棱錐464四棱錐585五棱錐6106三棱柱596五棱柱71510立方體6

3、128八面體8126十二面體1230208從這些事實(shí)中，可以歸納出：FVE2這就是著名的歐拉公式.9例2 如果面積是一定的，什么樣的平面圖形周長(zhǎng)最小？試猜測(cè)結(jié)論.解：考慮單位面積的正三角形、正四邊形、正六邊形、正八邊形，它們的周長(zhǎng)分別記作p3,p4,p6,p8,可得下表p3p4p6p84.5643.723.6410歸納上述結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：面積一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，周長(zhǎng)越小.于是得到猜測(cè)：圖形面積一定，圓的周長(zhǎng)最小.提示：在以上各例的推理過(guò)程中，它們的共同之處是：根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性.我們將這種推理方式稱為歸納推理.思考：上述各例的推理過(guò)

4、程中，它們的共同之處是什么？11歸納推理的基礎(chǔ)歸納推理的作用歸納推理的含義觀察、分析發(fā)現(xiàn)新事實(shí)、獲得新結(jié)論由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理歸納推理的結(jié)論不一定成立感悟交流注意12點(diǎn)評(píng):由歸納推理獲得的結(jié)論,僅僅是一種猜想,未必可靠.因此不一定正確.費(fèi)馬猜想:任何形如 的數(shù)都是素?cái)?shù)13反例：例如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到1.觀察1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52.你能得出的一般性結(jié)論為_(kāi).分析：觀察各式兩邊數(shù)字特點(diǎn)可得1+3+5+(2n-1)=n2142.(2012江西高考)觀察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+

5、b4=7，a5+b5=11，則a10+b10=( )A.28 B.76 C.123 D.199分析：由前幾項(xiàng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納猜想結(jié)果. C151+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，由此猜想:前n個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的和等于n的平方,即1+3+5+(2n-1)=n2163、觀察下列式子，歸納結(jié)論：17 例3 已知數(shù)列an的第1項(xiàng)a1=1，且（n=1 , 2 , ),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：分別把n=1,2,3,4代入 得歸納:解法2取倒數(shù)得18例4(2005年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),f(4)= ,當(dāng)n4時(shí),f(n)= .(用n表示)累加得:f(n)=f(n-1)+n-11.歸納推理的一般思維過(guò)程:實(shí)驗(yàn)、觀察概