1、PAGE 7 -妙用多項式除法求解導數與解幾壓軸試題蘇藝偉陳藝平摘要：巧妙借助多項式除法解決導數與解幾壓軸試題，往往能夠化繁為簡，化抽象為具體，實現解題的最優化.關鍵詞：多項式除法;導數與解幾;最優化中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）10-0039-05多項式除法定理設fx，gx是兩個多項式，且gx0，則恰有兩多項式qx及rx使得fx=qxg（x）+r（x）成立，其中r（x）=0或degrx通俗地說，多項式除法是代數中的一種運算，用一個多項式去除以另一個多項式，從而將一個相對復雜的除法問題分解成更小的一些問題.借助多項式除法定理可以解決導數與解幾壓軸試題

2、中一些較難的多項式分解問題，從而突破難點，化繁為簡，化抽象為具體，實現解題的高效.例1（2022年全國卷理科第21題）已知函數fx=ex+ax2-x.（1）當a=1時，討論fx的單調性（略）.（2）當x0時，fx12x3+1，求a的取值范圍.解析由已知可得ax212x3+1+x-ex.當x=0時，aR.當x0時，a12x3+x+1-exx2.令gx=12x3+x+1-exx2，x0，只需agxmax.gx=12x3-x-2-x-2exx3=x-212x2+x+1-x-2exx3=2-xex-12x2+x+1x3.記hx=ex-12x2-x-1，x0，則hx=ex-x-1，hx=ex-10，所以

3、hx在0，+上單調遞增.所以hxh0=0.故hx在0，+上單調遞增.所以hxh0=0.所以ex-12x2-x-10.令gx=0，得x=2.所以gx在0，2上單調遞增，在2，+上單調遞減.所以gxmax=7-e24.此時有a7-e24.綜上，a7-e24.簡析對于多項式12x3-x-2，經檢驗可知x=2是方程12x3-x-2=0的一個實根，借助多項式除法得到另外一個因式12x2+x+1，通過驗根和多項式除法，順利將gx進行化簡，從而突破難點.例2（2022年天津卷理科第20題）已知函數fx=x3+klnx（kR），fx為fx的導函數.當k=6時，求函數gx=fx-fx+9x的單調區間和極值.解析

4、gx=x3+6lnx-3x2+3x，gx=3x2x4-2x3+2x-1=3x2x+1x3-3x2+3x-1=3x2x+1x-13.所以gx在0，1上單調遞減，在1，+上單調遞增.所以g（x）有極小值g1=1，無極大值.簡析對于多項式x4-2x3+2x-1，經檢驗可知x=-1是方程x4-2x3+2x-1=0的一個實根，借助多項式除法得到另外一個因式x3-3x2+3x-1.通過驗根和多項式除法，順利將gx進行化簡，從而突破難點.例3（2022年江蘇卷理科第19題）已知關于x的函數y=fx，y=gx與hx=kx+b（k，bR）在區間D上恒有fxhxgx.若fx=x4-2x2，gx=4x2-8，hx=

5、4t3-tx-3t4+2t2，D=m，n-2，2，0證明由已知可得x4-2x2-4t3-tx+3t4-2t20，4x2-4t3-tx+3t4-2t2-80.先考慮第個不等式，轉化成x-t2x2+2tx+3t2-20.即x2+2tx+3t2-20對任意xm，n-2，2，0=81-t2.若00，則n-m2+tb0）的左右焦點分別為F1，F2.F2也是拋物線E：y2=2px（p0）的焦點，點A為C與E的一個交點，且直線AF1的傾斜角為45，求C的離心率.解析聯立直線和橢圓方程求出點A坐標，然后代入拋物線方程.由y=x+c，x2a2+y2b2=1，得b2+a2x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.

6、所以=8a2a2-c22.由求根公式有x=-2a2c+22aa2-c22b2+a2=2a3-a2c-2ac22a2-c2.故A2a3-a2c-2ac22a2-c2，2a3+a2c-2ac2-c32a2-c2.將點A坐標代入拋物線方程y2=4cx，得2a3+a2c-2ac2-c32a2-c22=4c2a3-a2c-2ac22a2-c2.化簡，得2a3+a2c-2ac2-c32=4c2a3-a2c-2ac22a2-c2.即2a6+22a5c-3a4c2-42a3c3+22ac5+c6=82a5c-8a4c2-122a3c3+4a2c4+42ac5.得2a6-62a5c+5a4c2+82a3c3-4

7、a2c4-22ac5+c6=0.兩邊同時除以a6，得e6-22e5-4e4+82e3+5e2-62e+2=0.即e+22e4-42e3+10e2-42e+1=0.則e4-42e3+10e2-42e+1=0.兩邊再同時除以e2，得e-222+1e-222=6.結合0簡析該解法通過聯立直線和橢圓方程求出點A坐標，然后代入拋物線方程，從而求出離心率.將點A坐標代入拋物線方程y2=4px，整理得到關于a與c的齊次式，然后兩邊同時除以a6得到e的方程.由于這個關于e的方程（即式）是一個關于e的六次方程.對于這樣一個六次方程的求解在高中階段更是顯得十分困難.為了順利求出離心率，通過觀察嘗試，運用合情推理，

8、首先猜測該方程有一個根-2，代入式檢驗后發現是成立的，因此不難得到式有一個因式為e+22（注意不是e+2，因為最高次項是6）.當確定有一個因式為e+22，運用多項式除法得到另外一個因式e4-42e3+10e2-42e+1，從而將式轉化成為式，進一步轉化成式，最后得到式.事實上，還可以鼓勵有能力的學生，進一步思考，將式進一步分解成為e+22e-2+12e-2-12=0，從而求出離心率.例6已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左右焦點為F1，F2，漸近線y=bax上一點N滿足ON=c（點N在第一象限內），直線NF1與雙曲線的另一條漸近線y=-bax相交于點M，且FM=3a，求雙曲線的離心率e.解析由

9、已知可得Na，b，F1-c，0，kNF1=ba+c.所以直線NF1方程為y=ba+cx+c.由y=ba+cx+c，y=-bax，得M-ac2a+c，bc2a+c.所以ac+c222a+c2+b2c22a+c2=3a.故2c4+2c3a=12a4+12a3c+3a2c2.即2e4+2e3-3e2-12e-12=0.即e-22e3+6e2+9e+6=0.故e=2.簡析觀察到方程2e4+2e3-3e2-12e-12=0，有一個實根e=2，借助多項式除法得到另外一個因式2e3+6e2+9e+6，從而求出離心率.例7過橢圓C：x29+y2b2=1（0解析設直線AM方程為y=kx+b，代入b2x2+9y2

10、=9b2，得9k2+b2x2+18kbx=0.故xM=-18kbb2+9k2.用-1k代替k，得xN=18kbb2k2+9.所以AM=1+k218kbb2+9k2，AN=1+1k218kbb2k2+9.令AM=AN，得1+k218kbb2+9k2=1+1k218kbb2k2+9.設k0且k1，則b2k3-9k2+9k-b2=0.即k-1b2k2+b2-9k+b2=0.方程b2k2+b2-9k+b2=0有大于0且不等于1的正實根.故0且b2+b2-9+b20，0解得0簡析觀察到方程b2k3-9k2+9k-b2=0，有一個實根k=1，借助多項式除法得到另外一個因式b2k2+b2-9k+b2，從而求

11、出實數b的取值范圍.不難發現，對于此類導數與解幾壓軸試題中的多項式化簡問題，在難以直接因式分解的前提下，可以采用先驗根，得到一個因式，再借助多項式除法得到另外一個因式，從而將多項式分解成若干項之積，將復雜的問題轉化成簡單的問題，提高學生的數學運算能力，培育數學運算素養，可謂大道至簡，柳暗花明又一村.練習當x0時，ex-ax316x4+12x2+x+1恒成立，求a的取值范圍.解析由已知，得aex-16x4-12x2-x-1x3.令g（x）=ex-16x4-12x2-x-1x3，只需agxmin.故gx=x-3ex-16x4-12x2-2x-3x4.又16x4-12x2-2x-3=x-316x3+12x2+x+1，所以g（x）=（x-3）（ex-16x3-12x2-x-1）x4.又當x0時，exx+1，所以x0exdxx0 x+1dx.即ex1+x+12x2.所以x0exdxx0（1+x+12x2）d