1、1/34第三章 集合論回顧集合的定義集合的描述集合的基數集合間的關系相等包含、真包含全集補集子集、冪集集合的交并運算2/343/34三、差分運算（集合的補）定義：設A,B是兩個集合，所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱為A和B的差集或B對A的相對補集。記作A- B絕對補集： B對E的相對補集叫做絕對補集，簡稱補集，記作 BAB A - BAA4/34三、差分運算（集合的補）例：設A是小于10的素數集合，B是奇數集合，求A-B。解：A=2,3,5,7 B=1,3,5,7,9 A-B=2例：設U=I (I是整數集合) 解：5/34三、差分運算（集合的補）集合的差分運算還具有如下性質：AA6/3

2、4三、差分運算（集合的補）定理3.2-4：設A,B為任意兩個集合，則下列關系式成立。7/34三、差分運算（集合的補）定理3.2-5：設A,B為任意兩個集合，則下列關系式成立。證明: (b) 設 ，即 且 ，因為 則必有 ，故有 ，即為 。 設 ，則 且 ，即 且 或者 ，顯然只能 與 成立。即 。8/34三、差分運算（集合的補）定理3.2-6：設A,B,C為任意三個集合，則下列關系式成立。證：因此，9/34三、差分運算（集合的補）10/34四、對稱差分運算定義：設A、B為任意兩個集合。屬于A但不屬于B的所有元素和屬于B 但不屬于A的所有元素的并集，稱為A和B的對稱差集，記作 。例如：A=1,2

3、,3 B=3,2,4 則 =1,4ABE11/34四、對稱差分運算集合的對稱差分運算滿足如下性質：ABE12/34四、對稱差分運算13/34四、對稱差分運算14/34四、對稱差分運算上述證明結果可以通過以下文氏圖清楚看出。EABCBACE15/34集合定律16/34集合定律17/34集合定律18/34集合定律證明: (39) 轉化為假設 為假，證明 為假。 由 為假可知， 和 均 _為假，即 并且 為真，也就是 為真，使得 為假。19/343.3包含排斥原理集合的運算，可用于有限個元素的技術問題。設A1,A2是有限集合，用|A1|,|A2|分別表示它們的基數，那么可以推出：20/343.3包含

4、排斥原理定理3.4-1：設A1,A2是有限集合，|A1|,|A2|為其基數，則21/343.3包含排斥原理例：假設在10名青年中有5名是工人，7名是學生，其中兼具有工人與學生雙重身份的青年有三名，問既不是工人又不是學生的青年有幾名？ 解：設工人的集合為W，學生的集合為S，則根據題設應有： 因此既不是工人又不是學生的青年有1人22/343.3包含排斥原理包含排斥原理在三個有限集和上的推廣：23/343.3包含排斥原理例：某工廠裝配30輛汽車，可供選擇的設備是收音機空氣調節器和對講機。已知其中15輛 汽車有收音機8輛有空氣調節器，6輛有對講機，而且其中有3輛這三種設備都有。我們希望知道有幾輛汽車沒

5、有提供任何設備。 解：設A1，A2和A3分別表示配有收音機空氣調節器和對講機的汽車集合，因此由題設知 因為得24/343.3包含排斥原理把包含排斥原理推廣到n個集合。定理3.4-2：設A1,A2,An為n個有限集合，它們的基數分別為|A1|,|A2|,|An|，可得：25/343.3包含排斥原理例：求1到250之間能被2，3，5和7中任何一個整除的整數個數。 解：設A1表示1到250之間能被2整除的整數集合，A2表示能被3整除的整數集合，A3表示能被5整除的整數集合，A4表示能被7整除的整數集合。x 表示小于或等于x的最大整數。26/343.3包含排斥原理于是有例：求歐拉函數的值。歐拉函數 表示0,1,n-1 中與n互素的數的個數。例如 ，因為與12互素的數有1,5,7,11。下面利用包含排斥原理給出歐拉函數的計算公