1、分析05插值法上分析05插值法上第五章目錄 1 拉格朗日（Lagrange）插值 1.1 插值多項式的存在性和唯一性 1.2 插值多項式的誤差估計 1.3 Lagrange插值多項式 2 牛頓（Newton）插值 2.1 差商 2.2 Newton插值方式 2.3 差分 2.4 差距節點的插項公式3 Hermite插值 3.1 Hermite插值 3.2 誤差估計 3.3 Hermite插值的一般方式4 多項式插值的缺陷 4.1 多項式插值的缺陷 4.2 分段多項式插值5 樣條函數 5.1 樣條函數的概念 5.2 三次樣條函數2第章 第五章目錄 1 拉格朗日（Lagrange）插插值法概述 函

2、數常被用來描述客觀事物變化的內在規律數量關系，如宇宙中天體的運行，地球上某地區平均氣溫的變化等等，但在生產和科研實踐中碰到的大量的函數中，不僅僅是用解析表達式表示的函數，還經常用數表和圖形來表示函數，其中函數的數表形式在實際問題中應用廣泛，主要原因是有相當一部分函數是通過實驗或觀測得到的一些數據，這些數據只是某些離散點 xi 上的值（包括函數值f (xi)，導數值f (xi)等,i = 0,1,2,n),雖然其函數關系是客觀存在的，但卻不知道具體的解析表達式，因此不便于分析研究這類數表函數的性質，也不能直接得出其它未列出點的函數值，我們希望能對這樣的函數用比較簡單的表達式近似地給出整體的描述。

3、3第章 插值法概述 函數常被用來描述客觀事物變化的內插值法概述(續1） 如行星在太空中的定位問題：當行星在空間運行時，可通過精密觀測儀器在不同的時間ti(i = 1,2,)觀測到行星所在位置S(ti)，無論花費多少人力物力，所得到的只是一批離散數據(ti,S(ti),i=1,2,)，而行星是在作連續運動，它在任一時間t（與ti不同）的位置S(t)，我們只能再去通過觀測得到，插值逼近是利用這組離散數據(ti,S(ti)構造一個簡單的便于計算的近似函數（解析表達式），用它可求任何時間的函數值（稱為插值），對這個近似解析表達式也能求導，討論其各種性質。又如：據資料記載，某地某年夏季時節間隔30天的日

4、出日落時間數據如下：4第章 插值法概述(續1） 如行星在太空中的定位問題：插值法概述（續2） 另一方面，有些函數，雖然有解析表達式，但因其過于復雜，不便于計算和分析，同樣希望構造一個既能反映函數的特性又便于計算的簡單函數，近似代替原來的函數。 如在積分 中，當f (x)很復雜，要計算積分I是很困難的，構造近似函數使積分容易計算，并且使之離散化能上機計算求出積分I，都要用到插值逼近。 5月1日 5月31日 6月30日 日出: 5:51 5:17 5:10 日落: 19:04 19:38 19:50 如果我們希望知道從5月1日到6月30日這些天中，哪一天的日照最長，而這段時間大部分日子的情況并沒有

5、數據記錄，這就需要從上面數表中僅有的數據出發，構 造一個（近似）函數反映日出（日落）的規律，用以推測所需要的數據。5第章 插值法概述（續2） 另一方面，有些函數，雖然有解析表代數插值 解決上述問題的方法有兩類：一類是對于一組離散點(xi,f (xi) (i = 0,1,2,n)，選定一個便于計算的函數形式(x)，如多項式，分段線性函數，有理式，三角函數等，要求(x)通過點(xi)=f (xi) (i = 0,12,n),由此確定函數(x)作為f (x)的近似。這就是插值法。另一類方法在選定近似函數的形式后，不要求近似函數過已知樣點，只要求在某種意義下它在這些點上的總偏差最小。這類方法稱為曲線（

6、數據）擬合法，將在下一章介紹。 本章主要討論構造插值多項式的幾種常用的方法及其誤差 用插值法求函數的近似表達式時，首先要選定函數的形式。可供選擇的函數很多，常用的是多項式函數。因為多項式函數計算簡便，只需用加、減、乘等運算，便于上機計算，而且其導數與積分仍為多項式。6第章 代數插值 解決上述問題的方法有兩類：一類是對于代數插值（續1） 用多項式作為研究插值的工具，稱為代數插值，其基本問題是： 已知函數f (x)在區間a,b上n+1個不同點x0,x1,xn處的函數值yi = f (xi) (i=0,1,n),求一個次數不超過n的多項式： 使其滿足在給定點處與f(x)相同，即滿足插值條件： n(x

7、)稱為插值多項式，xi(i=0,1,2,n)稱為插值節點，a,b稱為插值區間。7第章 代數插值（續1） 用多項式作為研究插值的工具，代數插值（續2） 從幾何上看（如圖5-1所示），n次多項式插值就是過n+1個點yi = f (xi)(i=0,1,n)，作一條多項式曲線y = (x)近似曲線y = f (x) :yxy0yny2x0 x1x2xny1（圖5-1）因此，所謂插值，即是在x0,x1,xn中任意插入一個x，要求對應的f (x)，具體做法是按上述方法構造n(x)以n(x)近似f (x)。 - - -8第章 代數插值（續2） 從幾何上看（如圖5-1所示代數插值（續3） 插值法是求函數值的一

8、種逼近方法，是數值分析中的基本方法之一，作為基礎，后面微分，積分，微分方程在進行離散化處理時，要用到，作為一種逼近方法，本身也有廣泛的應用價值，如在拱橋建設中，拱軸，拱腹的設計節點與具體施工設計點常常可能不重合。如圖5-2所示。 假定 ： 設計給出的節點為xi = 2,4,6, 8, 10，施工設計拱架點為xi = 1.5, 3.5, 5.5, 8, 10,部分節點不重合，此時y = f (xi)如何求？這就是插值問題。246810 xy（圖5-2）9第章 代數插值（續3） 插值法是求函數值的一種逼近方 又如在軟土地區修建鐵路，公路，將不可避免地會出現后期沉降（工后沉降）問題，其工后沉降的大小

9、，沉降速率都直接影響鐵路，公路的養護運營，行車速度等，因此要對其進行嚴格控制。 通過對已建成路基面標高（路肩）進行測量觀測，可得到一批數據，對這些數據進行分析（包括作插值），可推算出： 某一時刻路基沉降（如3年，5年）的沉 降值； 不同時期路基沉降速率； 最終沉降值。 代數插值應用舉例10第章 又如在軟土地區修建鐵路，公路，將不可代數插值1 拉格朗日（Lagrange）插值1.1 插值多項式的存在性和唯一性 插值中，首先要解決的問題是：滿足插值條件（5-2）的插值多次式n(x)是否存在？如果存在，是否唯一？n次多項式n(x)有n +1個待定系數，利用給出的n+1個不同的節點x0, x1, ,

10、xn，由插值條件（5-2）可得關于系數a0,a1,an的n +1個方程 ：11第章 1 拉格朗日（Lagrange）插值1.1 插值多項式的插值多項式的存在性和唯一性（續）其系數行列式 ：由唯一性的上述簡單證明，可以得到下面幾點：12第章 插值多項式的存在性和唯一性（續）其系數行列式 ：由唯一性的上關于唯一性證明的幾點說明1：插值多項式的唯一性表明，對同一組節點，它們的 插值多項式是唯一的，可能由不同的方法，會得到不同形式的插值多項式，但它們之間一定可以相互轉化，一定會相同，當然誤差也一樣。2：n +1組節點只能確定一個不超過n次的多項式，若n次，如設為n+1(x)，則有n+2有待定參數a0,

11、a1,an, an+1需確定，而n +1個組節點，只構成n +1個插值條 件，即構成n+1個方程，只能確定n+1個變量的方程組。3：上述證明是構造性的（給出解決問題的方法）即 以通過解線性方程組來確定插值多項式，但這種方法的計算量偏大，計算步驟較多，容易使舍入誤差增大。因此實際計算中不采用這種方法，而用下面介紹的幾種常用的方法。13第章 關于唯一性證明的幾點說明1：插值多項式的唯一性表明，對同一組 1.2 插值多項式的誤差估計 插值多項式與被插函數之間的差： 稱為截斷誤差，又稱為插值余項。假定f (x)在區間a,b上n +1次連續可導，對a,b上任意點x，且x xi(i=0,1,n)，構造輔助

12、函數： 14第章 1.2 插值多項式的誤差估計 插值多項式與被插函數之間的插值多項式的誤差估計（續）在（a, b）內至少有一個零點，設為，即： 因為n(t)為至多n次多項， n+1(t)為最高次項系數為1的n +1次多項式，因而：又由插值條件（5-2），Rn(xi) = 0 (i=0,1,n)，故函數(t)在區間a,b內至少有n+2個零點x,x0,x1,xn。由羅爾（Rolle）中值定理，函數 在(a, b)內至少有n +1個零點。反復使用Rolle中值定理，可以得出：15第章 插值多項式的誤差估計（續）在（a, b）內至少有一個零點，設插值多項式的誤差估計（續）于是有：所以：當x = xi

13、(i=0,1,n)，時，上式自然成立，因此，上式對a,b上的任意點都成立。這就是插值多項式的誤差估計。16第章 插值多項式的誤差估計（續）于是有：所以：當x = xi (i插值余項定理定理5.1 設x0, x1, xn是區間a, b上的互異節點，n(x)是過這組節點的n次插值多項式。如果f (x)在a, b上n+1次連續可導，則對a,b內任意點x，插值余項為： 觀察插值多項式的余項公式，容易看出它與臺勞（Taylor）余項有相似之外。事實上，插值余項（5-4）的導出過程與Taylor余項的導出也類似。這并不偶然，因為兩者都是研究用多項式近似一個函數的誤差。只是Taylor多項式要求在同一點上各

14、階導數值相等，而插值多項式則要求在個不同點上函數值相等。 17第章 插值余項定理定理5.1 設x0, x1, xn是區間a插值余項定理（續） 另外，從余項Rn(x)中的n+1(x)知，當點x位于x0, x1, xn的中部時，比較小，精度要高一些；而位于兩端時，精度要差一點；若x位于x0, x1, xn的外部，一般稱為外插，此時精度一般不理想，使用時必須注意。 為更好理解誤差估計式（5-4），來看一下，若f (x)為一個n次多項式，對于區間a,b，從上選取n +1個點xi(i=0,1,2,n)，由yi =f (xi)可得一組點(xi,yi)(i=0,1,2,n)，由它們按插值條件（5-2）構成一

15、個n次插多項式n(x)，問f (x)（n次多項式）與n(x)之間相差多少(n(x)f (x)？ 18第章 插值余項定理（續） 另外，從余項Rn(x)中的n+1(x1.3 Lagrange插值多項式 對(xi,yi)(i=0,1,2,n)按插值條件（5-2）構造n次插值多項式，有幾種方法，可得相應的插值多項式，下面從最簡單的情形開始。 n =1時，只有兩個節點，x0, x1，對應于y0, y1，由前所述，插值多項式應設為1(x) = a0+a1x，且滿足插值條件 ：所以，n =1時兩個節點的插值多項式為：（緊接下屏）19第章 1.3 Lagrange插值多項式 對(xLagrange插值多項式（

16、續1） 其幾何意義，就是以過兩點(x0, y0)，(x1, y1)的直線y = 1(x)近似曲線y = f (x)，故這種插值又稱為線性插值，如圖5-3所示 ：x圖5-3 x0 x1由于1(x)為直線，由過兩點的直線的點斜式可得：20第章 Lagrange插值多項式（續1） 其幾何意義Lagrange插值多項式（續2） 顯然，1(x)，N1(x)與L1(x)都是同一條直線，應相同，也可以驗證1(x)，N1(x)和L1(x)滿足插值條件（5-2）。 線性插值多項式的上述幾種形式中，式（5-6）與式（5-7）由于形式上較簡單，將以它們為基礎，推廣到n+1個節點的一般情況，分別得到牛頓插值多項式Nn

17、(x)和拉格朗日插值多項式Ln(x)。 為了將兩點插值公式L1(x)推廣到一般情況，引入插值基函數l0(x)，l1(x)，則： L1(x)是兩個函數值的線性組合，組合系數為兩個插值基函數：21第章 Lagrange插值多項式（續2） 顯然，1 式（5-7）揭示了拉格朗日插值方法的特點，即將插值多項式表示為插值節點x0，x1對應的函數值y0，y1的線性組合，而組合系數就是插值基函數l0(x), l1(x)。所以插值問題可分解為基函數的插值問題。插值基函數這里，l0(x),l1(x),l2(x)是二次插值基函數，應滿足插值條件：當n =2時，已知函數表如下，,求滿足插值條件L2(xi) = yi

18、(i=0,1,2,)的二次的插值多項式L2(x)xx0 x1x2y(x)y0y1y222第章 式（5-7）揭示了拉格朗日插值方法的特點，即插值基函數（n =2）（續1） 按此插值條件，每個基函數的零點都是插值節點，借助零點構造多項式，可寫出三個插值基函數。例如，由于x1,x2為l0(x)的兩個零點，故可設： 同理可得：23第章 插值基函數（n =2）（續1） 按此插值條件，插值基函數（續2）所以：L2(x) = l0(x)y0+ l1(x)y1+ l2(x)y2滿足插值條件（5-2）由多項式插值的唯一性知，L2(x)即為所求的二次插值多項式，由于其幾何意義為以拋物線L2(x)近似曲線y = f

19、 (x)，如圖5-4所示，故又稱為拋物插值。 將上述利用插值基函數求插值多項式的方法推廣到一般情況，當節點增多到n +1個時，對(xi,yi)(i=0,1,2,n) 設n次插值多項式：xx1x2x0y圖5-424第章 插值基函數（續2）所以：L2(x) = l0(x)y0+ l插值基函數（續3）即li(x)有n個零點xj (j=0,1,n,j i)且li(xi)=1，故它必定是以下形式：其中li(x)為插值基函數(i = 0,1,2,n)，它們的次數不超過n，且滿足：25第章 插值基函數（續3）即li(x)有n個零點xj (j=0,1,Lagrange插值多項式 代入（5-9）式，得:26第章

20、 Lagrange插值多項式 代入（5-9）式，得:28第章 Lagrange插值多項式（續）事實上，因為每個插值基函數 li（x)(i=0,1,n)都是n次多項式，故Ln(x)是至多n次多項式，由: 即Ln(x)滿足插值條件（5-2），稱式（5-10）為Lagrange插值多項式，具優點是形式對稱，含義直觀，便于在計算機上實現，式（5-4）為插值余項。 27第章 Lagrange插值多項式（續）事實上，因為每個插值基函數 插值舉例例1 已知函數 y = ln x的函數表如下： 2.63912.56492.48492.39792.3026y=lnx1413121110 x解線性插值。取兩個節點

21、x0=11，x1=12，插值基函數為:分別用Lagrange線性插值和拋物線插值求ln11.5的近似值，并估計截斷誤差。28第章 插值舉例例1 已知函數 y = ln x的函數表如下： 2例1(續）拋物線插值。取x0=11，x1=12，x2=13，插值多項式為:29第章 例1(續）拋物線插值。取x0=11，x1=12，x2=13，插值舉例（續）例2證明上式的左端為插值基函數的線性組合，其組合系數均為1。 顯然，函數f(x) 1在這n +1個節點取值為1，即yi=f (xi) 1 (i=0,1,n)由式（5-10）知，它的n次Lagrange插值多項式為：對任意x，插值余項為：所以：30第章 插

22、值舉例（續）例2證明上式的左端為插值基函數的線性組合，2 牛頓（Newton）插值 Lagrange插值多項式是從直線的對稱式出發，利用插值基函數的方法得到的，但從計算的角度來說，直線的點斜式（5-6）更為方便，因此，能否由此出發，構造一類計算簡單的插值公式呢？31第章 2 牛頓（Newton）插值 Lagra牛頓（Newton）插值（續1） 這是一個遞推公式，它表明當增加一個節點時，新的插值多項式只在原插值多項式基礎上增加一項，這種情況如果能推廣到n次多項式Nn(x)，則Nn(x)可寫作為： 上述插值多項式的系數a0,a1,an如何求，是否有規律？事實上，這些系數的確定，可利用插值條件： 3

23、2第章 牛頓（Newton）插值（續1） 這是一個遞推牛頓（Newton）插值（續2）33第章 牛頓（Newton）插值（續2）35第章 2.1 差商 定義5.1 類似于高階導數的定義，稱 一階差商的差商:為f (x)關于點xi,xj,xk的二階差商，記為f xi,xj,xk。 稱為f (x)關于點x0,x1,xk的k階差商。一般地：34第章 2.1 差商 定義5.1 類似于高階導數的定義，稱為f 差商計算35第章 差商計算37第章 差商的性質（1）各階差商均具有線性性質，即若f (x)=a (x)+b (x)，則對任意常數k，都有： （2）k階差商f x0,x1,xk可表成f (x0),f

24、(x1),f(xk)的線性組合：36第章 差商的性質（1）各階差商均具有線性性質，即若f (x)=a差商的性質（續）（3）各階差商均具有對稱性，即改變節點的位置，差商值不變，如:（4）若f (x)是n次多項式，則一階差商f x,xi是n 1次多項式。 事實上，如果f (x)是n次多項式，則p (x) = f (x) f (xi)也是n次多項式，且p (xi) = 0, xi為其零點p (x)可分解為p (x) = (xxi) pn1 (x) ， 其中pn1 (x)為n 1次多項式，所以：為n 1次多項式。37第章 差商的性質（續）（3）各階差商均具有對稱性，即改變節點的位置差商表的計算計算各階

25、差商，可以按照下表進行：表5-1xif (xi)一階差商二階差商三階差商四階差商x0f (x0)x1f (x1)f x0,x1x2f (x2)f x1,x2f x0,x1,x2x3f (x3)f x2,x3f x1,x2,x3f x0,x1,x2,x3x4f (x4)f x3,x4f x2,x3,x4f x1,x2,x3,x4f x0,x1,x2,x3,x4x5f (x5)f x4,x5f x3,x4,x5f x2,x3,x4,x5f x1,x2,x3,x4,x5 38第章 差商表的計算計算各階差商，可以按照下表進行：表5-1xif 2.2 Newton插值公式 由各階差商的定義，依次可得:記

26、：（緊接下屏）39第章 2.2 Newton插值公式 由各階差商的定義，依次可得:Newton插值多項式及其余項 顯然，Nn(x)是至多n次的多項式。而由：即得f (xi)= Nn(xi) (i=0,1,n)。這表明Nn(x)滿足插值條件（5-2），因而它是f (x)的n次插值多項式。這種形式的插值多項式稱為Newton插值多項式。所需差商為表5-1第一條斜線上的含x0的各階差商。 Newton插值的優點是：每增加一個節點，插值多項式只增加一項，即： 因此便于遞推運算。而且Newton插值的計算量小于Lagrange插值。40第章 Newton插值多項式及其余項 顯然，Nn(xNewton插值

27、多項式及其余項（續） 由插值多項式的唯一性可知，n次Newton插值多項式與n次Lagrange插值多項式是相等的，即Nn(x) = Ln(x)，它們只是表示形式不同。因此Newton余項與Lagrange余項也是相等的，即：由此可得差商與導數的關系：41第章 Newton插值多項式及其余項（續） 由插值多Newton插值多項式的計算 表5-2 Newton插值多項式可按表5-2計算。 xiyi= f (xi)一階差商二階差商n階差商x0y01x1y1f x0,x1x-x0 x2y2f x1,x2f x0,x1,x2x3y3f x2,x3f x1,x2,x3xnynf xn-1,xnf xn-

28、2,xn-1,xnf x0,x1,xnn次Newton插值多項式Nn(x)為表5-2中對角線上的差商值與右端因子乘積的和。 42第章 Newton插值多項式的計算 表5-2 Newton插值多項Newton插值公式計算舉例例3 用Newton插值公式計算例1中的ln11.5。 解 如果仍取點x0=11, x1=12, x2=13,作拋物線插值，按表5-2計算，結果如下： xiyi= lnxi一階差商二階差商112.39791122.48490.0870 x-11132.56490.0800-0.0035(x-11)(x-12)43第章 Newton插值公式計算舉例例3 用Newton插值公式計

29、算Newton插值公式計算例3續 若加節點x=10,14, ln10=2.3026, ln14=2.6391，用ln x的四次Newton插值多項式近似,則: xiyi= f (xi)一階差商二階差商三階差商四階差商102.30261112.39790.0953x-10122.48490.0870-0.00415(x-10)(x-11)132.56490.0800-0.003500.00022142.63910.0742-0.002900.00020-0.00005按表5-2計算結果如下: 44第章 Newton插值公式計算例3續 若加節點x=10,14, 2.3 差分 上面討論的是節點任意分

30、布的Newton插值公式，但在實際應用中，經常碰到等距節點的情形，即相鄰兩個節點之差（稱為步長）為常數，這時，Newton插值公式的形式會簡單一些，而關于節點間函數的平均變化率（差商）可用函數值之差（差分）來表示，避免了除法運算。 定義5.2 設有等距節點xk =x0+kh (k=0,1,n)，步長h為常數，fk = f (xk)，稱相鄰兩個節點xk, xk+1處的函數值的增量fk+1 fk(k = 0,1,n-1)為函數f (x)在點xk處以h為步長的一階差分，記為fk，稱為向前差分：45第章 2.3 差分 上面討論的是節點任意分布的N定義5.2（續）一般，以k階差分定義k +1階差分：常用

31、的差分還有兩種： 向后差分：46第章 定義5.2（續）一般，以k階差分定義k +1階差分：常用的差差分的其它種類它們的m階差分：對向后差分47第章 差分的其它種類它們的m階差分：對向后差分49第章 差分計算造表計算時可分別造表計算 ：表5-3 向前差分表 xkfk=f(xk)fk2fk3fk4fkx0f0 x1f1f0 x2f2f12f0 x3f3f22f13f0 x4f4f32f23f14f048第章 差分計算造表計算時可分別造表計算 ：表5-3 向前差分差分計算造表（續1）表5-4xkfk=f(xk) fk 2fk3fk4fkx0f0 x1f1f1x2f2f22f2x3f3f32f33f3

32、x4f4f42f43f44f449第章 差分計算造表（續1）表5-4xkfk=f(xk) 差分計算造表（續2）表5-54f23f22f3f3f4x43f1 2f2f2f3x3 2f1f1f2x2ff1x1f0 x043 2 fk=f(xk)xk1|21|21|21|21|21|250第章 差分計算造表（續2）表5-54f23f22f3f表5-6 差分計算舉例例4-0.1053610.9060.117783-0.015748-0.2231440.8050.0048720.133531 -0.002678-0.020620-0.3566750.7040.0024250.0075500.154151

33、 -0.003534-0.005103-0.028170-0.5108260.6030.0059590.0126530.182321 -0.011062-0.040823-0.6931470.5020.0237150.223144 -0.064538-0.9162910.4010.287682-1.2039730.30065432lnxixii向后線中心差線0.007550 注 ：（1）前差，后差，中心差之間是緊密聯系的，都在一個表中，差分值所在的列數為差分的階數。要確定某個差分值是哪個點的差分，則： 對向前差分：要看左上斜線上函數值對應的自變量值對向后差分：要看左下斜線上函數值對應的自變量值

34、對中心差分：要看左方水平線上的自變量值，若正好 是空檔，則是相鄰兩個自變量值的算術 平均值。 作y = ln x的差分表，步長h = 0.1 向前線51第章 表5-6 差分計算舉例例4-0.1053610.9060.1差分的性質差分有一些重要性質，常用的有（與微分形式相似）：（2）各階差分均可表成函數值的線性組合。（1）各階差分均具有線性性，即若f (x)=a (x)+b (x)，則對任意正整數m，都有：52第章 差分的性質差分有一些重要性質，常用的有（與微分形式相似）：（差分的性質（續1）（3）各種差分之間可以互化，這由差分表即可看出。向后差分與中心差分化成向前 差分的公式如下： （4）可用

35、差分表示差商。 53第章 差分的性質（續1）（3）各種差分之間可以互化，這由差分表即可差分的性質（續2）一般地有： 結合式（5-14），可得差分與導數的關系：54第章 差分的性質（續2）一般地有： 結合式（5-14），可得差分與 如果插值節點是等距的，則插值公式可用差分表示。但在進行插值時，一般不可能將給出的所有點都作為插值點，總是希望運用較少的點達到應有的精度，所以，當被插值點靠近數據表頭時，當然考慮用表初的那些點作為插值點，而當被插值點接近數據表尾時，應先選用表尾的那些點作插值點，這樣就有Newton向前及向后插值公式。2.4 等距節點插值公式 設已知節點xk =x0+kh (k=0,1,2,n)，將式（5-15）代入插值公（5-12），得：55第章 如果插值節點是等距的，則插值公式可用差分表示Newton向前插值公式式（5-17）稱為Newton向前插值公式，其余項為：若令x =x0+th，則上式又可變形為：56第章 Newton向前插值公式式（5-17）稱為Newton向前插Newton向后插值公式 完全類似地，也可以用向后差分表示Newt