1、PAGE PAGE - 16 -用心 愛心 專心第四章 第3節 圓周運動及其運用【例1】 (2011湛江模擬)如圖所示，一種向自行車車燈供電的小發電機的上端有一半徑r0=1.0 cm的摩擦小輪，小輪與自行車車輪的邊沿接觸.當車輪轉動時，因摩擦而帶動小輪轉動，從而為發電機提供動力.自行車車輪的半徑R1=35 cm，小齒輪的半徑R2=4.0 cm，大齒輪的半徑R3=10.0 cm.求大齒輪的轉速n1和摩擦小輪的轉速n2之比.(假定摩擦小輪與自行車車輪之間無相對滑動)【答案】2175【詳解】大小齒輪間、摩擦小輪和車輪之間和皮帶傳動原理相同，兩輪邊沿各點的線速度大小相等，由v=2nr可知轉速n和半徑r

2、成反比；小齒輪和車輪同軸轉動，兩輪上各點的轉速相同.大齒輪與小齒輪轉速之間的關系為:n1n小=R2R3.車輪與小齒輪之間的轉速關系為:n車=n小.車輪與摩擦小輪之間的關系為:n車n2=r0R1.由以上各式可解出大齒輪和摩擦小輪之間的轉速之比為:n1n2=2175.【例2】(2011福州模擬)小球在半徑為R的光滑半球內做水平面內的勻速圓周運動，試分析圖中的(小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角)與線速度v、周期T的關系.(小球的半徑遠小于R)【詳解】小球做勻速圓周運動的圓心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F是重力G和支持力FN的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平.如圖所示,有

3、:mgtan= =mRsin2,由此可得： (式中h為小球軌道平面到球心的高度)可見，越大(即軌跡所在平面越高)，v越大，T越小.【例3】如圖所示，放置在水平地面上的支架質量為M，支架頂端用細線拴著的擺球質量為m，現將擺球拉至水平位置，而后釋放，擺球運動過程中，支架始終不動，以下說法正確的是( )A.在釋放前的瞬間，支架對地面的壓力為(mM)gB.在釋放前的瞬間，支架對地面的壓力為MgC.擺球到達最低點時，支架對地面的壓力為(mM)gD.擺球到達最低點時，支架對地面的壓力為(3mM)g【答案】選B、D.【詳解】在釋放前的瞬間繩拉力為零,對M：對地面的壓力F=Mg；當擺球運動到最低點時，由機械能

4、守恒得由牛頓第二定律得： 由得繩對小球的拉力FT=3mg對支架M由受力平衡，地面支持力FN=Mg3mg由牛頓第三定律知，支架對地面的壓力FN23mgMg，故選項B、D正確.【鞏固練習】1.（2011.安徽高考）一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替。如圖（a）所示，曲線上的A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫做A點的曲率圓，其半徑叫做A點的曲率半徑。現將一物體沿與水平面成角的方向已速度0拋出，如圖（b）所示。則在其軌跡最高點p處的曲率半徑是A. B.C. D.【答案】選C.【

5、詳解】物體做斜上拋運動，最高點速度即為斜上拋的水平速度，最高點重力提供向心力，由兩式得。2.（2011海南物理T15）如圖，水平地面上有一個坑，其豎直截面為半圓。ab為沿水平方向的直徑。若在a點以初速度沿ab方向拋出一小球， 小球會擊中坑壁上的c點。已知c點與水平地面的距離為圓半徑的一半，求圓的半徑。【答案】【詳解】如圖所示，則小球做平拋運動的水平位移豎直位移根據，聯立以上兩式解得3. （2010上海理綜）8如圖是位于錦江樂園的摩天輪，高度為108m，直徑是98m。一質量為50kg的游客乘坐該摩天輪做勻速圓周運動旋轉一圈需25min。如果以地面為零勢能面，則他到達最高處時的（取g=10m/s2

6、）（ ）。A重力勢能為5.4104J，角速度為0.2rad/sB重力勢能為4.9104J，角速度為0.2rad/sC重力勢能為5.4104J，角速度為4.210-3rad/sD重力勢能為4.9104J，角速度為4.210-3rad/s答案：C4.（2010江蘇卷）14. (16分)在游樂節目中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進行了討論。如圖所示，他們將選手簡化為質量m=60kg的指點， 選手抓住繩由靜止開始擺動，此事繩與豎直方向夾角=，繩的懸掛點O距水面的高度為H=3m.不考慮空氣阻力和繩的質量，浮臺露出水面的高度不計，水足夠深。取中立加速度， ，求選手擺到

7、最低點時對繩拉力的大小F；若繩長l=2m, 選手擺到最高點時松手落入手中。設水碓選手的平均浮力，平均阻力，求選手落入水中的深度；若選手擺到最低點時松手， 小明認為繩越長，在浮臺上的落點距岸邊越遠；小陽認為繩越短，落點距岸邊越遠，請通過推算說明你的觀點。【解析】（1）機械能守恒 圓周運動Fmgm解得F（32cos）mg人對繩的拉力FF則F1080N（2）動能定理 mg（Hlcosd）（f1f2）d0則d=解得(3)選手從最低點開始做平拋運動x=vtH-l=且有式解得當時，x有最大值，解得l=1.5m因此，兩人的看法均不正確。當繩長鉞接近1.5m時，落點距岸邊越遠。本題考查機械能守恒，圓周運動向心

8、力，動能定理，平拋運動規律及求極值問題。難度：較難。5. （2010重慶卷）24.（18分）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動。當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地。如題24圖所示。已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為d,重力加速度為g。忽略手的運動半徑和空氣阻力。（1）求繩斷時球的速度大小和球落地時的速度大小。（2）向繩能承受的最大拉力多大？（3）改變繩長，使球重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應是多少？最大水平距離為多少？解析：（1）設繩段后球

9、飛行時間為t，由平拋運動規律，有豎直方向，水平方向得由機械能守恒定律，有得（2）設繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小。球做圓周運動的半徑為由圓周運動向心力公式，有 得 （3）設繩長尾l，繩斷時球的速度大小為，繩承受的最大推力不變，有 得繩斷后球做平拋運動，豎直位移為，水平位移為x，時間為有 得 當時，有極大值，6.（09上海43）右圖為一種早期的自行車，這種下帶鏈條傳動的自行車前輪的直徑很大，這樣的設計在當時主要是為了 （ A ）A.提高速度 B.提高穩定性C.騎行方便 D.減小阻力7. (09廣東文科基礎57) 圖7所示是一個玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三個點。當陀螺

10、繞垂直于地面的軸線以角速度穩定旋轉時，下列表述正確的是 （ B ）Aa、b和c三點的線速度大小相等 Ba、b和c三點的角速度相等Ca、b的角速度比c的大 Dc的線速度比a、b的大8.（09安徽24）（20分）過山車是游樂場中常見的設施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑、。一個質量為kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以的初速度沿軌道向右運動，A、B間距m。小球與水平軌道間的動摩擦因數，圓形軌道是光滑的。假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取，計算結果保留小數點后一

11、位數字。試求 （1）小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小； （2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應是多少； （3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設計中，半徑應滿足的條件；小球最終停留點與起點的距離。答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 當時， ；當時， 解析：（1）設小于經過第一個圓軌道的最高點時的速度為v1根據動能定理 小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據牛頓第二定律 由得 （2）設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v2，由題意 由得 （3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：I軌道半徑較小時

12、，小球恰能通過第三個圓軌道，設在最高點的速度為v3，應滿足 由得 II軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R3，根據動能定理 解得 為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應滿足 解得 R3=27.9m綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件 或 當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L，則 當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L，則 9.（09浙江24）（18分）某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽。比賽路徑如圖所示，賽車從起點A出發，沿水平直線軌道運動L后，由B點進入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續在光滑平直軌道上運動到C點，并能越過壕溝。已知賽車

13、質量m=0.1kg，通電后以額定功率P=1.5w工作，進入豎直軌道前受到阻力恒為0.3N，隨后在運動中受到的阻力均可不記。圖中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m。問：要使賽車完成比賽，電動機至少工作多長時間？（取g=10 ）答案：2.53s解析：本題考查平拋、圓周運動和功能關系。設賽車越過壕溝需要的最小速度為v1，由平拋運動的規律 解得 設賽車恰好越過圓軌道，對應圓軌道最高點的速度為v2，最低點的速度為v3，由牛頓第二定律及機械能守恒定律 解得 m/s通過分析比較，賽車要完成比賽，在進入圓軌道前的速度最小應該是 m/s設電動機工作時間至少為t，根據功能原理 由此可

14、得 t=2.53s10.（09四川25） (20分)如圖所示，輕彈簧一端連于固定點O，可在豎直平面內自由轉動，另一端連接一帶電小球P,其質量m=210-2 kg,電荷量q=0.2 C.將彈簧拉至水平后，以初速度V0=20 m/s豎直向下射出小球P,小球P到達O點的正下方O1點時速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O1相距R=1.5 m,小球P在O1點與另一由細繩懸掛的、不帶電的、質量M=1.610-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細繩，同時在空間加上豎直向上的勻強電場E和垂直于紙面的磁感應強度B=1T的弱強磁場。此后，小球P在豎直平面內做半徑r=0.5

15、 m的圓周運動。小球P、N均可視為質點，小球P的電荷量保持不變，不計空氣阻力，取g=10 m/s2。那么，（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？（2）請通過計算并比較相關物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時刻具有相同的速度。(3)若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時刻具有相同速度的前提下，請推導出r的表達式(要求用B、q、m、表示，其中為小球N的運動速度與水平方向的夾角)。解析：（1）設彈簧的彈力做功為W，有：代入數據，得：WJ （2）由題給條件知，N碰后作平拋運動，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷。設P、N碰后的速度大小分別為v1和V，并令水平向右為正方向，

16、有: 而： 若P、N碰后速度同向時，計算可得VFB B.FAmg【答案】選A.【詳解】天車運動到P處突然停止后，A、B各以天車上的懸點為圓心做圓周運動，線速度相同而半徑不同，由，得：，因為m相等，v相等，而LAFB，A選項正確.3如圖所示是一種娛樂設施“魔盤”，而且畫面反映的是魔盤旋轉轉速較大時，盤中人的情景甲、乙、丙三位同學看了圖后發生爭論，甲說：“圖畫錯了，做圓周運動的物體受到向心力的作用，魔盤上的人應該向中心靠攏”乙說：“圖畫得對，因為旋轉的魔盤給人離心力，所以人向盤邊緣靠攏”丙說：“圖畫得對，當盤對人的摩擦力不能滿足人做圓周運動的向心力時，人會逐漸遠離圓心”該三位同學的說法應是()A甲

17、正確B乙正確C丙正確D無法判斷【答案】C【詳解】人在水平魔盤上做勻速圓周運動時，靜摩擦力提供向心力，轉速增大到一定值，最大靜摩擦力不足以提供向心力，人將做離心運動，所以丙的說法正確4一小球用一不可伸縮且柔軟的輕繩拉著在豎直平面內做圓周運動，不計空氣阻力，下面說法中正確的是()A小球在豎直平面內做勻速圓周運動B小球的機械能一定守恒C小球的向心加速度的大小一定是變化的D小球的向心加速度的大小一定是不變的【答案】BC【詳解】不計空氣阻力，輕繩的拉力不做功，因此小球的機械能守恒，高度增大時速度減小，A錯B對；小球的向心加速度aeq f(v2,R)隨速度的變化而變化，C正確D錯考查圓周運動的向心加速度、

18、機械能守恒等知識點，本題較易5中央電視臺今日說法欄目報道了一起發生在湖南長沙某區湘府路上的離奇交通事故家住公路拐彎處的張先生和李先生家在三個月內連續遭遇七次大卡車側翻在自家門口的場面，第八次有輛卡車沖撞進李先生家，造成三死一傷和房屋嚴重損毀的血腥慘案經公安部門和交通部門協力調查，畫出的現場示意圖如圖14所示交警根據圖示作出以下判斷，你認為正確的是()A由圖可知汽車在拐彎時發生側翻是因為車做離心運動B由圖可知汽車在拐彎時發生側翻是因為車做向心運動C公路在設計上可能內(東)高外(西)低D公路在設計上可能外(西)高內(東)低【答案】AC【詳解】汽車進入民宅，遠離圓心，因而車作離心運動，A對，B錯汽車

19、在水平公路上拐彎時，靜摩擦力提供向心力，此處，汽車以與水平公路上相同速度拐彎，易發生側翻，摩擦力不足以提供向心力；也可能是路面設計不太合理，內高外低重力沿斜面方向的分力背離圓心而致，C對，D錯6如圖所示為某一皮帶傳動裝置主動輪的半徑為r1，從動輪的半徑為r2.已知主動輪做順時針轉動，轉速為n，轉動過程中皮帶不打滑下列說法正確的是()A從動輪做順時針轉動B從動輪做逆時針轉動C從動輪的轉速為eq f(r1,r2)nD從動輪的轉速為eq f(r2,r1)n【答案】BC【詳解】因為主動輪順時針轉動，從動輪通過皮帶的摩擦力帶動轉動，所以從動輪逆時針轉動，A錯誤，B正確；由于通過皮帶傳動，皮帶與輪邊緣接觸

20、處的速度相等，所以由2nr12n2r2，得從動輪的轉速為n2eq f(nr1,r2)，C正確，D錯誤7皮帶傳送機傳送礦石的速度v大小恒定，在輪緣A處礦石和皮帶恰好分離，如圖所示若輪子的半徑為R，則通過A點的半徑OA和豎直方向OB的夾角為()Aarcsin eq f(v2,Rg) Barccot eq f(v2,Rg)Carctan eq f(v2,Rg) Darccos eq f(v2,Rg)【答案】D【詳解】礦石和皮帶分離時兩者之間的彈力為零，將重力沿半徑OA方向和垂直于OA的方向分解，有mgcos meq f(v2,R)，則arccos eq f(v2,Rg)，D正確8如圖所示，質量為m的

21、小球在豎直平面內的光滑圓環軌道上做圓周運動圓環半徑為R，小球經過圓環最高點時剛好不脫離圓環，則其通過最高點時()A小球對圓環的壓力大小等于mgB小球受到的向心力等于0C小球的線速度大小等于eq r(gR)D小球的向心加速度大小等于g【答案】CD【詳解】小球在最高點時剛好不脫離圓環，則圓環剛好對小球沒有作用力，小球只受重力作用，重力豎直向下且過圓心，根據牛頓第二定律得小球的向心加速度大小為aeq f(mg,m)g，此時小球滿足mgeq f(mv2,R)，得veq r(gR).9.(2011惠州模擬)甲、乙兩名溜冰運動員，面對面拉著彈簧測力計做圓周運動.已知M甲=80 kg，M乙=40 kg，兩人

22、相距0.9 m，彈簧測力計的示數為96 N，下列判斷中正確的是( )A.兩人的線速度相同，約為40 m/sB.兩人的角速度相同，為2 rad/sC.兩人的運動半徑相同，都是0.45 mD.兩人的運動半徑不同，甲為0.3 m，乙為0.6 m【答案】選B、D.【詳解】兩人旋轉一周的時間相同，故兩人的角速度相同，兩人做圓周運動所需的向心力相同，由F=m2r可知，旋轉半徑滿足：r甲r乙=M乙M甲=12，又r甲r乙=0.9 m，則r甲=0.3 m，r乙=0.6 m.兩人的角速度相同，則v甲v乙=12.由F=M甲2r甲可得=2 rad/s.故選項B、D正確.10.如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內做

23、圓周運動，管道內側壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法中正確的是( )A.小球通過最高點時的最小速度B.小球通過最高點時的最小速度vmin=0C.小球在水平線ab以下的管道中運動時，內側管壁對小球一定無作用力D.小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力【答案】選B、C.【詳解】小球沿管上升到最高點的速度可以為零，故A錯誤，B正確；小球在水平線ab以下的管道中運動時，由外側管壁對小球的作用力FN與球重力在背離圓心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即：，因此，外側管壁一定對球有作用力，而內側管壁無作用力，C正確；小球在水平線ab以上的管道中運動時，小球受管壁的作用力與小球速度大小有關，D錯誤.11如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO轉動，筒內壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內壁A點的高度為筒高的一半，內壁上有一質量為m的小物塊求：(1)當筒不轉動時，物塊靜止在筒壁A點受到的摩擦