1、分數階微積分的產生及演變第1頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一 分數階微積分是一個古老而新鮮的概念。早在整數階微積分創立的初期，就有一些數學家，如Lhospital、Leibniz等開始考慮它的含義。然而，由于缺乏應用背景支撐等多方面的原因，它長期以來并沒有得到較多的關注和研究。隨著自然科學和社會科學的發展、復雜工程應用需求的增加，尤其是20世紀七八十年代以來對分形和各種復雜系統的深入研究，分數階微積分理論及其應用開始受到廣泛關注。一 引言第2頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一 進入21世紀以來，分數階微積分建模方法和理論在高能物理、反常擴散、復

2、雜粘彈性材料力學本構關系、系統控制、流變性、地球物理、生物醫學工程、經濟學等諸多領域有了若干非常成功的應用，凸顯了其獨特優勢和不可代替性，其理論和應用研究在國際上已成為一個熱點。第3頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一 另外，分數階微積分的非局域性質，導致分數階導數控制方程數值模擬的計算量和存儲量隨問題規模的增大而增加得比相應整數階方程快得多，一些計算整數階方程十分有效的數值方法對分數階方程也完全失效。而且，目前大多數的分數階微積分方程模型還是唯象模型，其內在的物理和力學機理還不是很清楚，有待進一步的深入研究。第4頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一

3、 現在，基礎數學研究和工程應用研究中最常用的有以下四種分數階微積分的定義： Grunwald-Letnikov分數階微積分， Riemann-Liouville分數階微積分，Caputo型分數階導數和Riesz分數階微積分。 Grunwald-Letnikov定義是差分格式定義，與Riemann-Liouville等定義比較，該定義較少地被用于數學理論分析。然而，它在微積分方程理論和數值計算方面使用較多。 Riemann-Liouville定義采用微分積分形式，避免了極限求解，在數學理論研究中起著重要作用。第5頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一 為了方便實際問題的建模，

4、在黏彈性材料的研究中引入了另一種分手階微積分的定義，即Caputo微分。Caputo定義在建模應用及積分變換中滿足的初始條件以整數階微積分的形式給出，現在實際問題建模過程中廣泛應用Caputo定義。第6頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一二 Grunwald-Letnikov分數階微積分第7頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第8頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第9頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第10頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第11頁，共35頁，2022年，5月20

5、日，10點24分，星期一第12頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第13頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第14頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一三 Riemann-Liouville分數階微積分第15頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第16頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第17頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第18頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第19頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第20頁，共3

6、5頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第21頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第22頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一四 Caputo分數階微積分第23頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第24頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第25頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第26頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第27頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第28頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一五 空間分

7、數階拉普拉斯算子的Riesz定義第29頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一第30頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一六 總結分數階微積分的理論主要的研究內容包括：(1)分數階微積分定義的修正與完善?，F在分數階微積分的定義有十幾種，而這些定義之間又存在密切的聯系。但是，由于定義的使用范圍、涉及的初值條件等不相同，所以在應用方面存在一些不確定性，因此分數階微積分定義的分類與統一是一項非常有意義的開創性工作。第31頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一(2)分數階微積分的數值求解、分數階微積分定義的擴展與延伸(如分形導數的一些性質與分析

8、；正定分數階微積分的性質與應用)。(3)分數階微積分不同于整數階微積分的性質研究，分數階微積分的積分變換，如傅里葉變換、拉普拉斯變換、z變換等。以上都是分數階微積分理論研究的重要方向。 第32頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一 現在，雖然分數階微積分的定義已被提出，但是分數階微積分的理論體系還有待進一步的擴充與完善，如時間分數階微積分定義的統一問題?？臻g分數階導數的定義問題更為嚴重，在現階段，空間分數階微積分的定義在數值計算中較為使用的是Grunwald-Letnikov定義與Riesz-Feller定義，其次是Riemann-Liouville定義。多維空間分數階定義方面，比較成功的是分數階拉普拉斯定義，但是該定義也比較繁瑣，現階段還未見應用到微分方程的求解中。第33頁，共35頁，2022年，5月20日，10點24分，星期一 只有在分數階微積分的定義比較完善的情況下，分數階微積分才能更廣泛地應用于自然學科的各個