1、關(guān)注成長每一天 關(guān)注成長每一天 學(xué)大教育科技(北京)有限公司XueDaEducationTechnology(Beijing)Ltd長沙分公司德政園校區(qū)第一章函數(shù)第一講函數(shù)的概念【知識(shí)歸納】映射映射的定義：設(shè)A,B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有惟一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f:A-B.其中與A中的元素a對(duì)應(yīng)的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.一對(duì)一，多對(duì)一是映射但一對(duì)多顯然不是映射辨析：任意性：映射中的兩個(gè)集合A,B可以是數(shù)集、點(diǎn)集或由圖形組成的

2、集合等；有序性：映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個(gè)映射；存在性：映射中集合A的每一個(gè)元素在集合B中都有它的象；唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；封閉性：映射中集合A的任一元素的象都必須是B中的元素，不要求B中的每一個(gè)元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及對(duì)應(yīng)法則f,缺一不可；映射觀點(diǎn)下的函數(shù)概念如果A,B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射f：A-B就叫做A到B的函數(shù)，記作y=f(x),其中xA,yWB原象的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域，象的集合C(CB)叫做函數(shù)y=f(x)的值域函數(shù)符號(hào)y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”

3、，有時(shí)簡記作函數(shù)f(x).函數(shù)概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)記作：y=f(x),xwA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xwA叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.函數(shù)的表示方法1解析式：把常量和表示自變量的字母用一系列運(yùn)算符號(hào)連接起來，得到的式子叫做解析式.列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.學(xué)大教育科技(北京)有限公

4、司學(xué)大教育科技(北京)有限公司關(guān)注成長每一天 關(guān)注成長每一天 XueDaEducationTechnology(Beijing)Ltd長沙分公司德政園校區(qū)【經(jīng)典例題】例1以下給出的對(duì)應(yīng)是不是從集合A到B的映射？集合A=P|P是數(shù)軸上的點(diǎn)，集合B=R,對(duì)應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點(diǎn)與它所代表的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)；集合A=P|P是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，集合B=(x|y)|xWR,yWR，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)；集合A=x|x是三角形，集合B=x|x是圓，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：每一個(gè)三角形都對(duì)應(yīng)它的內(nèi)切圓；集合A=x|x是新華中學(xué)的班級(jí)，集合B=x|x是新華中學(xué)的學(xué)生，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：每一個(gè)班級(jí)都對(duì)應(yīng)班里的

5、學(xué)生.練1已知下列集合A到B的對(duì)應(yīng)，請(qǐng)判斷哪些是A到B的映射？并說明理由:A=N，B=Z，對(duì)應(yīng)法則：“取相反數(shù)”A=-1，0，2，B=-1，0,1/2,對(duì)應(yīng)法則：“取倒數(shù)”;A=1，2，3，4，5，B=R，對(duì)應(yīng)法則：“求平方根”A=|00900，B=x|0 x1,對(duì)應(yīng)法則：“取正弦”.例2函數(shù)y=f(x)表示()B.f(x)一定是解析式D.對(duì)于不同的x,y值也不同y等于f與x的乘積C.y是x的函數(shù)2下列各圖中，可表示函數(shù)y=f(x)的圖象的只可能是下列四種說法中，不正確的是()函數(shù)值域中每一個(gè)數(shù)都有定義域中的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確

6、定了若函數(shù)的定義域只含有一個(gè)元素，則值域也只含有一個(gè)元素已知f(x)=X2+4x+5,則f(2)=,f(-1)=已知f(x)=X2(xGR),表明的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”是，它是_一的函數(shù).XueDaEducationTechnology(Beijing)Ltd長沙分公司德政園校區(qū)第二講函數(shù)的定義域【知識(shí)歸納】函數(shù)的定義域：函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)有意義的自變量X的取值。(注：專指X的取值范圍。)函數(shù)定義域的求法：由函數(shù)的解析式確定函數(shù)的定義域；由實(shí)際問題確定的函數(shù)的定義域；不給出函數(shù)的解析式，而由f(x)的定義域確定函數(shù)fg(x)的定義域。注：1、具體函數(shù)的定義域若f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分

7、母不等于0的實(shí)數(shù)集；若f(x)是偶次根式，則函數(shù)的定義域是使(被開方數(shù))根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)集合;若f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則函數(shù)的真數(shù)要大于0；若f(x)xo，則x不等于0。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的底大于零且不等于1.正切函數(shù)的角的終邊不能在y軸上.分段函數(shù)：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.復(fù)合函數(shù)定義域的求法：已知yf(x)的定義域是A，求yf倉)的定義域的方法為解不等式：(x)GA，求出x的取值范圍.已知yf(x)的定義域?yàn)锳，求yf(x)的定義域的方法：xGA，求(x)的取值范圍即可.若f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是

8、使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合;若f(x)是由實(shí)際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題.2、抽象函數(shù)的定義域求解：學(xué)大教育科技（北京）有限公司學(xué)大教育科技（北京）有限公司關(guān)注成長每一天 關(guān)注成長每一天 #XueDaEducationTechnology（Beijing）Ltd長沙分公司德政園校區(qū)不管括號(hào)內(nèi)是什么，定義域是指x的范圍；無論括號(hào)內(nèi)是什么，括號(hào)的整體范圍不變。3、區(qū)間表示法：設(shè)a，bR，且ab.滿足a,x,b的全體實(shí)數(shù)x的集合，叫做閉區(qū)間，記作la,b.滿足axb的全體實(shí)數(shù)x的集合，叫做開區(qū)間，記作（a,b）.滿足ax,b或a,xb的全體實(shí)數(shù)x的集合，都叫做半開半閉區(qū)間，

9、記作（a,方或,b）.a與b叫做區(qū)間的端點(diǎn)，在數(shù)軸上表示時(shí)，包括端點(diǎn)時(shí)，用實(shí)心的點(diǎn)，不包括時(shí)用空心點(diǎn)表示.【經(jīng)典例題】例1.函數(shù)y=1-x+x的定義域?yàn)椋ˋ.x，10C.D.0，x，1學(xué)大教育科技（北京）有限公司學(xué)大教育科技（北京）有限公司關(guān)注成長每一天 #關(guān)注成長每一天 #c.（Y,-1）（-1,0）D.（7,-1）（-1,0）（0,+8）例2.函數(shù)f）=丫的定義域是（A.（0,+s）B.（Y,0）學(xué)大教育科技（北京）有限公司學(xué)大教育科技（北京）有限公司關(guān)注成長每一天 #關(guān)注成長每一天 #學(xué)大教育科技（北京）有限公司學(xué)大教育科技（北京）有限公司關(guān)注成長每一天 #關(guān)注成長每一天 #例5.已知f

10、1-2x）求函數(shù)f的定義域是?x”-1或x”-2例3.若函數(shù)卜=f6卜】）的定義域是-2,3貝卜=f2x】）的定義域是（）C.-5,5例4已知函數(shù)人Lx+1,則函數(shù)ff的定義域是（）A.4x”-Jb.Lx”-2C.fxx”-1且x”-2D.L學(xué)大教育科技（北京）有限公司學(xué)大教育科技（北京）有限公司關(guān)注成長每一天 #關(guān)注成長每一天 #學(xué)大教育科技（北京）有限公司學(xué)大教育科技（北京）有限公司關(guān)注成長每一天 #關(guān)注成長每一天 #例6.若函數(shù)y=kx2一6x+（k+8）的定義域是R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.學(xué)大教育科技(北京)有限公司學(xué)大教育科技(北京)有限公司關(guān)注成長每一天 #關(guān)注成長每一天 XueDa

11、EducationTechnology(Beijing)Ltd長沙分公司德政園校區(qū)1+xf(x+1)x例7已知函數(shù)/(x)，匕，求函數(shù)F(x)，丿,1丿+的定義域.1一x2x+12例8.已知函數(shù)f(x)，a-2x+b-3x，其中常數(shù)a,b滿足ab0.(1)若ab0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若ab0，求f(x+1)f(x)時(shí)x的取值范圍.【鞏固練習(xí)】1函數(shù)y，x(x1)+x的定義域?yàn)?)2.B.xxJC.ix1!j0的定義域?yàn)閷W(xué)大教育科技(北京)有限公司學(xué)大教育科技(北京)有限公司關(guān)注成長每一天 #關(guān)注成長每一天 #學(xué)大教育科技(北京)有限公司學(xué)大教育科技(北京)有限公司關(guān)注成長每一天

12、關(guān)注成長每一天 3.已知函數(shù)fG)的定義域?yàn)镮2,2求函數(shù)fbx)的定義域;”1求函數(shù)f,x1的定義域.4.已知函數(shù)fx24)勺定義域xwb，5,則函數(shù)fG)的定義域是？5如果函數(shù)f0=6+1%x)的圖像在x軸上方，則f(x)的定義域?yàn)?x1A.B.x1D.).x1且x1116.(1)已知a,x,y,zR+,a1，設(shè)x，a1-igay,y，a1-logaz,用a,x表示z.(2)設(shè)-ABC的三邊分別為a,b,c，且方程x22x+lg(c2b2)2lga+1，0有等根，判斷學(xué)穴教肓21edu-canmXueDaEducationTechnology(Beijing)Ltd長沙分公司德政園校區(qū)AB

13、C的形狀第三講函數(shù)的值域【知識(shí)歸納】函數(shù)的值域：函數(shù)的值域是指在定義域的范圍內(nèi)函數(shù)的取值范圍。(是指y的取值范圍。)函數(shù)值域的求法：見經(jīng)典例題中分類。【經(jīng)典例題】一.觀察法：對(duì)于一些比較簡單的函數(shù)，如正比例,反比例，一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，等等，通過對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y=3+V(23x)的值域。.反函數(shù)法：函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。,3x+4例2.求函數(shù)V_5x+6值域。配方法：數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí)，可以利用配方法求函數(shù)值域。例3.求函數(shù)V=x2-2x+5,xR的值域。判別式法：適用于二

14、次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù)，可用判別式法求函數(shù)的值域。使用判別式求函數(shù)值域的條件是自變量xGRo例4.求函數(shù)y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0,由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。特別注意轉(zhuǎn)化后的二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+bV(cx2+dx+e)的函數(shù)。五、均值不等式法：適用于二次型的分式函數(shù)。，使用均值不等式的條件是“一正，二定，三相等”。x+a/x三2Vxa/x=2Va(x0)；x+a/xW2Va(x0)。XueDaEducationTec

15、hnology(Beijing)Ltd長沙分公司德政園校區(qū)例5.求函數(shù)y=x2+x+l/x+l的值域。型：直接用不等式性質(zhì)+X2.y例：X2+X+x1+x2X2+X+型先化簡，再用均值不等式1x+xX2+X+型用判別式X2+x+型通常用判別式學(xué)大教育科技(北京)有限公司學(xué)大教育科技(北京)有限公司關(guān)注成長每一天 #關(guān)注成長每一天 #法二：用換元法，把分母替換掉例:X2+X+1X+1（X+1）2（x+1）+1X+1（x+1）+X+11211學(xué)大教育科技(北京)有限公司學(xué)大教育科技(北京)有限公司關(guān)注成長每一天 #關(guān)注成長每一天 #學(xué)大教育科技(北京)有限公司學(xué)大教育科技(北京)有限公司關(guān)注成長每

16、一天 關(guān)注成長每一天 #六、函數(shù)有界性法：直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。ex一1例6.求函數(shù)Vex+1的值域。七、倒數(shù)法：x+2例7.求函數(shù)Lx+3的值域八、單調(diào)法性法：利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。例8求函數(shù)y=4xVl-3x(xWl/3)的值域。九、換元法：新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。例9.求函數(shù)y=x-3+2x+l的值域。十、分離常數(shù)法：1一x例10.求函數(shù)y=2x+5的值域?qū)W大教育科技(北京)有限公司關(guān)注成長每一天 #關(guān)注成長每一天 XueDaEducationTechno

17、logy(Beijing)Ltd長沙分公司德政園校區(qū)【鞏固練習(xí)】TOC o 1-5 h z1函數(shù)y=1(X1)的值域是XA.(-，,0)(0,+，)B.RC.(0,1)D.(1,+，)走2.下列函數(shù)中，值域是(0,+，)的是A.y=x2一3x+1B.y=2x+1(x0)C.yx2+xX23.已知函數(shù)f(x)的值域是-2,2,則函數(shù)yf(x+1)的值域是A.-1,3B.3,1C.2,2D.1,14.f(x)=x2x,xe土1,2,3,則f(x)的值域是:5.函數(shù)yx一21x+2的值域?yàn)?1函數(shù)y的值域?yàn)?x2一2x+2求下列函數(shù)的值域(2)y2x2x1(3)yx2(2x0g(x)1,x0求fg(

18、x)和gf(x)的解析式。題型二、換元法例2、已知f(:；)1x2,，求f(x)的解析式練已知f(1sinx)sinx-cos2x，求f(x)的解析式題型三、配方法求函數(shù)解析式例3、已知f(x+1)x+2x,求f(x)及f(x+1)的解析式。學(xué)大教育科技(北京)有限公司關(guān)注成長每一天 關(guān)注成長每一天 #XueDaEducationTechnology(Beijing)Ltd長沙分公司德政園校區(qū)學(xué)穴教肓21edu.cam練已知f(X+1)=x3+1，求f(x)的解析式XX3題型四、待定系數(shù)法例4、已知f(x)=3x1,g(x)為一次函數(shù),fg(x)=2x+3,求g(x)的解析式練2、已知二次函數(shù)g(x)滿足g(1)二1，g(1)二5，圖像過原