1、2019屆重慶市高三5月調研（三調）數學（理）試題一、單選題1若復數滿足，其中是虛數單位，則（ ）ABCD【答案】D【解析】由變形得出，利用復數的除法法則得出復數的一般形式，利用共軛復數的定義得出復數【詳解】由，得，故選【點睛】本題考查復數的除法、共軛復數的概念，解決復數的問題，一般要利用復數的四則運算法則得出復數的一般形式，明確復數的實部與虛部，再根據復數的實部與虛部求解2已知集合，則實數的取值范圍是（ ）AB，CD，【答案】B【解析】考查與的大小關系，結合條件并利用數軸可得出實數的取值范圍。【詳解】集合，實數的取值范圍是，故選：【點睛】本題考查利用集合的交集運算求參數的取值范圍，這類問題的

2、求解就是利用數軸，考查端點之間的位置關系結合已知條件得出有關參數的不等式進行求解，屬于中等題。3已知函數，則曲線在點處的切線的傾斜角是（ ）ABCD【答案】B【解析】先求導，將代入導數，利用導數幾何意義即可求解【詳解】由，由故選：B【點睛】本題考查導數的幾何意義，屬于基礎題4某中學數學競賽培訓班共有10人，分為兩個小組，在一次模擬測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，已知甲乙兩組同學成績的平均數相同，則甲乙兩組同學成績的中位數之差的絕對值為（ ）A2BCD【答案】C【解析】利用平均數相等，得出，由莖葉圖中的數據，結合中位數的定義得出甲乙兩組的中位數，即可得出甲乙兩組同學成績的中位數之差的絕對值.

3、【詳解】因為甲乙兩組同學成績的平均數相同所以，解得由莖葉圖可知，甲組同學的中位數為：；乙組同學的中位數為：甲乙兩組同學成績的中位數之差的絕對值為故選：C【點睛】本題主要考查了由莖葉圖計算中位數以及利用平均數求參數，屬于基礎題.5已知兩條不同的直線，和一個平面，則使得“”成立的一個必要條件是（ ）A且B且C且D，與所成角相同【答案】D【解析】假設結合每個選項的第一個條件看能不能推出第二個條件。【詳解】若，若則或，故錯誤，若，當時或，故錯誤，若，且不一定成立，故錯誤，若則，與所成角相同，即正確，故選：【點睛】本題考查空間線面關系以及充分必要條件，考查空間思維能力，屬于中等題。6某幾何體的三視圖如圖

4、所示，則該幾何體的表面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】先由三視圖還原為實物圖，得知幾何體為直四棱錐，然后計算出每個面的面積，相加即可得出答案。【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為四棱錐，底面為邊長是2的正方形，側棱底面，且該幾何體的表面積為：故選：【點睛】本題考查三視圖以及簡單幾何體表面積的計算，解決這類問題的關鍵在于將三視圖還原為幾何體的實物圖，在還原的過程中遵循“長對正、高平齊、寬相等”的基本原則，考查空間思維能力，屬于中等題。7執行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為7，則框圖中處可以填入（ ）ABCD【答案】C【解析】根據程序框圖列出所有的循環步驟，最后一次循環中的滿足條件，以

5、及倒數第二次循環中不滿足條件來選擇四個選項中的判斷條件。【詳解】第一次循環：，不滿足條件，；第二次循環：，不滿足條件，；第三次循環：，不滿足條件，；第四次循環：，不滿足條件，；第五次循環：，不滿足條件，；第六次循環：，不滿足條件，；第七次循環：，滿足條件，輸出的值為7所以判斷框中的條件可填寫“”故選：【點睛】本題考查程序框圖中判斷條件的選擇，這種類型的問題一般要列舉出所有的循環步驟，利用最后一次和倒數第二次循環中變量滿足與不滿足來篩選判斷條件，考查邏輯推理能力，屬于中等題。8已知等腰梯形中，分別為，的中點，為的中點，若記，則（ ）ABCD【答案】B【解析】根據三角形法則可知，再根據梯形的中位線

6、定理可知，所以，即可求出【詳解】依題意得，再根據梯形的中位線定理可知，所以，故故選：B【點睛】本題主要考查用基底表示平面向量，考查平面向量的線性運算，屬于基礎題9函數，的部分圖象如圖所示，要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）A向左平移B向左平移C向右平移D向右平移【答案】C【解析】由函數的最值求出，將點代入函數的解析式求出，再將點代入該函數的解析式求出，得出，并利用誘導公式化為，再利用函數的圖象變化規律得出結論【詳解】由函數，的部分圖象，可得，由，可得，故可將函數的圖象向右平移個單位長度得到的圖象故選【點睛】本題考查由三角函數圖象求解析式、以及三角函數圖象變換，求圖象求三角函數的解析式的步

7、驟如下：（1）求、：，；（2）求：（其中為函數的最小正周期）；（3）求初相：代特殊點（最高點、最低點或對稱中心點）求10某地區甲、乙、丙三所單位進行招聘，其中甲單位招聘2名，乙單位招聘2名，丙單位招聘1名，并且甲單位要至少招聘一名男生，現有3男3女參加三所單位的招聘，則不同的錄取方案種數為（ ）A36B72C108D144【答案】D【解析】按三步分步進行，先考慮甲單位招聘，利用間接法，因為至少招聘一名男生，將只招女生的情況去掉，錄取方案數為，然后剩余四人依次分配給乙單位和丙單位，分別為、，然后根據分步乘法計數原理將三個數相乘可得出答案。【詳解】根據題意，分3步進行分析：單位甲在6人中任選2人招

8、聘，要求至少招聘一名男生，有種情況，單位乙在剩下的4人中任選2人招聘，有種情況，單位丙在剩下的2人中任選1人招聘，有種情況，則有種不同的錄取方案；故選：【點睛】本題考查排列組合問題，將問題分步驟處理和分類別討論，是兩種最基本的求解排列組合問題的方法，在解題的時候要審清題意，選擇合適的方法是解題的關鍵，著重考查學生分析問題和解決問題的能力，屬于中等題。11若函數，則的所有極大值點之和與所有極小值點之和的差為( )ABCD【答案】A【解析】對函數求導，在內解出方程，即為函數在所有的極值點，并分析函數在這些極值點附近的單調性，確定極大值點和極小值點，再將所有極大值點之和與所有極小值點之和作差可得出答

9、案。【詳解】函數，時，時，時遞增，時遞減，當時，取極小值，當時，取極大值，則的所有極大值點之和與所有極小值點為計算時可得；的所有極大值點：，的所有極小值點：，故：，故選：【點睛】本題考查函數的極值與導數，在確定極大值點和極小值點屬性時，要注意以下兩點：（1）除了令導數為零，解出相應的根之外，還要注意到導數圖象在軸要穿過此零點，否則不算極值點；（2）另外導數在其零點附近左正右負，該點為極大值點；左負右正，該點為極小值點。12已知直線與橢圓切于點，與圓交于點，圓在點處的切線交于點，為坐標原點，則的面積的最大值為（ ）AB2CD1【答案】A【解析】設點，利用四點，共圓，求得以為直徑的圓，與已知圓的方

10、程相減得出直線的方程，直線與過點的橢圓的切線重合，兩個方程相等，可得,，再由橢圓的參數方程和向量數量積的坐標表示和向量的模，結合三角形的面積公式和三角恒等變換以及三角函數的基本性質求出所求的最大值【詳解】設，由，可得四點，共圓，可得以為直徑的圓，方程為，聯立圓，相減可得的方程為，又與橢圓相切，可得過的切線方程為，即為，由兩直線重合的條件可得，由于在橢圓上，可設，即有，可得，且，即有，當即或或或時，的面積取得最大值故選【點睛】本題考查橢圓和圓的方程的應用，考查直線和橢圓、直線與圓相切的條件，以及運用參數方程和三角恒等變換公式是解題的關鍵，考查運算求解能力與分析問題的能力，屬于難題二、填空題13在

11、平面直角坐標系內，若角的終邊經過點，則_【答案】【解析】根據三角函數的定義求出和的值，再利用二倍角的正弦公式可計算出答案【詳解】角的終邊經過點，則，故答案為【點睛】本題考查任意角三角函數的定義以及二倍角公式，著重考查學生對于三角函數定義的理解以及三角公式的掌握情況，考查計算能力，屬于基礎題14在圓上任取一點，則該點到直線的距離不小于的概率為_【答案】【解析】先利用幾何法判斷出直線與圓相切，然后平移該直線，使得平移后的直線與圓相交于、兩點，并使得兩直線的距離為，計算出的大小，結合圖象知符合題中的點在劣弧，然后計算與周角的比例可得出答案。【詳解】如圖所示，圓的圓心到直線的距離為1，設所在直線與直線

12、平行，由到的距離為，得，在劣弧上，在圓上任取一點，則該點到直線的距離不小于的概率為故答案為：【點睛】本題考查幾何概型、直線與圓的位置關系，對于幾何概型的問題，關鍵是要找出臨界區域，本題中抓住點到直線的距離不小于，臨界位置就是點到直線的距離等于，可利用平移的方法得到，所以在求幾何概型問題的時候，一定要抓住這個“臨界位置”去進行分析。15雙曲線的左焦點為，過點作斜率為的直線與軸及雙曲線的右支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】由知為的中點，連接，利用中位線的性質得出，利用直線的斜率得出，可得出，由勾股定理得出，最后利用雙曲線的定義得出與的等量關系，從而可求出雙曲線離心率的值【詳解

13、】設雙曲線的右焦點為，連接，可得為的中點，即有軸，由題意可得，即有，可得，由雙曲線的定義可得，可得故答案為【點睛】本題考查雙曲線的離心率，充分分析焦點三角形的性質、利用三角形中相關定理以及雙曲線的定義來解題，是解本題的關鍵，綜合性較強，著重考查學生分析能力和運算求解能力，屬于中等題16已知數列中，對任意，成等差數列，公差為，則_【答案】5101【解析】由題意得出，兩式相加得，從而得出數列是等差數列，首項為，公差為，然后利用累加法求出，結合題中定義得出，可求出的值。【詳解】數列中，對任意，成等差數列，公差為，兩式相加得，所以，數列是等差數列，且首項為，公差為，所以，以上等式全部相加得，則，由題中

14、定義可得，則。故答案為：。【點睛】本題考查數列相關項的求解，本題中要充分利用數列的定義，本題中，在定義中，有兩個相鄰的偶數項，因此，利用累加法求出偶數項是解本題的關鍵，著重考查學生對數列定義以及數列通項公式求解方法的掌握情況，屬于難題。三、解答題17已知銳角中，角，所對的邊分別為，（1）求角；（2）若，求邊上的高長【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用內角和定理以及兩角和的正弦公式得，代入題干中的等式，經過化簡求出的值，即可得出角的值；（2）設邊上的高為，對角使用余弦定理求出，再利用三角形的面積公式得出，即可求出邊上的高【詳解】（1），（2）由余弦定理可得：，可得：，可得：，由等面積可得：，

15、可得：【點睛】本題考查余弦定理以及三角形的面積公式，在已知等式出出現三個角時，應充分利用內角和定理、誘導公式以及兩角和的正弦、余弦公式解題，另外在求高時，應轉化為面積問題，考查運算求解能力，屬于中等題18中國國際智能產業博覽會（智博會）每年在重慶市舉辦一屆，每年參加服務的志愿者分“嘉賓”、“法醫”等若干小組2018年底，來自重慶大學、西南大學、重慶醫科大學、西南政法大學的500名學生在重慶科技館多功能廳參加了“志愿者培訓”，如圖是四所大學參加培訓人數的不完整條形統計圖，現用分層抽樣的方法從中抽出50人作為2019年中國國際智博會服務的志愿者（1）若“嘉賓”小組需要2名志愿者，求這2人分別來自不

16、同大學的概率（結果用分數表示）（2）若法醫小組的3名志愿者只能從重慶醫科大學或西南政法大學抽出，用5表示抽出志愿者來自重慶醫科大學的人數，求的分布列.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）由分層抽樣的性質得出重慶大學、西南大學、重慶醫科大學、西南政法大學志愿者分別為15，20，10，5人，用減去2人都在同一所大學的概率，即可得出這2人分別來自不同大學的概率；（2）得出的可能取值，并算出對應的概率，即可得出的分布列.【詳解】解：（1）2019年中國國際智博會服務的志愿者中重慶醫科大學的人數為人則重慶大學、西南大學、重慶醫科大學、西南政法大學志愿者分別為15，20，10，5人所以.（2）的可能取

17、值為：0，1，2，3則分布列為：0123P【點睛】本題主要考查了利用古典概型概率公式計算概率以及求超幾何分布的分布列，屬于中檔題.19如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，與交于點，平面，（1）求證；平面平面（2）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明，由平面，得出，結合直線與平面垂直的判定定理證明平面，最后由平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（2）計算出平面的一個法向量，利用向量計算出向量與的夾角的余弦值，取其絕對值作為直線與平面所成角的正弦值【詳解】（1）以為原點，為軸，為軸，過

18、作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，0，0，平面，平面，面，平面，平面平面（2）以為原點，分別為，軸，建立空間直角坐標系，0，設平面的法向量，則，取，得，設直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題考查平面與平面垂直的判定、以及利用空間向量求解直線與平面所成的角，利用空間向量解決空間中線面關系、面面關系的證明以及空間角與距離的計算，關鍵就是要找準合適的位置建立空間直角坐標系，并列出相關點的坐標，通過向量建立數與形之間的關系20已知點在橢圓上，過點作軸于點（1）求線段的中點的軌跡的方程（2）設、兩點在（1）中軌跡上，點，兩直線與的斜率之積為，且（1）中軌跡上存在點滿足，當面積

19、最小時，求直線的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）設線段的中點為，得出點的坐標為，然后代入橢圓方程并化簡后得出所求軌跡方程；（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓聯立，消去，并列出韋達定理，利用直線和的斜率之積得出，可得出，由知，于是得出直線的方程為，將該直線與橢圓方程聯立并結合兩點間的距離公式得出，最后利用三角形的面積公式以及基本不等式求出面積的最小值，利用基本不等式等號成立的條件求出的值，即可求出直線的方程。【詳解】（1）設線段的中點為，則，即；（2）設直線，聯立，得，得到則為，解得，同理，當，即時，有最小值為此時直線的方程為【點睛】本題考查軌跡方程的求解、直線與橢圓的綜合

20、問題，求解直線與圓錐曲線的綜合問題，聯立與韋達定理法是常見解法，弄清楚這種方法的應用情形，另外在求最值時，常用基本不等式法，此外，二次函數法、單調性法以及三角換元法等都是常用方法。21已知，函數有兩個不同的極值點，（1）求的取值范圍；（2）證明：【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）求函數的定義域，以及導數，將問題轉化為導數方程，轉化為二次方程在上有兩個不等的實根，再分析、對稱軸以及二次函數在處函數值的正負，列出有關的不等式組解出即可；（2）由、為二次方程的兩根，列出韋達定理，再將韋達定理代入代數式，經過化簡得出關于的函數，并令，轉化為關于的函數，再利用導數結合單調性證明結論成立【詳解】（

21、1），函數 定義域：，函數有兩個不同的極值點，對于中的應滿足三個條件：，由可得的取值范圍：，（2）證明：，得：，令，則，將其令為即：，則有：，在定義域是單調遞減的函數，（4），在定義域也是單調遞減的函數，（4）即：得證【點睛】本題考查導數與函數的極值，本題的關鍵在于根據極值點與二次方程根據系數的關系，結合韋達定理代入將所求代數式轉化為有關參數的函數，借助導數來證明，考查分析問題以及運算求解能力，屬于難題22在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數且，曲線的參數方程為為參數），以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求的普通方程及的直角坐標方程；（2）若曲線與曲線分別交于點，求的最大值【答案】（1）：，：；（2）【解析】（1