1、10.1 隨機(jī)事件與概率(精練)【題組一 事件類型的判斷】1(2021全國高一課時(shí)練習(xí))下列事件是必然事件的是( )A從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到標(biāo)有數(shù)字4的標(biāo)簽B函數(shù)ylogax(a0且a1)為增函數(shù)C平行于同一條直線的兩條直線平行D隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，得2x1時(shí),函數(shù)ylogax為增函數(shù)，當(dāng)0al時(shí),函數(shù)ylogax為減函數(shù).C是必然事件，實(shí)質(zhì)是平行公理.D為不可能事件，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像可得，對任意實(shí)數(shù)x,都有.選故：C2(2021陜西咸陽高一期末)下列事件是隨機(jī)事件的是( )連續(xù)兩次擲一枚硬幣，兩次都出現(xiàn)正面向上；異性電荷相互吸引；在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在時(shí)結(jié)

2、冰；任意擲一粒均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù).ABCD【答案】D【解析】中的事件為隨機(jī)事件，中的事件為必然事件，中的事件為不可能事件.故選：D.3(2021全國高二課時(shí)練習(xí))袋中有2個(gè)黑球、6個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是( )A取到的球的個(gè)數(shù) B取到紅球的個(gè)數(shù)C至少取到1個(gè)紅球 D至少取到1個(gè)紅球的概率【答案】B【解析】A的取值不具有隨機(jī)性，C是一個(gè)事件而非隨機(jī)變量，D中概率值是一個(gè)定值而非隨機(jī)變量，只有B滿足要求故選：B4(2021全國高一課時(shí)練習(xí))(多選)下列事件是隨機(jī)事件的是( )A函數(shù)f(x)x22xa的圖象關(guān)于直線x1對稱B某人給其朋友打電話，卻忘記了朋友電話號(hào)碼的最后一

3、個(gè)數(shù)字，就隨意撥了一個(gè)數(shù)字，恰巧是朋友的電話號(hào)碼C直線ykx6是定義在R上的增函數(shù)D某人購買福利彩票一注，中獎(jiǎng)500萬元【答案】BCD【解析】A.根據(jù)二次函數(shù) 的對稱軸為 ，可得f(x)x22xa圖像關(guān)于x1對稱，是必然事件；B.因?yàn)橥涀詈笠粋€(gè)數(shù)字，隨意撥了一個(gè)數(shù)字，故是隨機(jī)事件；C.因?yàn)?的不確定，所以也有可能是減函數(shù)；D.彩票由很多張，買了一張中獎(jiǎng)，當(dāng)然是隨機(jī)事件；所以A為必然事件；B，C，D為隨機(jī)事件故選：BCD5(2021全國高一專題練習(xí))(多選題)在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中是隨機(jī)事件的是( )A3件都是正品B至少有1件次品C3件都是次品D至少有1件正品【

4、答案】AB【解析】25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，則“3件都是次品”不是隨機(jī)事件，是不可能事件，又25件產(chǎn)品中只有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，則“至少有1件正品”為必然事件，而A，B是隨機(jī)事件故選：AB6(2021全國高一課時(shí)練習(xí))指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件：(1)某人購買福利彩票一注，中獎(jiǎng)萬元；(2)三角形的內(nèi)角和為；(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；(4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面向上；(5)從分別標(biāo)有、的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號(hào)標(biāo)簽；(6)科學(xué)技術(shù)達(dá)到一定水平后，不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”將會(huì)出現(xiàn)【答案】(1)隨機(jī)事件；(2)必然事件

5、；(3)不可能事件；(4)隨機(jī)事件；(5)隨機(jī)事件；(6)不可能事件.【解析】(1)購買一注彩票，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，所以是隨機(jī)事件；(2)所有三角形的內(nèi)角和均為，所以是必然事件；(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可能事件；(4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，不一定都是正面向上，所以是隨機(jī)事件；(5)任意抽取，可能得到、號(hào)標(biāo)簽中的任一張，所以是隨機(jī)事件；(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”不會(huì)出現(xiàn)，所以是不可能事件【題組二 確定樣本空間】1(2021浙江臺(tái)州市路橋區(qū)東方理想學(xué)校 )集合A2，3，B1，2，4，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)兩位

6、數(shù)，則所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )A8B9C12D11【答案】D【解析】根據(jù)題意，所有樣本點(diǎn)為：21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43，共11個(gè)，故選：D2(2021河北承德第一中學(xué) 開學(xué)考試)同時(shí)擲兩枚大小相同的骰子，用(x，y)表示結(jié)果，記事件A為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)是( )A3B4C5D6【答案】D【解析】因?yàn)槭录嗀(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共包含6個(gè)樣本點(diǎn)3(2021黑龍江哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高一期末)做試驗(yàn)“從一個(gè)裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取兩次小球，每次取一個(gè)，構(gòu)

7、成有序數(shù)對(x，y)，x為第一次取到的小球上的數(shù)字，y為第二次取到的小球上的數(shù)字”.(1)求這個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)寫出“第一次取出的小球上的數(shù)字是2”這一事件.【答案】(1)12；(2)(2，1)，(2，3)，(2，4).【解析】(1)當(dāng)x=1時(shí)，y=2，3，4；當(dāng)x=2時(shí)，y=1，3，4；同理當(dāng)x=3，4時(shí)，也各有3個(gè)不同的有序數(shù)對，所以共有12個(gè)不同的有序數(shù)對.故這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12.(2)記“第一次取出的小球上的數(shù)字是2”為事件A，則A=(2，1)，(2，3)，(2，4).4(2021全國高一課時(shí)練習(xí))寫出下列各隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：(1)采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，

8、并記錄其性別；(2)采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，觀察其ABO血型；(3)隨機(jī)選擇一個(gè)有兩個(gè)小孩的家庭，觀察兩個(gè)孩子的性別；(4)射擊靶3次，觀察各次射擊中靶或脫靶情況；(5)射擊靶3次，觀察中靶的次數(shù).【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)詳見解析(4)詳見解析(5)詳見解析【解析】(1)一名同學(xué)的性別有兩種可能結(jié)果：男或女.故該試驗(yàn)的樣本室間可以表示為男，女；(2)一名同學(xué)的血型有四種可能結(jié)果：A型、B型、AB型、O型.故該試驗(yàn)的樣本空間可表示為；(3)每個(gè)小孩的性別有男或女兩種可能，兩個(gè)小孩的性別情況有四種可能，故該試驗(yàn)的樣本空間可表示為(男、男)，(男，女)，(女，男)，(女，

9、女)；(4)每次射擊有中靶或脫靶兩種可能，射擊3次有八種可能，用1表示中靶，用0表示脫靶，該試驗(yàn)的樣本空間可表示為；(5)射擊3次，中靶的次數(shù)可能是0，1，2，3，故該試驗(yàn)的樣本空間可以表示為.5(2021全國高一課時(shí)練習(xí))袋子中有4個(gè)大小和質(zhì)地相同的球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄球的編號(hào)，先后摸兩次.(1)若第一次摸出的球不放回，寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)若第一次摸出的球放回，寫出試驗(yàn)的樣本空間.【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】用m表示第一次摸出球的編號(hào)，用n表示第二次摸出球的編號(hào)，則樣本點(diǎn)可用，表示.(1)若第一次摸出的球不放回，則，此時(shí)的樣本空間可表示為，

10、共有12個(gè)樣本點(diǎn).(2)若第一次摸出的球放回，則m，n可以相同.此時(shí)試驗(yàn)的樣本空間可表示為，共有16個(gè)樣本點(diǎn).6(2021全國高一課時(shí)練習(xí))如圖，一個(gè)電路中有A，B，C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效，把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個(gè)電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個(gè)元件正常”；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】分別用和表示元件A，B和C的可能狀態(tài)，則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用表示，進(jìn)一步地，用1表示元件的“正常”狀態(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)。(1)則樣本空間如圖，還可以借

11、助樹狀圖幫助我們列出試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(2)“恰好兩個(gè)元件正常”等價(jià)于，且中恰有兩個(gè)為1，所以.“電路是通路”等價(jià)于，且中至少有一個(gè)是1，所以.同理，“電路是斷路”等價(jià)于，或.所以.【題組三 事件關(guān)系的判斷】1(2021四川眉山)某小組有3名男生和2名女生，從中選取2名學(xué)生參加演講比賽，下列事件中互斥而不對立的事件為( )A至少有1名男生和至少有1名女生B恰有1名男生和恰有2名女生C至少有1名男生和全是男生D至少有1名男生和全是女生【答案】B【解析】對于A， “至少有1名男生”和“至少有1名女生”的事件有共同的事件“一個(gè)男生、一個(gè)女生”，即選項(xiàng)A中兩個(gè)事件不互斥，A不正確；對于B，“恰有1名男

12、生”和“恰有2名女生”的事件不同時(shí)發(fā)生，即它們是互斥的，而“恰有1名男生”的對立事件是“恰有2名男生或者恰有2名女生”，即選項(xiàng)B中兩個(gè)事件不對立，B正確；對于C，“至少有1名男生”的事件包含“全是男生”的事件，即選項(xiàng)C中兩個(gè)事件不互斥，C不正確；對于D，“至少有1名男生”和“全是女生”的事件不同時(shí)發(fā)生，即它們互斥，而它們又必有一個(gè)發(fā)生，即它們是對立的，D不正確.故選：B2(2021黑龍江哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高一期末)從1，2，3，7這7個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).

13、上述事件中，是對立事件的是( )ABCD【答案】C【解析】：中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”即“兩個(gè)奇數(shù)或一奇一偶”，而從17中任取兩個(gè)數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有三件事件：“兩個(gè)都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個(gè)都是偶數(shù)”，故“至少有一個(gè)是奇數(shù)”與“兩個(gè)都是偶數(shù)”是對立事件，其余都不是對立事件.故選：C3(2021全國高一課時(shí)練習(xí))從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋中任取3個(gè)小球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件是互斥事件的為( )A“都是紅球”與“至少1個(gè)紅球”B“恰有2個(gè)紅球”與“至少1個(gè)白球”C“至少1個(gè)白球”與“至多1個(gè)紅球”D“2個(gè)紅球，1個(gè)白球”與“2個(gè)白球，1個(gè)紅球”【答案】D【解析】對于A選項(xiàng)：“至少1

14、個(gè)紅球”的事件中含有“都是紅球”這一事件，即兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，A中的兩個(gè)事件不互斥；對于B選項(xiàng)：“恰有2個(gè)紅球”和“至少1個(gè)白球”的事件中都含有“兩紅球，一白球”的事件，B中的兩個(gè)事件不互斥；對于C選項(xiàng)：“至少1個(gè)白球”與“至多1個(gè)紅球”的事件中都含有“三白球”與“一紅球，兩白球”的兩個(gè)事件，C中的兩個(gè)事件不互斥；對于D選項(xiàng)，3個(gè)球中“2個(gè)紅球，1個(gè)白球”的事件與“2個(gè)白球，1個(gè)紅球”的事件不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，所以兩個(gè)事件是互斥事件的為D.故選：D4(2021河北唐山高一期末)(多選)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個(gè)，一次任意取出2個(gè)小球，則與事件“2個(gè)小球

15、都為紅色”互斥而不對立的事件有( )A2個(gè)小球不全為紅球B2個(gè)小球恰有1個(gè)紅球C2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球D2個(gè)小球都為綠球【答案】BD【解析】從口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個(gè)，一次任意取出2個(gè)小球，這兩個(gè)球可能為2個(gè)紅色球、2個(gè)綠色球、2個(gè)藍(lán)色球、1個(gè)紅色1個(gè)藍(lán)色、1個(gè)紅色1個(gè)綠色、1個(gè)藍(lán)色1個(gè)綠色共6種情況，則與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對立的事件有B，2個(gè)小球恰有1個(gè)紅球； C，2個(gè)小球都為綠球，而2個(gè)小球不全為紅球與事件2個(gè)小球都為紅色是對立事件；2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球包括2個(gè)紅色球、1個(gè)紅色1個(gè)藍(lán)色、1個(gè)紅色1個(gè)綠色.故選：BD .5(2021江蘇金陵中學(xué)高一期末)(多選)若

16、甲、乙、丙三個(gè)人站成一排，則下列是互斥事件的有( )A“甲站排頭”與“乙站排頭”B“甲站排頭”與“乙不站排尾”C“甲不站排頭和排尾”與“乙不站排頭和排尾”D“甲站排頭”與“乙站排尾”【答案】AC【解析】按照站排頭可分為三種情況：甲在排頭、乙在排頭、丙在排頭，所以A正確，B錯(cuò)誤；“甲不站排頭和排尾”與“乙不站排頭和排尾”等價(jià)于“甲站排中”與“乙站排中”是互斥的，所以C正確；“甲站排頭”包括“乙站排尾”，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.6(2021全國高一課時(shí)練習(xí))用紅、黃、藍(lán)三種不同的顏色給大小相同的三個(gè)圓隨機(jī)涂色，每個(gè)圓只涂一種顏色.設(shè)事件“三個(gè)圓的顏色全不相同”，事件“三個(gè)圓的顏色不全相同”，事件“

17、其中兩個(gè)圓的顏色相同”，事件“三個(gè)圓的顏色全相同”.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間.(2)用集合的形式表示事件.(3)事件與事件有什么關(guān)系？事件和的交事件與事件有什么關(guān)系？并說明理由.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)事件包含事件，事件和的交事件與事件互斥.見解析【解析】(1)由題意可知3個(gè)球可能顏色一樣,可能有2個(gè)一樣,另1個(gè)異色,或者三個(gè)球都異色.則試驗(yàn)的樣本空間(紅,紅,紅),(黃,黃,黃),(藍(lán),藍(lán),藍(lán)),(紅,紅,黃),(紅,紅,藍(lán)),(藍(lán),藍(lán),紅),(藍(lán),藍(lán),黃),(黃,黃,紅),(黃,黃,藍(lán)),(紅,黃,藍(lán)).(2)(紅,黃,藍(lán))(紅,紅,黃),(紅,紅,藍(lán)),(藍(lán),藍(lán),紅),

18、(藍(lán),藍(lán),黃),(黃,黃,紅),(黃,黃,藍(lán)),(紅,黃,藍(lán))(紅,紅,黃),(紅,紅,藍(lán)),(藍(lán),藍(lán),紅),(藍(lán),藍(lán),黃),(黃,黃,紅),(黃,黃,藍(lán)).(紅,紅,紅),(黃,黃,黃),(藍(lán),藍(lán),藍(lán)).(3)由(2)可知事件包含事件,事件和的交事件與事件互斥.7(2021全國高一課時(shí)練習(xí))盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球.設(shè)事件“1個(gè)紅球和2個(gè)白球”，事件“2個(gè)紅球和1個(gè)白球”，事件“至少有1個(gè)紅球”，事件“既有紅球又有白球”，則：(1)事件與事件是什么關(guān)系？(2)事件與事件的交事件與事件是什么關(guān)系？【答案】(1).(2)事件與事件的交事件與事件相等.【解析】(1)對于事件,可

19、能的結(jié)果為1個(gè)紅球和2個(gè)白球或2個(gè)紅球和1個(gè)白球,故.(2)對于事件,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球和2個(gè)白球,2個(gè)紅球和1個(gè)白球或3個(gè)紅球,故,所以事件與事件的交事件與事件相等.8(2021全國高一課時(shí)練習(xí))柜子里有3雙不同的鞋，分別用表示6只鞋,如果從中隨機(jī)地取出2只，那么(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間;(2)求下列事件的概率，并說明它們的關(guān)系;A=“取出的鞋不成雙”B=“取出的鞋都是左腳的”；C=“取出的鞋都是一只腳的”；D=“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”.【答案】(1)見解析；(2)；.，B與D互斥，C與D互斥，.【解析】(1)該試驗(yàn)的樣本空間可表示為(2)由(1)得.，.，A，B，

20、C，D之間有如下關(guān)系：，B與D互斥，C與D互斥，.【題組四 事件的運(yùn)算】1(2021全國高一課時(shí)練習(xí))打靶次，事件表示“擊中發(fā)”，其中、.那么表示( )A全部擊中B至少擊中發(fā)C至少擊中發(fā)D以上均不正確【答案】B【解析】所表示的含義是、這三個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生，即可能擊中發(fā)、發(fā)或發(fā).故選：B.2(2021全國高一課時(shí)練習(xí))一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，事件A:命中環(huán)數(shù)大于8;事件B:命中環(huán)數(shù)大于5，則( )AA與B是互斥事件BA與B是對立事件CABDAB【答案】C【解析】事件A:命中環(huán)數(shù)大于8即命中9或10環(huán);事件B:命中環(huán)數(shù)大于5即命中6或7或8或9或10環(huán)，故AB.故選：C3(2021全國高一課時(shí)

21、練習(xí))從1，2，3，30這30個(gè)數(shù)中任意摸出一個(gè)數(shù)，則事件“摸出的數(shù)是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)”的概率是( )ABCD【答案】B【解析】設(shè)事件A“摸出的數(shù)為偶數(shù)”，事件B“摸出的數(shù)能被5整除”，則，所以.故選:B.4(2021全國高一課時(shí)練習(xí))已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.(1)如果BA，則P(AB)=_，P(AB)=_；(2)如果A，B互斥，則P(AB)=_，P(AB)=_.【答案】0.4 0.2 0.6 0 【解析】(1)因?yàn)锽A，所以P(AB)=P(A)=0.4，P(AB)=P(B)=0.2.(2)如果A，B互斥，則P(AB)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6，P(AB)

22、=0.故答案為：0.4；0.2；0.6；05(2021全國高一課時(shí)練習(xí))在試驗(yàn)E“連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察每次擲出的點(diǎn)數(shù)”中，事件A表示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1”，事件表示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為j，事件B表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”，事件C表示隨機(jī)事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的大3”，(1)試用樣本點(diǎn)表示事件與；(2)試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件；(3)試用事件表示隨機(jī)事件A.【答案】(1)詳見解析(2)事件A與事件B，事件A與事件C不是互斥事件，事件B與事件C是互斥事件.(3)【解析】由題意可知試驗(yàn)E的樣本空間為,.(1)因?yàn)?/p>

23、事件A表示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1”,所以滿足條件的樣本點(diǎn)有,即.因?yàn)槭录﨎表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”,所以滿足條件的樣本點(diǎn)有,即.所以,.(2)因?yàn)槭录﨏表示隨機(jī)事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的大3”,所以.因?yàn)?所以事件A與事件B,事件A與事件C不是互斥事件,事件B與事件C是互斥事件.(3)因?yàn)槭录硎倦S機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1,第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為”,所以,所以.6(2021全國高一課時(shí)練習(xí))拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：=“點(diǎn)數(shù)為i”，其中；=“點(diǎn)數(shù)不大于2”，=“點(diǎn)數(shù)大于2”，=“點(diǎn)數(shù)大于4”；E=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確

24、.(1)與互斥；(2)，為對立事件；(3)；(4)；(5)，；(6)；(7)；(8)E，F(xiàn)為對立事件；(9)；(10)【答案】(1)正確；(2)錯(cuò)誤；(3)正確；(4)正確；(5)正確；(6)正確；(7)正確；(8)正確；(9)正確；(10)正確.【解析】該試驗(yàn)的樣本空間可表示為,由題意知,.(1),滿足,所以與互斥,故正確；(2),滿足但不滿足.所以為互斥事件,但不是對立事件,故錯(cuò)誤；根據(jù)對應(yīng)的集合易得,(3)正確；(4)正確；(5)正確；(6),所以,故正確；(7),故正確；(8)因?yàn)? ,所以E,F為對立事件,故正確；(9)正確；(10)正確.7(2021全國高一專題練習(xí))一個(gè)袋子中有大

25、小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2)，2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4)，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件=“第一次摸到紅球”，=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個(gè)球顏色相同”，N=“兩個(gè)球顏色不同”.(1)用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；(2)事件R與，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件與事件的交事件與事件R有什么關(guān)系？【答案】(1)詳見解析(2)事件包含事件R；事件R與事件G互斥；事件M與事件N互為對立事件(3)事件M是事件R與事件G的并事件；事件R是事件與事

26、件的交事件.【解析】(1)所有的試驗(yàn)結(jié)果如圖所示,用數(shù)組表示可能的結(jié)果,是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào),是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào),則試驗(yàn)的樣本空間事件=“第一次摸到紅球”,即或2,于是；事件=“第二次摸到紅球”,即或2,于是.同理,有,.(2)因?yàn)?所以事件包含事件R；因?yàn)?所以事件R與事件G互斥；因?yàn)?所以事件M與事件N互為對立事件.(3)因?yàn)?所以事件M是事件R與事件G的并事件；因?yàn)?所以事件R是事件與事件的交事件.【題組五 古典概型】1(2021廣東佛山市南海區(qū)九江中學(xué)高二月考)為了普及環(huán)保知識(shí)，共建美麗宜居城市，某市組織了環(huán)保知識(shí)競賽，隨機(jī)抽取了甲、乙兩個(gè)單位中各5名職工的成績(單位：分)如下表

27、：甲單位8788919193乙單位8589919293(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩個(gè)單位這5名職工成績的平均數(shù)和方差，并判斷哪個(gè)單位的職工對環(huán)保知識(shí)的掌握更好；(2)用簡單隨機(jī)抽樣法從乙單位名職工中抽取名，求抽取的名職工的成績差的絕對值至少是的概率【答案】(1)，甲單位的職工對環(huán)保知識(shí)的掌握更好(2)【解析】(1)設(shè)甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，甲的方差為，乙的方差為，因?yàn)椋约讍挝坏某煽儽纫覇挝环€(wěn)定，即甲單位的職工對環(huán)保知識(shí)的掌握更好.(2)從乙單位名職工中抽取名，他們的成績組成的所有基本事件(用數(shù)對表示)為，共個(gè)，記“抽取的名職工的成績差的絕對值至少是”為事件，則其包含的基本事件

28、為，共個(gè). 所以抽取的名職工的成績差的絕對值至少是的概率.2(2021廣東順德一中)在人群流量較大的步行街，有一中年人吆喝“送錢咯，送錢咯”，只見他手拿一黑色布袋，袋中有3只黃色3只白色的乒乓球(其體積質(zhì)地完全相同)，旁邊立著一塊小黑板寫著摸球方法：從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，若摸得同一顏色的3個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個(gè)球，摸球者付給攤主1元錢.(1)摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球的概率是多少？(2)假定一天中有500人次摸獎(jiǎng)，試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一個(gè)月(按30天計(jì))能賺多少錢？【答案】(1)(2)6000元【解析】(1)把3只黃色乒乓球標(biāo)記為ABC，3只白色的乒乓

29、球標(biāo)記為123，從6個(gè)球中隨機(jī)摸出3個(gè)的基本事件為：123，共20個(gè)，設(shè)事件F=摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球，事件F包含的基本事件有9個(gè)，則(2)設(shè)事件G=摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾?摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊蚧蛎龅?個(gè)球?yàn)辄S球，則，假定一天中有500人次摸獎(jiǎng)，由摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾母怕士晒烙?jì)事件G發(fā)生有50次，不發(fā)生450次.則一天可賺4501-505=200，每月可賺6000元.3(2021廣東湛江二十一中)某高校在2017年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名中學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下所示組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組160，165)50.050第2組165，170)0.35

30、0第3組170，175)30第4組175，180)200.200第5組180，185)100.100合計(jì)1001.00(1)請先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖；(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第345組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第345組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試；(3)在(2)的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官進(jìn)行面試，求：第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概【答案】(1)35，作圖見解析(2)第345組分別抽取3人2人1人進(jìn)入第二輪面試(3)【解析】(1)由題可知，第2組的頻數(shù)為0.35100=35人

31、，第3組的頻率為，頻率分布直方圖如圖所示，(2)因?yàn)榈?,4,5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：人，第4組：人，第5組：人，所以第3,4,5組分別抽取3人,2人,1人進(jìn)入第二輪面試(3)設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組的2位同學(xué)為B1，B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從這六位同學(xué)中抽取兩位同學(xué)有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C

32、1)，(B2，C1)，共15種，其中第4組的2位同學(xué)B1，B2中至少有一位同學(xué)入選的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9種，所以第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率為4(2021浙江臺(tái)州市路橋區(qū)東方理想學(xué)校)從編號(hào)為A、B、C、D的4名男生和編號(hào)為m、n的2名女生中任選3人參加演講比賽(1)把選中3人的所有可能情況一一列舉出來；(2)求所選3人中恰有一名女生的概率；(3)求所選3人中至少有一名女生的概率【答案】(1)答案見解析(2)(3)【解析】(1)設(shè)4名男生分別為A，B，

33、C，D，兩名女生分別為m，n，則從6名學(xué)生中任3人的所有情況有：，共20種，(2)由(1)可知共有20種情況，其中所選3人中恰有一名女生的有12種，所以所求概率為，(3)由(1)可知共有20種情況，所選3人中至少有一名女生的有16種，所以所求概率為5(2021四川成都)書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時(shí)間(單位：分鐘)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示(1)求；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100位年輕人每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)

34、(單位：分鐘)；(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)(3)為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組，和的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的概率【答案】(1)；(2)74；(3)【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖得：(2)根據(jù)頻率分布直方圖得：，(3)由于，和的頻率之比為：122，故抽取的5人中，和分別為：1人，2人，2人，記的1人為，的2人為，的2人為，故隨機(jī)抽取2人共有，10種，其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的包含7種，故概率6(2021江西臨川一中 )某種嬰兒用品主要材質(zhì)是橡膠，在加工過程中，可能會(huì)殘留一些

35、未揮發(fā)完全的溶劑，以及橡膠本身含有的化合物等，長期潛伏積累，對免疫力尚未健全的嬰幼兒會(huì)危害甚大，為了測量此類新產(chǎn)品的揮發(fā)性物質(zhì)含量，從生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100個(gè)，得到如下頻率分布直方圖，若以頻率作為概率，規(guī)定該嬰兒用品的揮發(fā)性物質(zhì)含量18為合格產(chǎn)品.(1)若這100個(gè)產(chǎn)品的揮發(fā)性物質(zhì)含量的平均值大于16，則需進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)，試問該新產(chǎn)品是否需要技術(shù)改進(jìn)？(2)為了解產(chǎn)品不合格的原因，用分層抽樣的方法從與中抽取6個(gè)進(jìn)行分析，然后從這6個(gè)中抽取2個(gè)進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)，求2個(gè)均在內(nèi)的概率.【答案】(1)該產(chǎn)品需要進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)；(2).【解析】(1)，故該產(chǎn)品需要進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)；(2)組的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為，組的產(chǎn)品

36、的個(gè)數(shù)，所以從組中抽取個(gè)，從組中抽取個(gè)，記組中抽取的5個(gè)分別為，組中抽取的一個(gè)為，則從6個(gè)中抽取2個(gè)的所有情況如下：共15種情況，其中在中恰有2個(gè)的有共10種情況，所以所求的概率.7(2021云南昆明一中 )良好的體育鍛煉習(xí)慣，對學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活都非常有益.某校為了解學(xué)生的課外體育鍛煉時(shí)間情況，在全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將數(shù)據(jù)分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.將平均每天課外體育鍛煉時(shí)間在上的學(xué)生評價(jià)為鍛煉達(dá)標(biāo)，將平均每天課外體育鍛煉時(shí)間在上的學(xué)生評價(jià)為鍛煉不達(dá)標(biāo).(1)估計(jì)這200名學(xué)生每天課外體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)與平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(

37、2)在上述鍛煉達(dá)標(biāo)的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取8名，再從這8名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，求這兩名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時(shí)間在的概率.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)設(shè)中位數(shù)為，則，；(2)根據(jù)題意可得，抽取的8名同學(xué)中，時(shí)間在的有6名，記為，時(shí)間在的有名，記為，從8名同學(xué)中隨機(jī)取2人的基本事件為，共個(gè)，記事件為兩名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時(shí)間在，則包含的基本事件個(gè)數(shù)有個(gè)，所以.8(2021山東省濰坊第四中學(xué)高一開學(xué)考試)數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一份“你最喜歡的支付方式”的調(diào)查問卷(每人必選且只能選一種支付方式)，在某商場隨機(jī)調(diào)查了部分顧客，并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，

38、請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題：(1)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“現(xiàn)金”支付的扇形圓心角的度數(shù)為多少？(2)若之前統(tǒng)計(jì)遺漏了15份問卷，已知這15份問卷都是采用“支付寶”進(jìn)行支付，問重新統(tǒng)計(jì)后的眾數(shù)所在的分類與之前統(tǒng)計(jì)的情況是否相同，并簡要說明理由；(3)在一次購物中，嘉嘉和琪琪隨機(jī)從“微信，支付寶，銀行卡”三種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付，請用畫樹狀圖或列表格的方法，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.【答案】(1)條形統(tǒng)計(jì)圖見解析，；(2)不同，理由見解析；(3).【解析】(1)由條形統(tǒng)計(jì)圖可知，用現(xiàn)金、支付寶、其他支付共有人數(shù)110人，所占比例為1-15%-30%=55

39、%，所以共調(diào)查了人，所以用銀行卡支付的人有人，用微信支付的人有人，用現(xiàn)金支付所占比例為，所以，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“現(xiàn)金”支付的扇形圓心角的度數(shù)為90，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：(2)重新統(tǒng)計(jì)后的眾數(shù)所在的分類與之前統(tǒng)計(jì)的情況不同，理由如下：原數(shù)據(jù)的眾數(shù)所在的分類為微信，而加上遺漏的15份問卷后，數(shù)據(jù)的眾數(shù)所在的分類為微信、支付寶.(3)將微信記為A、支付寶記為B、銀行卡記為C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選擇同一種支付方式的有3種，兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為.9(2021云南玉溪市江川區(qū)第二中學(xué))某城市戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時(shí))以，分組的頻率分布直方圖如圖.(1

40、)求直方圖中的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為，的三組用戶中用分層抽樣的方法抽取6戶居民，并從抽取的6戶中任選2戶參加一個(gè)訪談節(jié)目，求參加節(jié)目的2戶來自不同組的概率.【答案】(1)；(2)眾數(shù)是，中位數(shù)是；(3).【解析】(1)由得，所以直方圖中的值是0.0075.(2)月平均用電量的眾數(shù)是.因?yàn)椋遥栽缕骄秒娏康闹形粩?shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，由，解得，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(3)月平均用電量為的用戶有(戶)，月平均用電量為的用戶有(戶)，月平均用電量在的用戶有(戶).抽樣方法為分層抽樣，在，中的用戶比為，所以在，中分別抽取3戶2戶和1戶.設(shè)參加節(jié)目的

41、2戶來自不同組為事件，將來自的用戶記為，來自的用戶記為，來自的用戶記為，在6戶中隨機(jī)抽取2戶有，共15種取法，其中滿足條件的有，共11種故參加節(jié)目的2戶來自不同組的概率.10(2021湖北武漢市吳家山中學(xué)0)一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異，采用不放回方式從中任意摸球兩次，設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，事件“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”.(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2)，.【解析】樣本空間.(1)，所以；(2)指第一次摸出球標(biāo)號(hào)小于3或者第二次摸出球標(biāo)號(hào)小于3，包含，共10種情況，所以.指第一次笫二次摸出球標(biāo)號(hào)均小于3，包含，共2種情況，所以.1

42、1(2021福建三明一中 )為了謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)學(xué)生對黨史的了解，某班級開展黨史知識(shí)競賽活動(dòng)，現(xiàn)把50名學(xué)生的成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值并估計(jì)這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從成績在，兩組學(xué)生中抽取5人進(jìn)行培訓(xùn)，再從這5人中隨機(jī)抽取2人參加校級黨史知識(shí)競賽，求這2人來自不同小組的概率.【答案】(1)；中位數(shù)為；(2).【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖得：，解得：，前三組的頻率之和為0.3，前4組的頻率之和為0.6，所以中位數(shù)在第四組，中位數(shù)為：.(2)設(shè)這2人來自不同組為事件，因?yàn)樾〗M和小組的頻率的比值為.所以，來自小組的有3人記為

43、，來自小組的有2人記為，從5人中隨機(jī)抽取2人，基本事件為，共10個(gè)，這2人來自不同組的有，共6個(gè)，所以這2人來自不同小組的概率為.12(2021廣東高州高一期末)我市甲，乙兩個(gè)企業(yè)都生產(chǎn)某種產(chǎn)品，貿(mào)易部門為將該種產(chǎn)品擴(kuò)大市場份額推向國內(nèi)外，創(chuàng)造更高的收益，準(zhǔn)備從甲、乙兩個(gè)企業(yè)中選取優(yōu)質(zhì)的產(chǎn)品參加2021年的廣交會(huì)現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)企業(yè)中各隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測得到質(zhì)量指數(shù)如下表：甲9089938791乙9288908892規(guī)定：質(zhì)量指數(shù)在90以上(包括90)的視為“優(yōu)質(zhì)品”，質(zhì)量指數(shù)低于90的視為“合格品”以此樣本估計(jì)總體，頻率作為概率，求解以下問題：(1)若從甲乙兩個(gè)企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品中隨機(jī)取出

44、2件去參加2021年的廣交會(huì)，求取出的2件優(yōu)質(zhì)品中甲，乙企業(yè)各一件的概率；(2)若兩個(gè)企業(yè)中只能選一個(gè)企業(yè)參加這次廣交會(huì)，如果你是我市貿(mào)易部門的負(fù)責(zé)人，從產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性方面考慮，你會(huì)選擇哪個(gè)企業(yè)？【答案】(1)；(2)應(yīng)選擇乙企業(yè)【解析】(1)甲企業(yè)優(yōu)質(zhì)品有3件，設(shè)為A，B，C，乙企業(yè)優(yōu)質(zhì)品有3件，設(shè)為，隨機(jī)取出2件的結(jié)果有，共15種，其中取出的2件優(yōu)質(zhì)品中，甲乙企業(yè)各一件的結(jié)果有，共9種，所以取出的2件優(yōu)質(zhì)品中甲，乙企業(yè)各一件的概率為(2)甲企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)的平均值為，方差為，乙企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)的平均值為，方差為因?yàn)閮善髽I(yè)的平均值相同，且，所以乙企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量更穩(wěn)定些，應(yīng)選擇乙企業(yè)【題組六

45、概率的性質(zhì)】1(2021河北承德第一中學(xué))(多選)下列說法正確的是( )A任一事件的概率總在內(nèi)B不可能事件的概率一定為0C必然事件的概率一定為1D概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定【答案】ABC【解析】由概率的定義及性質(zhì)知，任一事件的概率總在內(nèi)，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，概率是客觀存在的，是一個(gè)確定值，所以，選項(xiàng)A，B，C是正確的，D是錯(cuò)誤的.故選：ABC2(2021浙江臺(tái)州市路橋區(qū)東方理想學(xué)校 )(多選)甲、乙兩人練習(xí)射擊，命中目標(biāo)的概率分別為和，甲、乙兩人各射擊一次，下列說法正確的是( )A目標(biāo)未被命中的概率為B目標(biāo)恰好被命中一次的概率為C目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為D目標(biāo)被命中的概率為【答案】CD【解析】對A，目標(biāo)未被命中，則兩次都不中，概率為，故A錯(cuò)誤；對B，目標(biāo)恰好被命中