1、有介質時，自由電荷和束縛電荷共同產生電場滿足高斯定理：可以證明：定義：稱電位移矢量則：一. 的高斯定理 7-9 有電介質時的高斯定理 電位移 的高斯定理：通過任意閉合曲面的電位移通量等于面內包圍的自由電荷代數和1、電位移線：規定：1）線上各點切線方向與D方向相同2）通過任意單位垂直面元的電位移線條數等于該點電位移矢量的大小特點：起自正自由電荷（或無窮遠），終止于負自由電荷（或無窮遠），在無自由電荷處不會中斷（無自由電荷處電位移矢量連續）討論+ 線線 從有電介質時的高斯定理可知：通過電介質中任一閉合曲面的電位移通量等于該面包圍的自由電荷的代數和。+線電位移線起于正的自由電荷，止于負的自由電荷。電

2、場線起于正電荷、止于負電荷，包括自由電荷和極化電荷。電極化強度矢量線起于負的極化電荷，止于正的極化電荷。只在電介質內部出現。二. 與的關系在各向同性、均勻的電介質中即：與成正比且方向相同令：稱為介質的介電常數真空中：介質中真實的場：自由電荷產生的場：束縛電荷產生的場：3.介質中高斯定理的應用有電介質存在時的高斯定理的應用（1）分析自由電荷分布的對稱性，選擇適當的高斯面 求出電位移矢量。（2）根據電位移矢量與電場的關系，求出電場。（3）根據電極化強度與電場的關系，求出電極化強度。（4）根據束縛電荷與電極化強度關系，求出束縛電荷。求:板內的場解:均勻極化 表面出現束縛電荷例1 平行板電容器上自由電

3、荷面密度為充滿相對介電常數為 的均勻各向同性電介質故束縛電荷分布亦沿平面均勻分布則：電場方向沿x方向上底下底由高斯定理： 內底內底底S例2 一無限大各向同性均勻介質平板厚度為d內部均勻分布體電荷密度為 求：介質板內、外的解：面對稱 平板相對介電常數為r ，取坐標系如圖以x=0處的面為對稱面過場點作正柱形高斯面S 底面積設S00 的自由電荷均勻場例3：將電荷 q 放置于半徑為 R 相對電容率為 r 的介質球中心，求：I 區、II區的 D、E、 及 U。解：在介質球內、外各作半徑為 r 的高斯球面。高斯面球面上各點D大小相等，I區：II區：由由高斯面例. 平行板電容器的電容已知: 平行板電容器 設

4、電容器帶電量 Q求: 其電容.d, S ,r解:Q- Q 求兩極板間的電勢差UD兩極板間的電勢差 根據電容定義式計算電容LAB 設兩極板面電荷線密度 分別為 +，-解:做如圖高斯面lr 兩極板間的電勢差例. 圓柱形電容器的電容已知:圓柱形電容器R1，R2，求: 其電容. 根據電容定義式計算電容單位長度的電容 dd120rBCA+例：一平行板電容器，其中填充了一層介質，尺寸如圖，介質的相對介電常數為r D1D2,1. 用高斯定理求：EE12,；3. 求此電容器之電容。SS例 . 一平行板電容器，兩極板間距為b、面積為S， 其中置一厚度為t 的平板均勻電介質，其相對 介電常數為r, 求該電容器的電

5、容C。b解：根據定義設極板面密度為、-由高斯定理可得：空氣隙中 介質中與t的位置無關t、Ct=b例 .一平行板電容器，兩極板間距為b、面積為S，在其間 平行地插入一厚度為t，相對介電常數為r，面積為S/2 的均勻介質板。設極板帶電Q，忽略邊緣效應。 求(1)該電容器的電容C(2)兩極板間的電勢差U。b解：（1）等效兩電容的并聯左半部：右半部：電容并聯相加：（2）問：Q左=Q右？左右例 . 平板電容器極板面積為S間距為d,接在電池上維持V 。 均勻介質r 厚度d，插入電容器一半忽略邊緣效應 求(1)1、2兩區域的 和 ；(2)介質內的極化強度 ， 表面的極化電荷密度 ；(3)1、2兩區域極板上自

6、由 電荷面密度 ， 。12S解：（1）(2) 介質內的極化強度 ，表面的極化電荷密度(3) 1、2兩區域極板上自由電荷面密度1、212S例題7-28 一半徑為R的金屬球，帶有電荷q0,浸埋在均勻“無限大”電介質（電容率為），求球外任一點P的場強及極化電荷分布。金屬球是等勢體，介質以球體球心為中心對稱分布，可知電場分布必仍具球對稱性，用有電介質時的高斯定理求解。RQ0rPS解:高斯面：過P點作一半徑為r并與金屬球同心的閉合球面S，由高斯定理知：所以寫成矢量式為, 所以離球心r 處P點的場強為因 結果表明：帶電金屬球周圍充滿均勻無限大電介質后，其場強減弱到真空時的1/r倍, 可求出電極化強度為電極

7、化強度 與 有關，是非均勻極化。在電介質內部極化電荷體密度等于零，極化面電荷分布在與金屬交界處的電介質表面上（另一電介質表面在無限遠處），其電荷面密度為 因為r 1，上式說明恒與q0反號，在交界面處自由電荷和極化電荷的總電荷量為 總電荷量減小到自由電荷量的1/r倍，這是離球心r處P點的場強減小到真空時的1/r倍的原因。解：（1）設場強分別為E1 和E2 ，電位移分別為D1 和D2 ，E1和E2 與板極面垂直，都屬均勻場。先在兩層電介質交界面處作一高斯閉合面S1，在此高斯面內的自由電荷為零。由有電介質時的高斯定理得：例題7-29 平行板電容器兩板極的面積為S，如圖所示，兩板極之間充有兩層電介質，

8、電容率分別為1 和2 ，厚度分別為d1 和d2 ，電容器兩板極上自由電荷面密度為。求（1）在各層電介質的電位移和場強；（2）兩層介質表面的極化電荷面密度；（3）電容器的電容。 +E1E2D1D2S2S1d1d2AB1E22所以即在兩電介質內，電位移 和 的量值相等。由于所以 可見在這兩層電介質中場強并不相等，而是和電容率（或相對電容率）成反比。 為了求出電介質中電位移和場強的大小，我們可另作一個高斯閉合面S2 ，如圖中左邊虛線所示，這一閉合面內的自由電荷等于正極板上的電荷，按有電介質時的高斯定理，得再利用可求得方向都是由左指向右。 +E1E2D1D2S2S1d1d2AB1E22（2）由于介質內

9、場強即：所以q=S是每一極板上的電荷，這個電容器的電容為 可見電容與電介質的放置次序無關。上述結果可以推廣到兩極板間有任意多層電介質的情況（每一層的厚度可以不同，但其相互疊合的兩表面必須都和電容器兩極板的表面相平行）。（3）正、負兩極板A、B間的電勢差為電容器充電過程qqUq某時刻極板帶電q兩板電勢差Uqdqdq此時要充入外力（電源）需作功dqAdUqdqCq充電過程結束極板帶電Q兩板電勢差U充電全過程外力所作的功0AAdQCqdq2Q2C等于電容器充電后儲存的能量We2Q2CU2C2QCU2QUQQU7-10 靜電場的能量一.電容器的儲（靜電）能注：電容器的能量存在于兩極板之間的電場中二.電

10、場能量 電場能量密度+ + + + + + + + - - - - - - - -+Q-Q電場具有能量1.定義:電場能量密度單位體積電場空間中的能量2.推導:以平行板電容器的場為特例普遍成立二.電場能量 電場能量密度3、任一帶電體系的電場總能量R+Qr（球外為無限大介質）drr例 求一均勻帶電球面的電場能量。求:電場空間的能量解:1)任取體積元2)小體元的能量已知：Q,R,小體元內:3)電場空間總能量例:CUK已知: C , U , d求: 1) K 斷開時, W e 的變化. 2) K閉合時, W e 的變化.現將 d 增大解:1) K 斷開時, Q 不變2) K閉合時, U 不變因此例7-

11、30 計算均勻帶電球體的電場能量，設球半徑為R， 帶電量為q，球外為真空。解：均勻帶電球體內外的電場強度分布為相應的，球內外的電場能量密度為在半徑為r厚度為dr的球殼內的電場能量整個帶電球體的電場能量例題7-31一平行板空氣電容器的板極面積為S，間距為d，用電源充電后兩極板上帶電分別為 Q。斷開電源后再把兩極板的距離拉開到2d。求（1）外力克服兩極板相互吸引力所作的功；（2）兩極板之間的相互吸引力。（空氣的電容率取為0）。板極上帶電 Q時所儲的電能為解:（1 ）兩極板的間距為d和2d時，平行板電容器的電容分別為（2）設兩極板之間的相互吸引力為F ，拉開兩極板時所加外力應等于F ，外力所作的功A

12、=Fd ，所以故兩極板的間距拉開到2d后電容器中電場能量的增量為例7-32 物理學家開爾文第一個把大氣層構建為一個電容器模型，地球表面是這個電容器的一個極板，帶有5105C的電荷，大氣等效為5km的另一塊極板，帶正電荷。如下頁圖所示。（1）試求這個球形電容器的電容；（2）求地球表面的能量密度以及球形電容器的能量；（3）已知空氣的電阻率為31013，求球形電容器間大氣層的電阻是多少？（4）大氣電容器的電容和電阻構成一個RC放電回路，這個放電回路的時間常數是多少？（5）經研究，大氣電容器上的電荷并沒有由于RC回路放電而消失是因為大氣中不斷有雷電補充的結果，如果平均一個雷電向地面補充25C的電荷，那

13、么每天要發生多少雷電？解：如圖為地球表面外的大氣層電容模型（1）球形電容器的電容公式為地球半徑電離層高度F負極板（地球表面）極板間的大氣電阻正極板（大氣電荷）（2）地球表面電場強度為可得地球表面的能量密度為可得電能為J/m3J（3）由于hr，大氣層可簡化為長為h 、截面積為 的導體，其電阻為+（4）等效回路如圖所示放電回路時間常數為s（5）要補充大氣電容器的電荷，必須發生雷電的次數為進一步計算表明，30分鐘后電荷就只剩0.3%，近似認為放電完畢。即每30分鐘要產生雷電次數為2萬次，每天雷電次數為電場習題例、o2ddQ2Qr已知:+2Q , +Q 相距 3d ,導體球接地,尺寸如圖求:導體球所帶的凈電量?金屬球撤去+2Q與+Q運用高斯定理單獨計算。例 點電荷-q位于圓心處，A、B、C、D 位于同一圓周上的四點如圖示。 -qA=0理由：ABCD四點在等勢面上。求：將q0從A移至B、C、D點，電場力的功。ABCD例 已知： q1、q2、q3 沿一條直線分布。 其中任一點電荷所受