1、類型一數式規律1探究數字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它的體積小，密度大，吸引力強，任何物體到它那里都別想再“爬出來”，無獨有偶，數字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數，通過一種運算，都能被它“吸”進去，無一能逃脫它的魔掌譬如：任意找一個3的倍數的數，先把這個數的每個數位上的數字都立方，再相加，得到一個新的數，然后把這個新數每個數位上的數字再立方，求和，重復運算下去，就能得到一個固定的數T=_，我們稱它為數字“黑洞”，T為何具有如此魔力通過認真的觀察、分析，你一定能發現它的奧秘！此短文中的T是（）A363 B153 C159 D456B；把6代入計算，第一次立方后得到216；第

2、二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；開始重復，則T=153故選B【點評】此題只需根據題意，任意找一個符合條件的數進行計算，直至計算得到重復的數值，即是所求的黑洞數可以任意找一個3的倍數，如6第一次立方后得到216；第二次得到225；第十次得到153；開始重復，則可知T=1532(1)有一列數，那么依此規律，第7個數是_；（2）已知依據上述規律，則 (1) ； （2）.(1) 符號：單數為負，雙數為正，所以第7個為負.分子規律：第幾個數就是幾，即第7個數分子就是7，分母規律：

3、分子的平方加1，第7個數分母就是50.所以第7個數是.（2）【點評】(1) 規律：（n為正整數）；（2）規律：（n為正整數）.3（1）先找規律，再填數：（2）對實數a、b，定義運算如下：ab=，例如23=2-3=.計算2（4）（4）（2）= .（1）；（2）1；（1）規律為：（n為正整數）.（2） 2（4）（4）（2）=2-4（-4）2=1.4.a是不為1的有理數，我們把稱為a的差倒數如：2的差倒數是，的差倒數是已知，是的差倒數，是的差倒數，是的差倒數，依此類推，則 因為，.三個一循環，因此在快速計算法中，法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”是一樣的，后面的就改用手

4、勢了下面兩個圖框是用法國“小九九”計算89和67的兩個示例（1）用法國“小九九”計算78，左、右手依次伸出手指的個數是多少？（2）設a、b都是大于5且小于10的整數，請你說明用題中給出的規則計算ab的正確性？2，3（1）按照題中示例可知：要計算78，左手應伸出7-5=2個手指，右手應伸出8-5=3個手指； （2）按照題中示例可知：要計算ab，左手應伸出（a-5）個手指，未伸出的手指數為5-（a-5）=10-a；右手應伸出（b-5）個手指，未伸出的手指數為5-（b-5）=10-b兩手伸出的手指數的和為（a-5）+（b-5）=a+b-10，未伸出的手指數的積為（10-a）（10-b）=100-10

5、a-10b+ab根據題中的規則，ab的結果為10（a+b-10）+（100-10a-10b+ab）而10（a+b-10）+（100-10a-10b+ab）=10a+10b-100+100-10a-10b+ab=ab所以用題中給出的規則計算ab是正確的6將正偶數按下表排列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2 第2行 4 6 第3行 8 10 12 第4行 根據上面的規律，則2006所在行、列分別是_第45行第13列.】觀察數列2，4，6，8，10，.每個比前一個增大2，2006是這列數字第1003個.字的個數按照1，2，3，4，5，.，n 遞增，根據等差數列求和公式，第n行（包括n行）

6、以前的所有數字的個數.如果2006在第n行，那么設,解得n約為44.5，n取整數，因此n=45。到第44行（含44行）共有數字（44+1）=990個；到第45行（含45行）共有數字（45+1）=1035個；2006是第1003個，在45行13列.7在數學活動中，小明為了求的值（結果用n表示），設計如圖（1）所示的幾何圖形（1）請你利用這個幾何圖形求的值為_（2）請你利用圖（2）再設計一個能求的值的幾何圖形（1）(2) 8.細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題 （1）請用含有n（n是正整數）的等式表示上述變化規律；（2）推算出OA10的長；（3）求出S12+ S22+ S32+ S102的值

7、.（1）由題意可知，圖形滿足勾股定理，（2）因為OA1=，OA2=，OA3=，所以OA10=（3）S12+ S22+ S32+ S102=.9.根據以下10個乘積，回答問題：1129； 1228； 1327； 1426； 1525；1624； 1723； 1822； 1921； 2020.(1)試將以上各乘積分別寫成一個“2-2”(兩數平方差)的形式，并寫出其中一個的思考過程；(2)將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；(3)試由(1)、(2)猜想一個一般性的結論.(不要求證明) (1)1129=202-92；1228=202-82； 1327=202-72；1426=202-62； 1

8、525=202-52；1624=202-42； 1723=202-32；1822=202-22； 1921=202-12；2020=202-02；例如：1129；假設1129=2-2； 因為2-2=(+)(-) 所以，可以令-=11，+=29 解得，=20，=9，故1129=202-92 (或1129=(20-9)(20+9)=202-92)(2)這10個乘積按照從小到大的順序依次是： 1129122813271426152516241723182219212020.(3)若a+b=40,a,b是自然數，則ab202=400. 若a+b=40，則ab202=400. 若a+b=m，a，b是自然

9、數，則 若a+b=m，則 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40，且|a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 則a1b1a2b2a3b3anbn. 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m，且|a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 則a1b1a2b2a3b3anbn. 10、有一組數：1，2，5，10，17，26，請觀察這組數的構成規律，用你發現的規律確定第8個數為_：50仔細觀察這一數列中的各個數字的構成特點，不難發現如下；第一個數是1，第二個數數1+1，第三個數是1+1+3，第四個數是1+1+3+5，第五個數是1+1+3+5+7，第六個

10、數是1+1+3+5+7+9， 為了使規律凸顯的明顯，我們不妨把第一個數1也寫成兩個數的和的形式，為1+0，這樣，就發現數字1是固定不變的，規律就蘊藏在新數列0，1，4，9，16 中，而0，1，4，9，16 這些數都是完全平方數，并且底數恰好等于這個數字對應的序號與1的差，即1=1+（1-1）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2，26=1+（5-1）2，這樣，第n個數為1+（n-1）2，找到數列變化的一般規律后，就很容易求得任何一個序號的數字了。因此，第八個數就是當n=8時，代數式1+（n-1）2的值，此時，代數式1+（n-1）2的值為1

11、+（8-1）2=50。所以，本空填50。11.古希臘數學家把1，3，6，10，15，21，叫做三角形數，根據它的規律，則第100個三角形數與第98個三角形數的差為_.：199本題中數列的數字，不容易發現其變化的規律。我們不妨利用函數的思想去試一試。當序號為1時，對應的值是1，有序號和對應的數值構成的點設為A，則A（1，1）；當序號為2時，對應的值是3，有序號和對應的數值構成的點設為B，則B（2，3）；當序號為3時，對應的值是6，有序號和對應的數值構成的點設為C，則C（3，6）；因為，所以有：成立，所以，對應的數值y是序號n的二次函數，因此，我們不妨設y=an2+bn+c，把A（1，1），B（2

12、，3），C（3，6）分別代入y=an2+bn+c中，得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=，b=，c=0，所以，y= n2+n，因此，當n=100時，y= 1002+100，當n=98時，y= 982+98，因此（1002+100）-（982+98）=199，所以該空應該填199。12、為慶祝“六一”兒童節，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽如圖所示：按照上面的規律，擺個“金魚”需用火柴棒的根數為（ ）A B C D：A第一個圖需要火柴的根數是8，有序號和對應的數值構成的點設為A，則A（1，8）；第二個圖需要火柴的根數是14，有序號和對應的數值構成的點設為B，則

13、B（2，14）；第三個圖需要火柴的根數是20，有序號和對應的數值構成的點設為C，則C（3，20）；因為，所以有：成立，所以，每個圖形中所需要的火柴的總根數y是這個圖形的序號n的一次函數，因此，我們不妨設y=kn+b，把A（1，8），B（2，14）分別代入y=kn+b中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2，所以，y=6n+2。因此選A。13、下列圖案是由邊長為單位長度的小正方形按一定的規律拼接而成。依此規律，第5個圖案中小正方形的個數為_。：50仔細觀察第一個圖，正方形的個數為1，第二個圖形中正方形的特點是中間是3個，左右兩邊各一個，即為1+3+1個，第三個圖形中正方形的特點是中

14、間是5個，左右分別是1+3個，即為1+3+5+3+1，分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規律了吧。是的，第n個圖形中正方形的個數為1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n2-2n+1，這樣，第5個圖形中正方形的個數，也就是當n=5時，代數式2n2-2n+1的值，所以，代數式的值為：2n2-2n+1=252-25+1=41個。所以，本空填50。14、按如下規律擺放三角形：則第（4）堆三角形的個數為_；第(n)堆三角形的個數為_.：14,3n+2仔細觀察第一個圖形，三角形排列的特點是中間3=(1+2)個,左右各1個,即圖1中三角形的總數為1+(1+2)+1,第二個圖形中三角形形的特

15、點是中間是4=(2+2)個，左右兩邊各2個，即為2+(2+2)+2個，第三個圖形中三角形的特點是中間是5=(3+2)個，左右分別是3個，即為3+(3+2)+3，分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規律了吧。是的，第n個圖形中三角形的個數為n+（n+2）+n =3n+2，這樣，第4個圖形中三角形正方形的個數，也就是當n=4時，代數式3n+2的值，所以，代數式的值為：3n+2=34+2=14個。所以，本題的兩個空分別填14和3n+2。15、下列圖中有大小不同的菱形，第1幅圖中有1個，第2幅圖中有3個，第3幅圖中有5個，則第幅圖中共有 個。123：2n+1仔細觀察第一個圖形，有一個菱形，第二個圖

16、形中有3個菱形，第三個圖形中有5個菱形，仔細觀察這些數的特點，恰好是奇數構成的數列，由此，就清楚了變化的規律了。所以，第n個圖形中有2n+1個菱形。16、試觀察下列各式的規律，然后填空：則_。：要想找到式子的變化規律，同學們應該仔細觀察式子的特點，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對解題很關鍵。仔細觀察式子，不難發現等式左邊中的（x-1）是個固定不變的量。左邊式子中第二個括號中多項式的次數是不斷變化的，且多項式的次數等于對應等式的序號數，即第一個等式中的多項式的次數是1，第二個等式中的多項式的次數為2， 所以，第n個等式中的多項式的次數為n，這是等式左邊的變化規律；等式右

17、邊的規律，容易找些，多項式中的常數項是保持不變的，字母x的指數隨等式的序號變化而變化，且滿足字母x的指數等于等式的序號加1。所以，第10個等式的結果為。17、觀察下列各式：依此規律，第n個等式（n為正整數）為 。：（10n+5）2=n（n+1）100+52。要想找到式子的變化規律，同學們應該仔細觀察式子的特點，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對解題很關鍵。等式左邊底數的特點是，個位數字都5，是個不變的量，十位數字與對應的序號一致，分別是1、2、3、4；等式右邊的特點是：第一個數字與對應的序號是一致的，括號里的數字的特點是對應的序號與常數1的和；第三個數字又是一個固定的常

18、數100；第四個數字是常數5的平方，也是固定不變的。通過分析，我們知道在這里對應的序號是問題的根本。而第n個等式的序號為n，所以第n個等式應該是：（10n+5）2=n（n+1）100+52。18、觀察下列等式：第一行 3=41 第二行 5=94第三行 7=169第四行 9=2516 按照上述規律，第n行的等式為_ ：2n+1=（n+1）2- n2。等式的左邊的特點是：奇數3、5、7、9 ，這些奇數可以用對應的序號表示，3=21+1， 5=22+1，7=23+1，9=24+1，其中1、2、3、4等恰好是對應的序號，所以，第n 個奇數為2n+1，這樣，我們就把等式左邊的規律找出來了；等式右邊的特點

19、是：被減數為4、9、16、25、恰好是22，32，42，52，等對應的冪，冪的底數與對應的序號的關系是：底數=對應序號+1，這樣，我們就又找到了一部分規律，第n 個被減數為（n+1）2；減數分別為1、4、9、16恰好是12，22，32，42，等對應的冪，冪的底數與對應的序號的關系是：底數=對應序號，這樣，我們就又找到了一部分規律，第n 個減數為n2；所以，本題的變化規律為：2n+1=（n+1）2- n2。19、觀察下列各式：請你將發現的規律用含自然數n(n1)的等式表示出來 。：=( n+1 )。仔細觀察我們發現，等式的左邊的特點是：被開方數中，第一個加數分別是1、2、3、等的自然數，第二個加

20、數是一個分數，且分子都是1，是固定不變的，這就是一條規律；分母分別是3、4、5、6，這些數與第一個加數的關系是：分母=第一個加數+2，這是第二規律；等式的右邊的特點是：二次根式的系數分別是2、3、4、5、，這些數與左邊的被開方數中的第一個加數的關系是：二次根式系數=左邊的被開方數中的第一個加數+1，這是右邊的第一個規律；而被開方數也是一個分數，且分子是1，保持不變，這是一條規律，分數中的分母與左邊分數中分母一樣。這是第二條規律。這樣的話，因為，第n個等式中的第一個加數為n，所以，第n個等式為：=( n+1 )。20、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，仔細觀察，式子的特

21、點，根據你發現的規律，則22008的個位數字是： A 2 B 4 C 6 D 8：C仔細觀察，不難發現，當冪的指數能被4整除時，這個數的個位數字是6，當被4除，余數是3時，這個數的個位數字為8，當被4除，余數是2時，這個數的個位數字為4，當被4除，余數是1時，這個數的個位數字為2， 所以，問題解決的關鍵，就是看冪的指數被4除的情形就可了。我們知道2008是能被4整除的，所以，22008的個位數字是6，所以，選C。21、把正整數1，2，3，4，5，按如下規律排列：12，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15， 按此規律，可知第n行有 個正整數：仔細觀察各行數字的個數，不難發現，第一行有1個數字，第二行有2個數字，第三行有4個數字，第四行有8個數字，再用我們前面所用的方法，我們就不容易找到變化的規律了。我們不妨換一種思路。利用冪指數的思想試一試。由于第一個數字是1，聯想到任何不是零的數的任何次冪都是1，所以，指數0=序號1-1，又因為第二行有2個數字，第三行有4個數字，第四行有8個數字，這些數字都是偶數，所以底數一定是偶數，是2、或4或6等等，但是，第二個數