1、PAGE 綜合運用等價轉化、分類討論、數形結合等思想解決函數綜合問題高考要求 函數綜合問題是歷年高考的熱點和重點內容之一，一般難度較大，考查內容和形式靈活多樣 本節課主要幫助考生在掌握有關函數知識的基礎上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養考生的思維和創新能力 重難點歸納 在解決函數綜合問題時，要認真分析、處理好各種關系，把握問題的主線，運用相關的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價轉化、分類討論、數形結合等思想的綜合運用 綜合問題的求解往往需要應用多種知識和技能 因此，必須全面掌握有關的函數知識，并且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條

2、件 學法指導 怎樣學好函數學習函數要重點解決好四個問題 準確深刻地理解函數的有關概念；揭示并認識函數與其他數學知識的內在聯系；把握數形結合的特征和方法；認識函數思想的實質，強化應用意識 (一)準確、深刻理解函數的有關概念概念是數學的基礎，而函數是數學中最主要的概念之一，函數概念貫穿在中學代數的始終 數、式、方程、函數、排列組合、數列極限等是以函數為中心的代數 近十年來，高考試題中始終貫穿著函數及其性質這條主線 (二)揭示并認識函數與其他數學知識的內在聯系 函數是研究變量及相互聯系的數學概念，是變量數學的基礎，利用函數觀點可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數列、曲線與方程等內容 在利用函數和

3、方程的思想進行思維中，動與靜、變量與常量如此生動的辯證統一，函數思維實際上是辯證思維的一種特殊表現形式 所謂函數觀點，實質是將問題放到動態背景上去加以考慮 高考試題涉及5個方面 (1)原始意義上的函數問題；(2)方程、不等式作為函數性質解決；(3)數列作為特殊的函數成為高考熱點；(4)輔助函數法；(5)集合與映射，作為基本語言和工具出現在試題中 (三)把握數形結合的特征和方法函數圖象的幾何特征與函數性質的數量特征緊密結合，有效地揭示了各類函數和定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現了數形結合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地

4、掌握函數圖象的平移變換、對稱變換 (四)認識函數思想的實質，強化應用意識函數思想的實質就是用聯系與變化的觀點提出數學對象，抽象數量特征，建立函數關系，求得問題的解決 縱觀近幾年高考題，考查函數思想方法尤其是應用題力度加大，因此一定要認識函數思想實質，強化應用意識典型題例示范講解 例1設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=1對稱，對任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(1)=a0 (1)求f()、f(); (2)證明f(x)是周期函數； (3)記an=f(2n+),求命題意圖 本題主要考查函數概念，圖象函數的奇偶性和周期性以及數列極限等知識，還考查運算能

5、力和邏輯思維能力 知識依托 認真分析處理好各知識的相互聯系，抓住條件f(x1+x2)f(x1)f(x2) 錯解分析 不會利用f(x1+x2)=f(x1)f(x2)進行合理變形 技巧與方法 由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)變形為是解決問題的關鍵解 因為對x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)=,x0,1又因為f(1)=f(+)=f()f()=f()2f()=f(+)=f()f()=f（）2 又f(1)=a0 f()=a,f()=a(2)證明 依題意設y=f(x)關于直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR 又由f(x)是偶函

6、數知f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR 將上式中x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數，且2是它的一個周期 (3)解 由(1)知f(x)0,x0,1f()=f(n)=f(+(n1) )=f()f(n1)=f()f()f()=f()n=af()=a 又f(x)的一個周期是2 f(2n+)=f(),an=f(2n+)=f()=a 因此an=a 例2甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數為b,固定部分為a元 (

7、1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數，并指出這個函數的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？命題意圖 本題考查建立函數的模型、不等式性質、最值等知識，還考查學生綜合運用所學數學知識解決實際問題的能力 知識依托 運用建模、函數、數形結合、分類討論等思想方法 錯解分析 不會將實際問題抽象轉化為具體的函數問題，易忽略對參變量的限制條件 技巧與方法 四步法 (1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評價 解法一 (1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,全程運輸成本為y=a+bv2=S(+bv) 所求函數及其定義域為y=S(+bv),v(0,c (2)依

8、題意知，S、a、b、v均為正數 S(+bv)2S 當且僅當=bv,即v=時，式中等號成立 若c則當v=時，有ymin2S；若c,則當v(0,c時，有S(+bv)S(+bc)=S()+(bvbc)= (cv)(abcv)cv0,且cbc2,abcvabc20S(+bv)S(+bc),當且僅當v=c時等號成立，也即當v=c時，有ymin S(+bc)；綜上，為使y最小，當c時，行駛速度應為v=,當c時速度應為v=c 解法二 (2)函數y=S(+bv),v(0,+),當x(0, )時，y單調減小，當x(,+)時y單調增加，當x=時y取得最小值，而全程運輸成本函數為y=Sb(v+),v(0,c 當c時

9、，則當v=時，y最小，若c時，則當v=c時，y最小 例3設函數f(x)的定義域為R，對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x0時f(x)0,f(x1)f(x2)=f(x1x2)+x2f(x2)=f(x1x2)+f(x2)f(x1)=f(x2x1)因為x0時f(x)0,f(x1)f(x2)0f(x)在9，9上是減函數 故f(x)的最大值為f(9),最小值為f(9) 而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=12,f(9)=f(9)=12 f(x)在區間9，9上的最大值為12，最小值為12 學生鞏固練習 1 函數y=x+a與y=logax的圖象可能是( )2 定義在區間(,+)的

10、奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間0，+)的圖象與f(x)的圖象重合，設ab0,給出下列不等式 f(b)f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(b)g(a) f(a)f(b)1時和當0a1時 答案 C2 解析 用特值法，根據題意，可設f(x)=x,g(x)=|x|,又設a=2,b=1,則f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)f(b)=f(2)f(1)=2+1=3 g(b)g(a)=g(1)g(2)=12=1 f(a)f(b)g(1)g(2)=12=1 又f(b)f(a)=f(1)f(2)=1+2=3 g(a)g(b)=g(2)g(1)=21=1

11、,f(b)f(a)=g(a)g(b) 即與成立答案 C3 解析 設2x=t0，則原方程可變為t2+at+a+1=0方程有兩個正實根，則解得 a(1,22 4 解 (1)當a=0時，函數f(x)=(x)2+|x|+1=f(x),此時f(x)為偶函數；當a0時，f(a)=a2+1,f(a)=a2+2|a|+1,f(a)f(a),f(a)f(a) 此時函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數 (2)當xa時，函數f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+,若a,則函數f(x)在(,a上單調遞減，從而，函數f(x)在(,a上的最小值為f(a)=a2+1 若a,則函數f(x)在(,a上的最小值為f()=+a,且f(