1、小專題(九)與等腰三角形的性質與判定相關的證明類型1證明線段或角的數量關系1如圖eqoac(,，)ABC中，ABAC，D是BC的中點，E，F分別是AB，AC上的點，且AEAF，求證：DEDF.證明：連接AD.ABAC，D是BC的中點，EADFAD.在AED和AFD中，AEAF，EADFAD，ADAD，AEDAFD(SAS)DEDF.2已知，如圖eqoac(,，)ABC中，ABAC，ADBC于D，BEAC于E，AD和BE交于H，且BEAE.求證：AH2BD.證明：ADBC，BEAC，BECADB90.EBCEAH.BEAE，AHEBCE.AHBC.1ABAC，ADBC，BC2BD.AH2BD.3

2、如圖eqoac(,，)在ABC中，ABAC，BAC90，D為AC的中點，AEBD于F，交BC于E，求證：ADBCDE.證明：過點C作CGAC交AE的延長線于G，則CGAB，BAFG.又AFBD，ACCG，BAFABF90，CAGG90.ABFCAG.在ABD和CAG中，ABFCAG，ABAC，BADACG90，ABDCAG(ASA)ADCG，ADBG.又D為AC中點，ADCD.CDCG.ABAC，ABCACB.又ABCG，ABCGCE.ACBGCE.CDECGE(SAS)CDEG.ADBCDE.24如圖eqoac(,，)在ABC中，ABC2C，AD平分BAC，求證：ABBDAC.證明：延長CB

3、至E，使BEBA，則BAEE.又ABC2C2E，EC.AEAC.AD平分BAC，BADDAC.BAEE，EC，BAEC.又EADBAEBAD，EDACDAC，EADEDA.AEDE.ACDEBEBDABBD.類型2證明線段的位置關系5如圖，點C是線段AB上任意一點(點C與點A，B不重合)，分別以AC，BC為邊在直線AB的同側作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點M，BD與CE相交于點N，連接MN.求證：(1)ACMDCN；(2)MNAB.證明：(1)ACD和BCE都是等邊三角形，ACDC，BCEC，ACDBCE60.ACDDCEECB180，3DCE60.ACEDCB120.

4、在ACE和DCB中，ACDC，ACEDCB，CECB，ACEDCB(SAS)EACBDC.在ACM和DCN中，MACNDC，ACDC，ACMDCN60，ACMDCN(ASA)(2)由(1)知ACMDCN，CMCN.又MCN60，CNM為等邊三角形，NMC60.NMCACM60.MNAB.6如圖eqoac(,，)在ABC中，ABAC，點D，E，F分別在邊BC，AB，AC上，且BDCF，BECD，G是EF的中點，求證：DGEF.證明：連接ED，FD.ABAC，BC.在BDE和CFD中，4BDCF，BC，BECD，BDECFD(SAS)DEDF.又G是EF的中點，DGEF.類型3判斷三角形的形狀7已

5、知：如圖，OA平分BAC，1eqoac(,2.)求證：ABC是等腰三角形證明：過點O作ODAB于D，OEAC于E，則BOD和COE都是直角三角形OA平分BAC，ODAB，OEAC，ODOE.12，OBOC.eqoac(,Rt)BODeqoac(,Rt)COE(HL)ABOACO.ABCACB.ABAC.ABC是等腰三角形8eqoac(,)已知ABC中，BAC90，ABAC，D為BC的中點(1)如圖1，E，F分別是AB，AC上的點，且BEAFeqoac(,，)試判斷DEF的形狀，并說明理由；(2)如圖2，若E，F分別為AB，CA的延長線上的點，仍有BEAF.請判斷DEF是否仍具有(1)中的形狀，并說明理由5解：(1)DEF為等腰直角三角形理由：連接ADeqoac(,，)易證BDEADF，DED