1、 第四章 線性方程組 求解線性方程組的問(wèn)題被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中最重要的問(wèn)題之一。統(tǒng)計(jì)表明，在科學(xué)及其工程應(yīng)用中，有超過(guò)75%的問(wèn)題會(huì)涉及線性方程組，更有大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型是靠化簡(jiǎn)為線性方程組來(lái)解決的。在這一章中，我們將前面已建立起來(lái)的矩陣和向量理論作為數(shù)學(xué)工具，討論線性方程組的求解方法，并介紹解的結(jié)構(gòu)。 4.1 線性方程組的基本概念 4.1.1 線性方程組的一般形式 含 個(gè)方程，個(gè)未知量的線性方程組的一般形式為： （4.1）其中 為未知量， 和 為常數(shù).稱（4.1）為 型線性方程組. 如果 ，則稱（4.1）為齊次線性方程組；若存在 ，則稱（4.1）為非齊次線性方程組。 例1 下列方程都是線性方程組

2、（1） （2） （3）其中，（1）和（3）是非齊次線性方程組,（2）是齊次線性方程組。 型線性方程組的解是由 個(gè)數(shù)組成的 元向量 ，它滿足方程組中的個(gè)方程。 例2 22型線性方程組的一般形式為：其中每一個(gè)方程都表示平面上一條直線，一個(gè) 型線性方程組中兩直線在平面上的位置有下列三種情形： （1）兩直線相交于一點(diǎn)，則相交點(diǎn)就是方程組的唯一解； （2）平行，則該方程無(wú)解； （3）重合，則直線上任何一個(gè)點(diǎn)都是方程組的解。 例3 33型齊次線性方程組的一般形式為： ,其中每一個(gè)方程都表示一個(gè)以向量 為法矢量，過(guò)原點(diǎn)的平面，而且第 個(gè)方程可用內(nèi)積表示為： ，其中 。 因此 型的齊次線性方程組的解是一個(gè)與向

3、量 均正交的向量 。（1）若 不共面，則方程組只有零解；（2）若 共面但不共線，則垂直于 的向量均是解，這些解彼此平行；（3）若 共線，則以 為法向量的平面上的所有向量都是解，即解向量組成一個(gè)平面。 在實(shí)際中，我們有許多方程組在形式上不相同，但解都是一樣的，如例2中，兩直線重合時(shí)，一條直線所給出的方程組與兩條直線給出的方程組形式不同，但解一樣 。 定義4.1 設(shè)有 型線性方程組（I）和型線性方程組（II），若（I）和（II）的解向量集合相等，則稱（I）和（II）為等價(jià)的線性方程組。4.1.2 線性方程組的矩陣表示用矩陣乘法， 型線性方程組（4.1）可表示為 （4.2）稱 為線性方程組（4.1）

4、的系數(shù)矩陣； 為 線性方程組（4.1）的增廣矩陣.（4.1）的解是使矩陣等式（4.2）成立的 維向量 . 矩陣的初等變換是使矩陣得以化簡(jiǎn)的基本運(yùn)算，它對(duì)方程組的影響在于： 定理4.1 設(shè)矩陣 和矩陣 是初等變換下等價(jià)的矩陣，即存在可逆矩陣 ，使 則線性方程組 和 是等價(jià)的線性方程組. 證 設(shè)向量 是方程組 的任一個(gè)解，有 ，兩邊左乘矩陣 ，則有即 也是 的一個(gè)解. 反之， 任取 的一個(gè)解，兩邊左乘則有 ，即 .所以 是 的一個(gè)解. 因此， 和 同解，故為等價(jià)的線性方程組。 對(duì) 型的線性方程組 ，當(dāng) 為可逆矩陣時(shí)，可借助于矩陣運(yùn)算求解：4.1.3 線性方程組的向量表示 設(shè)矩陣 A=aijmn是線

5、性方程組（4.1）的系數(shù)矩陣，用Ai記 A 的第 i 列，即 則 型線性方程組可表示為 （4.3） （4.3）式是線性方程組的向量表示.（4.3）揭示了線性方程組（4.1）的解是組合系數(shù) ，方程組有解則等價(jià)于 是 的列向量的線性組合，從而向量組 和向量組 等價(jià)。更重要的，它在理論上可以 得到如下結(jié)果： 定理4.2 設(shè) 型線性方程組為 ，則有 （1） 有解的充要條件是增廣矩陣的秩和系數(shù)矩陣的秩相等，即 . （2） 有唯一解的充要條件是 證（1）必要性：已知 有解，則由（4.3）式 是 的列向量的線性組合，從而 的列向量組 等價(jià)于向量組 ，故兩者的秩相等，即 。 充分性：已知 ，即秩 =秩 ,又

6、， 所以 的極大線性無(wú)關(guān)組是的極大線性無(wú)關(guān)組。故 是 的線性組合，即 有解。 （2） 必要性：已知 有唯一解，則由（1） ，且有唯一解向量 ，使 .反之 ，則向量組 線性相關(guān)，存在不全為0的數(shù) ，使 。從而 ， 故向量 也是 的解，與 的解惟一矛盾. 故 . 充分性： 時(shí)，方程組 有解，故 線性相關(guān)，而 線性無(wú)關(guān)。由定理3.2 , 可由 惟一的線性表示，從而 有唯一解。 4.2 Gauss消元法 Gauss消元法是求解 型線性方程組的實(shí)用而有效的方法，讓我們首先看看Gauss消元法的基本思想。 在中學(xué)代數(shù)中，已學(xué)過(guò)用加減消元法解二元或三元一次方程組，現(xiàn)在把它推廣到求解一般 型線性方程組中去。

7、Gauss消元法的基本思想是對(duì)線性方程組進(jìn)行初等變換，簡(jiǎn)化未知量的系數(shù)，把其變形為與原方程組同解且易直接求解的階梯形方程組。定義4.2 對(duì)線性方程組施行的下列三種變換： （1）互換兩個(gè)方程的位置； （2）用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程； （3）把某個(gè)方程的若干倍加到另外一個(gè)方程上.稱為線性方程組的初等變換，用上述三種初等變換將一個(gè)線性方程組化成增廣矩陣是階梯形的線性方程組的過(guò)程稱為Gauss消元法。 用矩陣表示Gauss消元法，則為：對(duì)線性方程組 的增廣矩陣 施行行初等變換化為行階梯形或行標(biāo)準(zhǔn)型 ，即（行階梯形或行標(biāo)準(zhǔn)型），則由定理4.1，方程組 等價(jià)于方程組 而CX=d作為增廣矩陣的行階梯形，特別

8、是行標(biāo)準(zhǔn)型，它對(duì)應(yīng)的線性方程組是很容易求解的。 例4 用Gauss消元法求解下列非其次線性方程組： （1） （2） （3） 解 把Gauss消元法步驟直接作用到增廣矩陣上作初等變換， （1） 這時(shí)可以看到 ，但 ，即故線性方程組（1）無(wú)解.（2） ,行標(biāo)準(zhǔn)行對(duì)應(yīng)的線性方程組為： ,其解為： ，即 .（3） 的行標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)方程 ， ，其解為： ，即 為任意常數(shù)。 從例4中，可注意到如下幾點(diǎn)： （1）如果增廣矩陣的行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中含有如下行： ，則線性方程組無(wú)解。 （2）當(dāng) 時(shí)，線性方程組的解不唯一，而且有無(wú)窮多個(gè)解. 這時(shí)方程組的解中有 個(gè)自由未知量，它的一種合適取法是：根據(jù)行標(biāo)準(zhǔn)形，第 列是對(duì)應(yīng)

9、線性方程組中未知量 前面的系數(shù)，取每一個(gè)首位等于1以外的列對(duì)應(yīng)的未知量作為自由未知量，便可寫出解來(lái)。當(dāng) 是自由未知量時(shí)， 是任意常數(shù)均可滿足的恒等式，故 可取任意常數(shù)。 （3）從方程組的解向量表示中，可以看到，非齊次線性方程組的一般解（通解)是 個(gè)確定的常向量的線性組合，再加上一個(gè)常向量解。 例5 用Gauss消元法求解下列齊次線性方程組。 解 因?yàn)辇R次線性方程組的增廣矩陣 行初等變換結(jié)果為 ，所以只需對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行行初等變換： ，有一個(gè)自由未知量，取 ，對(duì)應(yīng)解為， 即 4.3 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 型線性方程組的矩陣形式和向量形式分別為 ， 齊次線性方程組總是有解的， 就是它的一個(gè)解. 設(shè)

10、 表示齊次線性方程組所有解組成的集合，即 ， （4.3） 齊次線性方程組的解滿足以下基本性質(zhì)： 定理4.3 設(shè) 是齊次線性方程組 的兩個(gè)解，則 和 的線性組合 也是 的解. 證 已知 ， 。對(duì) 和 的任意線性組合 ，有 ，故 是 的解。 定理4.3說(shuō)明，任取 ，則，從而齊次線性方程組的解集合 是一個(gè)向量空間，稱 為 的解空間。這使得我們可用空間的結(jié)構(gòu)來(lái)研究 的解集合的結(jié)構(gòu). 定義4.3 齊次線性方程組 的解空間 的基稱為該方程組的基礎(chǔ)解系，故若 為 的基礎(chǔ)解系，則有：（1） ，即 是 的解；（2） 線性無(wú)關(guān)；（3）方程組 的任何一個(gè)解 都可表示為的 線性組合，即 （4.4）稱（4.4）為方程組

11、 的通解公式.下面我們確定解空間 的維數(shù). 定理4.4 設(shè) 型齊次線性方程組 的系數(shù)矩陣的秩為 ，則 的解空間 的維數(shù)： 。 證明 設(shè) ，則 的列向量 的秩為 ，不妨設(shè) 的列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組為 ，則其余 列向量為它們的線性組合，即 將它寫成則由4.1.3的討論，我們得到了 的 個(gè)解： （4.5）由于矩陣 的秩為 ，因此線性無(wú)關(guān)。 由定理3.6，行初等變換不改變列的線性關(guān)系，則有 ，其中 ， 為 維基本向量，行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 對(duì)應(yīng)的方程組，當(dāng) 個(gè)自由未知量取為 時(shí)，其一般解表達(dá)式為 。 由定義 為 的基礎(chǔ)解系，故 。 推論1 型齊次線性方程組 的任意 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 都是 的基礎(chǔ)解系. 當(dāng) 時(shí)

12、， ，即 ，這時(shí)齊次線性方程組的唯一解為 ，即零解。等價(jià)地，我們有： 推論2 型線性方程組 有非零解的充要條件是 . 從定理4.4的證明中，我們可得到求基礎(chǔ)解系的方法。（1） 時(shí)，把 的列向量的極大線性無(wú)關(guān)組以外的 個(gè)列向量寫成其極大線性無(wú)關(guān)組的線性組合，由這些組合系數(shù)可以得到基礎(chǔ)解系中的解（4.5）. （2）求出 通解的向量組合形式，即得基礎(chǔ)解系. 例6 求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系和通解。 解 對(duì)方程組系數(shù)矩陣 作行初等變換，將化為行標(biāo)準(zhǔn)形有 . 方法1 從 的行標(biāo)準(zhǔn)形得到結(jié)論： 的4個(gè)列向量 中極大線性無(wú)關(guān)組為 。 ，即得 ，得到解向解向量。 ， 即 ，得到解向量 。從而，方程組的基礎(chǔ)解

13、系為通解 ，為任意常數(shù)， 。 方法2 從 的行標(biāo)準(zhǔn)形，取 作為自由變?cè)瑢?duì)應(yīng)解為 即 ， 為任意常數(shù)。這就是方程組的通解，由解的結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)解系為 例7 設(shè)有矩陣 ，滿足 ，證明： 。 證 設(shè)矩陣 的 個(gè)列向量為 ，則由矩陣乘法： 因此 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 的列向量 是齊次線性方程組 的解向量.從而 ，所以即 . 例8 設(shè) 是一個(gè)三階非零矩陣，它的每一列是齊次線性方程組 的解，求 的值和 解 ，的列向量是上面齊次方程組的解，意味著該齊次方程組有非零解。由定理4.4的推論2，得該齊次方程組的系數(shù)矩陣 的秩 ，故 ， 即 。又當(dāng) 時(shí)， 故方程組的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量，從而 的三個(gè)列線性相關(guān)，得 . 例

14、9 設(shè) 為 實(shí)矩陣，證明： . 證 為 矩陣，則 為 階矩陣，取齊次線性方程組： 型： ； 型： 。先證 和 為等價(jià)的線性方程組。任取 ，即 ，則有 ，即 ，又取 ，即 ，兩邊左乘 ，得 ，即內(nèi)積 ，從而 維向量 為零向量，即綜上所述，二者的解空間相等，即 從而 由定理4.4， ，這就證得了4.4 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 設(shè) 型非齊次線性方程組 。若令其中 ，則得到一個(gè)相應(yīng)的齊次線性方程組 ，稱 為非齊次線性方程組的導(dǎo)出方程組。 定理4.2已給出非齊次線性方程組有解的充要條件和解不唯一的充要條件,Gauss消元法顯示當(dāng)線性方程組解不唯一時(shí)，一定是有無(wú)窮多個(gè)解的。這里將從非齊次線性方程組解的性

15、質(zhì)，給出解的結(jié)構(gòu)。 非齊次線性方程組的解憂如下性質(zhì)。 定理4.5 非齊次線性方程組 的任意兩個(gè)解 的差 是它的導(dǎo)出方程組 的解。 證 由題意， ，故 ，從而 是導(dǎo)出組 的解。 值得指出的是非齊次線性方程組 的兩個(gè)解之和 ，由于 ，從而 不再是方程組的解，即非齊次線性方程組的解的集合已不再是向量空間。這里我們將利用其導(dǎo)出方程組解的結(jié)構(gòu)給出非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。 定理4.6 設(shè)非齊次線性方程組 有解， 是它的一個(gè)解.設(shè) 表示 的導(dǎo)出方程 組的解，則非齊次線性方程組 的通解為 （4.6） 證 設(shè) 是非齊次線性方程組的任何一個(gè)解，則由定理4.5 , 是導(dǎo)出方程組 的解。 由 的任意性，當(dāng) 取遍 的

16、一切解時(shí)，得到 是 的通解，從而有 即 的通解為： 若設(shè) 的一個(gè)解為 ， 為導(dǎo)出方程組 的基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組的解為 . 這和第二節(jié)用Gauss消元法求得的非齊次線性方程組的解的形式相一致。實(shí)際上，用Gauss消元法求出的非齊次線性方程組的解就是通解. 例10 求下列非齊次線性方程組的通解和導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系。 （1） ;（2） . 解 （1）對(duì)增廣矩陣做行初等變換： ，方程組有解；又 ，解唯一。 的行標(biāo)準(zhǔn)型給出唯一解： ，即 。這題的導(dǎo)出方程組 只有零解 ， 沒(méi)有基礎(chǔ)解系。 （2）對(duì)增廣矩陣 做行初等變換： ，取 作為自由未知量 ， 即通解為 ， 為任意常數(shù). 導(dǎo)出 組的基礎(chǔ)解系為

17、 。 例11 設(shè)四維列向量組 中， 線性無(wú)關(guān)， ， 設(shè)4階矩陣 ，求非齊次線性方程組 的通解. 解 由題意，已知 為 型的線性方程組，導(dǎo)出組 的基礎(chǔ)解系含 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 ，由解的結(jié)構(gòu) 的通解 為 .從 ，得 .從而得到導(dǎo)出組 的一個(gè)解： ，該解非零從而線性無(wú)關(guān)，故 的基礎(chǔ)解系可以取為 .又 ，等價(jià)于 .所以 是方程組 的一個(gè)解，因此通解 。 在實(shí)際問(wèn)題中，我們會(huì)有許多系數(shù)矩陣中含有參數(shù)的線性方程組.參數(shù)的取值不同，決定方程組有解、無(wú)解和是否有有唯一解，下面舉例討論這類問(wèn)題. 例12 取何值時(shí)，線性方程組 （1）有唯一解；（2）無(wú)解；（3）有無(wú)窮多解，并求其通解。 解 題目所給的 型非齊次線性方程組，解的不同情形對(duì)應(yīng) 的不同取值范圍. 首先用Cramer法則解（1）： （1）方程組有唯一解的充要條件是系數(shù)矩陣 的行列式： . 而 ， 故 且 。即 且 時(shí)，方程組解唯一. 其他情形則只對(duì)應(yīng) 或者 . （2）當(dāng) 時(shí)， 增廣矩陣 ， ，所以方程組無(wú)解. （3）當(dāng) 時(shí)，增廣矩陣 ， ，方程組有無(wú)窮多解，通解為