1、模塊復習課第1課時計數原理課后篇鞏固提升基礎鞏固1.某科技小組有6名學生,現從中選出3人去參加展覽,至少有1名女生入選的不同選法有16種,則該小組中的女生人數為()A.2B.3C.4D.5解析設男生有x人,則女生有(6-x)人.依題意得C63Cx3=16,即x(x-1)(x-2)+166=654.解得x=4,故女生有2人.答案A2.某城市的街道如圖,某人要從A地前往B地,則路程最短的走法有()A.8種B.10種C.12種D.32種解析根據題意,要求從A地到B地路程最短,必須向下或向右行走.可得,需要向下走2次,向右走3次,共5次,從5次中選3次向右,剩下2次向下即可,則有C53=10(種)不同

2、走法.答案B3.4名男歌手和2名女歌手聯合舉行一場音樂會,出場順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手,則出場方案的種數是()A.6A33B.3A33C.2A33D.A22A41A44解析先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間,并把他們捆綁在一起,看做一個元素和另外的3名男歌手進行全排列,故有A22A41A44種不同的出場方案.答案D4.已知x-ax8的展開式中常數項為1 120,其中實數a是常數,則展開式中各項系數的和是()A.28B.38C.1或38D.1或28解析由題意知C84(-a)4=1 120,解得a=2.令x=1,得展開式中各項系數的和為1或38.答案C5.化簡Cm9Cm+19+C

3、m8=.解析原式=Cm9+Cm8Cm+19=Cm+19Cm+19=0.答案06.設二項式3x+1xn的展開式的第5項是常數項,則這個展開式中第項系數最大.解析Tr+1=Cnrxn-4r3,由T5=Cn4xn-443為常數項,得n-16=0,解得n=16.故第9項系數最大.答案97.要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和夜班,有多少種不同的選法?解從3名工人中選出2名分別上日班和夜班,可分兩步完成.第1步,從3人中選1人上日班,有3種不同的選法;第2步,從剩下的2人中選1人上夜班,有2種不同的選法.根據分步乘法計數原理,可知不同的選法種數為N=32=6.8.已知(1+3x)n的展開式中,末

4、三項的二項式系數的和等于121,求展開式中二項式系數最大的項.解由題意知,Cnn+Cnn-1+Cnn-2=121,即Cn0+Cn1+Cn2=121,1+n+n(n-1)2=121,即n2+n-240=0,解得n=15或-16(舍).在(1+3x)15的展開式中,二項式系數最大的項是第8,9兩項,T8=C157(3x)7=C15737x7,T9=C158(3x)8=C15838x8.9.現有5名教師要帶3個不同的興趣小組外出學習考察,要求每個興趣小組的帶隊教師至多2人,但其中甲教師和乙教師均不能單獨帶隊,求不同的帶隊方案有多少種?解第一類,把甲、乙看做一個復合元素,和另外的3人分配到3個小組中,

5、有C32A33=18(種),第二類,先把另外的3人分配到3個小組,再把甲、乙分配到其中2個小組,有A33A32=36(種),根據分類加法計數原理可得,共有18+36=54(種).能力提升1.設4名同學報名參加同一時間安排的三種課外活動的方案有a種,4名女同學在運動會上共同爭奪跳高、跳遠、鉛球這三項比賽的冠軍的結果有b種,則(a,b)為()A.(34,43)B.(33,34)C.(43,34)D.(A43,A43)解析每名學生報名有3種選擇,4名學生報名就有34種選擇,每項冠軍歸屬結果有4種可能,3項冠軍則有43種可能結果.答案A2.航天員在進行一項太空實驗時,先后要實施6個程序,其中程序B和C

6、都與程序D不相鄰,則實驗順序的編排方法共有()A.216種B.180種C.288種D.144種解析當B,C相鄰,且與D不相鄰時,有A33A42A22=144(種)方法;當B,C不相鄰,且都與D不相鄰時,有A33A43=144(種)方法.故共有288種編排方法.答案C3.某校高二年級共有6個班級,現從外地轉入4名學生,要安排到該年級的2個班級中且每班安排2名,則不同的安排方法種數為()A.A62C42B.12A62C42C.A62A42D.2A62解析將4人平均分成兩組有12C42種方法,將這兩組分配到6個班級中的2個班有A62種方法.所以根據分步乘法計數原理,不同的安排方法有12C42A62種

7、.答案B4.若1x-xxn的展開式中含有x2項,則n的最小值是()A.15B.8C.7D.3解析二項式1x-xxn的展開式的通項Tr+1=Cnr1xn-r(-xx)r=Cnr(-1)rx52r-n.令52r-n=2,得r=2(n+2)5有正整數解;又2與5互質,因此n+2必是5的倍數,即n+2=5k(kN*),n=5k-2(kN*),n的最小值是3.答案D5.某運動隊有5對老搭檔運動員,現抽派4名運動員參加比賽,則這4人都不是老搭檔的抽派方法數為.解析先抽派4對老搭檔運動員,再從每對老搭檔運動員中各抽派1人,故有C54C21C21C21C21=80(種)抽派方法.答案806.高三(三)班學生要

8、安排畢業晚會的3個音樂節目,2個舞蹈節目和1個曲藝節目的演出順序,要求2個舞蹈節目不連排,3個音樂節目恰有2個節目連排,則不同排法的種數是.解析先從3個音樂節目中選取2個排好后作為1個節目,有A32種排法,這樣共有5個節目,其中2個音樂節目不連排,2個舞蹈節目不連排.如圖,若曲藝節目排在5號(或1號)位置,則有4A22A22=16(種)排法;若曲藝節目排在2號(或4號)位置,則有4A22A22=16(種)排法;若曲藝節目排在3號位置,則有22A22A22=16(種)排法.故共有不同排法A32(163)=288(種).12345答案2887.32+133n展開式中的第7項與倒數第7項的系數比是1

9、6,則展開式中的第7項為.解析第7項為T7=Cn6(32)n-61336,倒數第7項為Tn-5=Cnn-6(32)6133n-6,由Cn6(32)n-6(133)6Cnn-6(32)6(133)n-6=16,得n=9,故T7=C96(32)9-6(133)6=C93219=563.答案5638.已知在3x-33xn的展開式中,第6項為常數項.(1)求n;(2)求含x2的項的系數;(3)求展開式中所有的有理項.解通項公式為Tk+1=Cnkxn-k3(-3)kx-k3=Cnk(-3)kxn-2k3.(1)第6項為常數項,當k=5時,n-2k3=0,解得n=10.(2)令10-2k3=2,得k=12

10、(10-6)=2,所求的系數為C102(-3)2=405.(3)由題意得10-2k3Z,0k10,kN,令10-2k3=r(rZ),得10-2k=3r,即k=5-32r.kN,且0k10,r可取2,0,-2,k可取2,5,8.第3項、第6項與第9項為有理項,它們分別為C102(-3)2x2,C105(-3)5,C108(-3)8x-2.9.在6名內科醫生和4名外科醫生中,內科主任和外科主任各1名,現要組成5人醫療小組送醫下鄉,依下列條件各有多少種選派方法?(1)有3名內科醫生和2名外科醫生;(2)既有內科醫生,又有外科醫生;(3)至少有1名主任參加;(4)既有主任,又有外科醫生.解(1)先選內

11、科醫生有C63種選法,再選外科醫生有C42種選法,故選派方法的種數為C63C42=120.(2)既有內科醫生,又有外科醫生,從正面考慮應包括四種情況,內科醫生去1人,2人,3人,4人,易得出選派方法的種數為C61C44+C62C43+C63C42+C64C41=246.若從反面考慮,則選派方法的種數為C105C65=246.(3)分兩類:一是選1名主任有C21C84種方法;二是選2名主任有C22C83種方法,故至少有1名主任參加的選派方法的種數為C21C84+C22C83=196.若從反面考慮:至少有1名主任參加的選派方法的種數為C105C85=196.(4)若選外科主任,則其余可任選,有C94種選法.若不選外科主任,則必選內科主任,且剩余的四人不能全選內科醫生,有C84C54種選法.故有選派方法的種數為C94+C84C54=191.10.球臺上有4個黃球、6個紅球,擊黃球入袋記2分,紅球入袋記1分.求將此10球中的4球擊入袋中,