1、圓錐曲線4mpany number ： WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998圓錐曲線的極坐標方程極坐標處理二次曲線問題教案知識點精析 橢圓、雙曲線、拋物線可以統一定義為：與一個定點（焦點）的距 離和一條定直線（準線）的距離的比等于常數e的點的軌跡.以橢圓的左焦點（雙曲線的右焦點、拋物線的焦點）為極點，過點F作相應準線 的垂線，垂足為K,以FK的反向延長線為極軸建立極坐標系.橢圓、雙曲線、拋物線統一的極坐標方程為：p =之一.1 -ecosd其中P是定點F到定直線的距離，p0.當OVeVl時，方程表示橢圓；當el時，方程表示雙曲線，若P0,方程只表示雙曲線右支，若允許PV

2、0,方程就表示整個雙曲線；當 e=l 時，方程表示開 口向右的拋物線.引論若P =1+GCOS，則OVeVl當時，方程表示極點在右焦點上的橢圓當e=l時時，方程表示開口向左的拋物線 當el方程表示極點在左焦點上的雙曲線(2 )若夕=ep1-esind當OVeVl時，方程表示極點在下焦點的橢圓當e=l時，方程表示開口向上的拋物線當el時!方程表示極點在上焦點的雙曲線(3) p=乎i+esin0當0l時!方程表示極點在下焦點的雙曲線例題選編(1)二次曲線基本量之間的互求例1.確定方程夕=一 表示曲線的離心率、焦距、長短軸長。5-3cos3 109- X 解法一p = T = 5； 31 一二 co

3、s。 1 一二 cos。55解法二：根據極坐標的定義，對右頂點對應點的極角為0,因此只需令6 = 0, 右頂點的極徑，同理可得左頂點的的極徑。根據左右頂點極徑之和等于長 軸長，便可以求出長軸。點睛，解法一采用待定系數法比較常規，解法二利用極坐標的定義，簡潔而有 力，充分體現了極坐標處理問題的優勢。下面的弦長問題的解決使極坐標 處理的優勢顯的淋漓盡致。(2)圓錐曲線弦長問題若圓錐曲線的弦MN經過焦點F,1、橢圓中，p = - -c = , MN=- + -廠，r-.c c1 -ecos。l-ccos(/r-。)eV -c- cos 02、雙曲線中，(注釋：雙曲線問題比較特殊，很多參考書上均有誤解

4、。)若M、N在雙曲線同一支上，|MN| = +電_=、2加;1 - ecos l-ecos3 - 8) - Leos-。若M、N在雙曲線不同支上，卜一丁“QP +ecosO -ecos0 ccos8-。-3、拋物線中，|MN| = m + 1 - = - 1 一cos。 1 -cos(/r-6) sin- 027例I過雙曲線t-J = l的右焦點，引傾斜角為的直線，交雙曲線與A、B兩 4 53點，求I AB I解：根據題意，建立以雙曲線右焦點為極點的極坐標系 5即得 =所以A(若),8(0/ +勺又由 AB =1 + p21 TOC o 1-5 h z ,55, 80彳日 =11=2-3cos

5、 2-3cos( + ) 33注釋：求橢圓和拋揚線過焦點的弦后時，無需對v加絕對值，但求雙曲線的 弦長時，一定要加絕對值，這是避免討論做好的方法。點睛由于橢圓，拋物線的弦的兩個端點極徑均為正值,所以弦長都是；對于兩個 端京都范雙曲線右支上的弦，其端點極徑均為正值,所以弦長也是；對于兩個端 點分別在雙曲線左、布宓幺的弦，其端點極徑一個為正值一個為負值,所以弦長 是-或-(8+22)為統一起見，求雙曲線時一律加絕對值，使用設直線6的傾斜角區 則直線的傾斜角為6 + 90,由極坐標系中焦點弦長 公式知：PQ 1=一3 MN1=-=聲1-|cos261-|cos2(9 + 90) l-1sin2/7

6、0)例一 .過橢圓-b-的左焦點F,作傾斜角為60的直線/交橢圓于A、B兩點，若歸T = 2歸回，求橢圓的離心率.簡解，建立極坐標系，然后利用等量關系，可很快求出離心率。設橢圓的極坐標方程為P =則|以| = .“馬咫=-. l-ecos1 - ecos601 - ecos240：.=2工,解得e=； TOC o 1-5 h z 1， i + 32221COS03變式求過橢圓夕=1的左焦點，且傾斜角為?的弦長|A8|和左焦點到左準 線的距離。解：先將方程夕=化為標準形式：夕12則離心率6 =叩=飛,所以左焦點到左準線的距為2。設4月,）,8（0,牛），代入極坐標方程，則弦長 44（3）定值問題

7、例1.拋物線丁2=2.0）的一條焦點弦被焦點分為,力的兩段，證明：11 一士一+丁定值。 a b解：以焦點F為極點，以FX軸為極軸建立極坐標系，則拋物線的極坐標方程為夕=；一,設 A（a,。）,8（/?招 + 笈）1 一 COS。將a、b兩點代入極坐標方程，得力一一1 - cos 0l-cos（8 + /r） TOC o 1-5 h z nil 11 1 - cos 0 1 -cos（ + zr） 2、貝|J_+ =+:-=-（定值）a b ppp點睛，引申到橢圓和雙曲線也是成立的。112推論：若圓錐曲線的弦MN經過焦點F,則有 + =一mF pVF | ep例二：經過橢圓的的焦點作兩條相互垂

8、直的弦AB和弦CD,求證+焉為 lABl lCDl定值。證明：以橢圓的左焦點建立極坐標系，此時橢圓的極坐標方程為P = -CV又設人（月收）鳳。”+。）,（/0=+夕2 外,二十。則代入可1 c cost/2 J 2/得IA8I= IA8I=則l-e.cosl-e-sm-夕注釋。此公式對拋物線也成立，但對雙曲線不成立。注意使用的范圍。推廣1若經過橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數和也為定值。需要以原點為極點建立極坐標方程。推廣2若不取倒數，可以求它們和的最值。例三（2007重慶理改編）中心在原點。的橢圓拚提=1,點尸是其左焦點，在橢圓上任取三個不同點R，P?B使/尸尸尸2 =/巴尸產3 =/尸

9、安平=120 .證明：匚+熹+匚為定值，并求此定值FP歸尸3O解析：以點尸為極點建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為：p=J,設2-cosd點八對應的極角為氏 則點外與A對應的極角分別為8 + 120、6-120.OQe、2與A的極徑就分別是建j=E、-工-一夕+。）與FP.=92-cos(6-120)因此1112 cos6 2-cos(-120)； + ： + ；7 = + + f 而在二角怛制 FP2 |FP3|999函數的學習中，我們知道cose + cos（8 + 120） + cos（8 120） =。，因此1 1 1H 17 +冉FP, 極坐標分別表示IFPJ、1尸鳥1與1尸鳥1,這樣一個角度對應一個極徑.就不會象 解析幾何那樣，一個傾斜角，對應兩個點，同時對應兩條焦半徑（極徑）,這就是極坐標表示圓錐曲線的優點.推廣1若放在拋物線