1、試卷答案第 頁（共40頁）試卷答案第 頁（共40頁）四川大學2015-2016學年第二學期課程考試試卷答案（A卷）課程名稱：運籌學考試時間：120分鐘年級：xxx級專業：xxx題目部分，（卷面共有85題，0分，各大題標有題量和總分）一、判斷（20小題，共0分）1、在顧客到達及機構服務時間的分布相同的情況下，對容量有限的排隊系統，顧客的平均等待時間少于允許隊長無限的系統。（）答案：對2、若兩兩顧客依次到達的間隔時間服從負指數分布，又將顧客按到達先后排序，則第1、3、5、7、名顧客到達的間隔時間也服從負指數分布。（）答案：錯3、一個排隊系統中，不管顧客到達和服務時間的情況如何，只要運行足夠長的時間

2、后，系統將進入穩定狀態；（）答案：錯4、若兩兩顧客依次到達的間隔時間服從負指數分布，又將顧客按到達先后排序，則第1,3，5、7,名顧客到達的間隔時間也服從負指數分布；（）答案：錯5、在顧客到達及機構服務時間的分布相同的情況下,對容量有限的排隊系統,顧客的平均等待時間將少于允許隊長無限的系統；（）答案：對6、假如到達排隊系統的顧客來自兩個方面,分別服從泊松分布,則這兩部分顧客合起來的顧客流仍為泊松分布。（）答案：對7、在顧客到達的分布相同的情況下,顧客的平均等待時間同服務時間分布的方差大小有關,當服務時間分布的方差越大時,顧客的平均等待時間將越長；（）答案：對8、在機器發生故障的概率及工人修復一

3、臺機器的時間分布不變的條件下,由1名工人看管5臺機器,或由3名工人聯合看管15臺機器時,機器因故障等待工人維修的平均時間不變。（）答案：錯9、假如到達排隊系統的顧客來自兩個方面,分別服從普阿松分布,則這兩部分顧客合起來的顧客流仍為普阿松分布；（）答案：對10、在顧客到達分布相同的情況下,顧客的平均等待時間同服務時間分布的方差大小有關當服務時間分布的方差越大時,顧客的平均等待時間就越長。（）答案：對11、在排隊系統中，一般假定對顧客服務時間的分布為負指數分布，這是因為通過對大量實際系統的統計研究，這樣的假定比較合理；（）答案：錯12、若到達排隊系統的顧客為普阿松流，則依次到達的兩名顧客之間的間隔

4、時間服從負指數分布；（）答案：對13、在機器發生故障的概率及工人修復一臺機器的時間分布不變的條件下，由1名工人看管5臺機器，或由3名工人聯合看管15臺機器時，機器因故障等待工人維修的平均時間不變。（）答案：錯14、對M/M/I或M/M/C的排隊系統，服務完畢離開系統的顧客流也為泊松流。）答案：對15、對M/M/1或M/M/C的排隊系統，服務完畢離開系統的顧客流也為普阿松流；（）答案：對16、在排隊系統中，一般假定對顧客服務時間的分布為負指數分布，這是因為通過對大量TOC o 1-5 h z實際系統的統計研究，這樣的假定比較合理。（）答案：錯17、排隊系統中，顧客等待時間的分布不受排隊服務規則的

5、影響；（）答案：錯18、一個排隊系統中，不管顧客到達和服務時間的情況如何，只要運行足夠長的時間后，系統將進入穩定狀態。（）答案：錯19、若到達排隊系統的顧客為泊松流，則依次到達的兩名顧客之間的間隔時間服從負指數分布。（）答案：對20、排隊系統中，顧客等待時間的分布不受排隊服務規則的影響。（）答案：錯二、填空（1小題，共0分）1、M/M/c（其中c2）等待制排隊系統的服務臺的平均繁忙數C為，系統的實際利用率為;而等待空間有限的M/M/c/k系統的平均繁忙臺數為，系統的實際利用率為答案：解p=,P=一，p（1-p）,p（1-p）.HCc”kck三、計算解答（50小題，共0分）1、某醫院手術室根據病

6、人來診和完成手術時間的記錄，經統計分析算出每小時病人平均到達率為2.1人/h,為泊松分布。每次手術平均時間0.4h/人，即平均服務率是2.5人/h,服從負指數分布。求：試卷答案第 頁(共40頁)試卷答案第 頁(共40頁)(1)病房中病人的平均數(L)。排隊等待手術病人的平均數(L)。q病人在病房中平均逗留時間(W)。病人排隊等待時間(期望值隊W)。q答案：九二2.1人/h,卩=2.5人/h2.1=0.842.5該手術室為M/M/1/g系統(1)病房中病人的平均數：L=2.1人=5.25人排隊等待手術病人的平均數：L=Lp=5.25人x0.84=4.14人q1(1)病人在病房中平均逗留的時間：W

7、=一=h=2.5h卩一入12.5-2.1丿病人排隊等待時間：W=W=2.5hx0.84=2.1h2、某公司打字室平均每天接到22份要求打字文件,一個打字員完成一個文件打字平均需時20min,以上分別服從普阿松分布和負指數分布。為減輕打字員負擔，有兩個方案：一是增加一名打字員,每天費用為40元,其工作效率同原打字員；二為購一臺自動打字機以提高打字效率,已知有三種類型打字機,其費用及提高打字的效率如表所示。表型號每天費用/元打字員效率提高程度/%1375023975343150據公司估測，每個文件若晚發出1h將平均損失0.80元。設打字員每天工作8h，試確定該公司應采用的方案。答案：該系統總費用T

8、C=C+(0.8)(8)-L，式中C為每天固定費用。對4個方案的計算s見表項目九卩LsTC二C+(0.8)(8)-Ls增加1名打字員22241.2440+6.4X1.24=47.94購1型新機器22361.5737+6.4X1.57=47.05購2型新機器22421.139+6.4X1.1=46.04購3型新機器22600.5840+6.4X0.58=46.70故結論為購買一臺2型的自動打字機。3、一個有2名服務員的排隊系統各自獨立為顧客服務，服務時間均為平均值15min的負指數分布。設顧客甲到達時兩名服務員均空閑,5min后顧客已到達，這時甲未服務完，再過10min第三名顧客丙到達，這時甲和

9、乙均正被服務中。試回答出現下列情況的概率：(a)甲在乙之前結束服務；(b)丙在甲之前結束服務；(c)丙在乙之前結束服務。答案：(a)1/2；(b)1/4；(c)1/44、一個有一套洗車設備的洗車店，要求洗車的車輛平均每4min到達一輛，洗每輛車平均需3min,以上均服從負指數分布。該店現有2個車位，當店內無車時，到達車輛全部進入;當有一輛車時，有80%進入；2個車位均有車時，到達車輛全部離去。要求：(a)畫出此排隊系統的生死過程發生率圖；(b)求洗車設備平均利用率及一輛進入該店車輛的平均停留時間W；(c)為減少顧客損失，該店擬租用第3個車位，這樣當店內已有2輛車時，新到車s輛有60%進入，有3

10、輛車時，新到車輛全部離去。若該車店每天營業12h，新車位租金為100元/d，洗一輛車的凈盈利為5元，則第3個車位是否值得租用？答案：(a)生死過程發生率圖見圖(b)由圖列出狀態平衡方程并求解得到p=0.4545,p=0.3409,p=0.2046,洗車設備0np(一P0effp2(c)當租用第3個車位時，可用與上述相同步驟求得P0二0.416,P1二0.312,P2=0.187,P3二0.085。有2個車位時每天損失顧客為12x15x0.2046=36.8輛，增加到3個車位時損顧客12x15x0.085=15.3輛，即每天少損失21.5輛，可增加收入21.5x5二107.5(元)，大于租金10

11、0元，故值得租用。5、某市消費者協會一年365天接受顧客對產品質量的申訴。設申訴以九二4件/d的普阿松流到達，該協會處理申訴的定額為5件d，當天處理不完的將移交專門小組處理，不影響每天業務。試求：(a)年內有多少天無一件申訴；(b)一年內多少天處理不完當天的申訴。答案：(a)7d(b)79d6、某場籃球比賽前來到體育館某售票口買票的觀眾按普阿松分布到達，平均1人/min，設該口售票速度服從負指數分布，平均售每張票時間為20s，試回答：如有一個球迷于比賽前2min到達售票口，并設買到票后需1.5min才能找到座位坐下,求該球迷在比賽開始前找到座位坐下的概率；如該球迷希望有99%的把握在比賽開始前

12、找到座位坐下，則他最遲應提前多少min到達售票口。口I|o答案：(a)PWt=e-M(i-p)t=0.01se-21=0.01,得t=2.3t=3.8分，即球迷至少提前3.8min到達。7、某服務系統有兩名服務員，顧客到達服從泊松分布，平均每小時到達兩名。服務時間服從負指數分布，平均服務時間為30min。又知系統內最多只能有3名顧客等待服務，當顧客到達時，若系統已滿，則自動離開，不再進入系統。求：系統空閑時間。顧客損失率。服務系統內等待服務的平均顧客數。在服務系統內的平均顧客數。顧客在系統內的平均逗留時間。顧客在系統內的平均等待時間。被占用的服務員的平均數。答案：將此系統看成一個M/M/2/5

13、排隊系統，其中九=2M=5M=n=/k=4,(42(1-(4/2)5-2+1)-1系統空閑時間：P=1+4+一一=0.008。0(2(1-4/2)丿45x0.008顧客損失率：P=0.512。52!x25-2(3)服務系統內等待服務的平均顧客數：0.008x42x(4/2)(4、5-2+1r4)(4、5-2L=1-1-_(5-2+1)q2!(1-4/2)212丿12丿12丿(4)在服務系統內的平均顧客數：L=L+p(1-p)=2.18+4x(1-0.512)=4.13人。q5W=L=4.13=4.23min。(5)顧客在系統內的平均逗留時間：九(1p5)2x(10.512)(6)顧客在系統內的

14、平均等待時間W二W1/r二4.232二2.23min。q(7)被占用的服務員的平均數。n=LL=4.132.18=1.95個q8、考慮一個顧客到達服從普阿松分布的排隊系統。服務員必須對每名顧客依次完成兩項不同的服務工作，即對每名顧客的總的服務時間是上述兩項服務時間的總和(彼此統計獨立)。(a)假定第一項服務時間為1/R=1min的負指數分布，第二項服務時間為愛爾朗分布，平均為3min，k=3，問應該用哪一種排隊理論模型代表上述系統；(b)如(a)中第一項服務時間變為k=3的愛爾朗分布，平均服務時間仍為1min,又應該用哪一種排隊理論模型來代表這個系統？1答案：(a)用M/E/1模型，E參數為r

15、=,k=4；kk4(b)用M/G/1模型，G分布的期望值為4；1110b2=+=-3(3)23(139、圖書館出借室每小時平均有50個讀者到達借書，為泊松流，管理員查出和辦理好出借手續平均需要2min。問欲使讀者平均等待時間不超過5min,需要幾名管理人員？答案：M/M/S250X=50人/h,r=30人/h,b=1.667r30=0.833當s=2時，p=A=_50_sr2x30Lk=0Css!(1P)-i1+1.667+1.66722(1-0.833)=1=1+1.667+8.32=0.091L=上P=皿72%833x0.091=3.777qs!(1-P)202!(1-0.833)2L3.

16、777W=q=h=0.0755h=4.53min3=1-Pn4)=1-P(n4)=1-P(n5)=1-P(n2)=1-(0.134+0.268+0.268+0.179+0.089+0.036)=0.026%3%所以應配備5個中隊12、按照Kendall分類法，為下列系統分類或敘述其含義：泊松輸入、定長服務、3個并聯服務臺、系統容量為r。一般獨立輸入、指數服務、單服務臺。G/E/1/1。3M/G/3/15/15。答案：(1)泊松輸入，定長服務，3個并聯服務臺，系統容量為r:M/D/3r一般獨立輸入，指數服務，單服務臺：G/M/1G/E/1/1：一般獨立輸入，3階段愛爾朗分布，單服務臺，系統容量為

17、13M/G/3/15/15:泊松輸入，一般獨立服務，3個并聯服務臺，系統容量為15，顧客源限額為15。13、設輪船以九0的普阿松(Possion)流到達港口碼頭，碼頭的裝卸時間服從卩0的負指數分布.若輪船在港口每停留一小時要損失C萬元，碼頭的服務費用正比于其服務率為1每小時C萬元，為使整個航運系統的支出費用達到最低試求：2(1)該系統的最優服務率和最低費用；（2）若九=50艘/h,C=10萬元，C=20萬元，試求卩*.12答案：解（1）此排隊系統為M/M/1等待制排隊系統，其隊長L=s九卩一九單位時間內每艘船的損失費為li=單位時間內系統的服務費為12-C2卩。故系統單位時間由所需總費用為C丸

18、T（卩）=l+1+C卩12卩一九2C九1一（卩一九）2解得卩=九土：C九/C2依題意取卩*=九+PC九/C2，故系統的最小費用為T(卩*)=1+C卩*=C九+2pCC九卩*一九22V12(2)卩*=(50+：1020)艘/h=55艘/h.14、工件按泊松流到達某加工設備，九=20個/h。據測算，該設備每多加工一個小時工件將增加收入10元，而工件每多等待或滯留一個小時將增加支出1元，試確定該設備最優的加工效率卩。答案：21.414個/h。15、某貨場計劃安裝起重設備，專門用于為前來運貨的汽車裝貨。有三種起重設備可供選擇，如下表所示。設前來運貨的汽車按泊松分布到達，平均每天到達150輛，每輛車載重

19、5t。由于貨物包裝、品種上的差別，每輛汽車實際裝載時間服從負指數分布。已知該貨場每天工作10h，每輛汽車每停留一小時的經濟損失為10元。試決定該貨場應安裝哪一種起重設備最合算？起重每天固定費用/元每小時操作費用/元平均每小時裝載能力/t甲6010100乙13015200丙25020600答案：安裝乙起重設備最合算（比甲節約120元/天，比丙節約124.28元/天）。16、某醫院門前有一出租汽車停車場，因場地限制，只能同時停放5輛出租汽車，當停滿5輛后，后來的車就自動離去。從醫院出來的病人在有車時就租車乘坐，停車場無車時，就向附近出租汽車站要車。設出租汽車到達醫院門口按九二8輛/h的普阿松分布，

20、從醫院依次出來的病人的間隔時間為負指數分布，平均間隔時間6min。又設每輛車每次只載一名病人，并且汽車按到達先后次序排列接客，試求：(a)出租汽車開到醫院門口時，停車場有空閑停車場地的概率；(b)汽車進入停車場到離開醫院的平均停留時間；(c)從醫院出來的病人在醫院門口要到出租車的概率。答案：這個問題中如把汽車當成服務機構，對顧客病人來說就構成一個待消失的服務系統。但在這個系統中服務站的個數是未知數，不好求解，因此，只能先求解另一個服務系統。把停車場停放位置與到達的汽車當成一個有限排隊的系統。在這個系統中：R二10(1-P)0九1(九/u)M+11(九/U)M+1TOC o 1-5 h z HY

21、PERLINK l bookmark192 o Current Document P=-0.8(1P)=0.8/1(U)=0.8/:廣)將M=5代入 HYPERLINK l bookmark194 o Current Document (-)2(-)7=0.81(-)6 HYPERLINK l bookmark198 o Current Document uuu因0p10/h18、某工廠有大量同一型號的車床，當該種車床損壞后或送機修車間或由機修車間派人來修理。已知該種車床損壞率是服從普阿松分布的隨機變量，平均每天2臺。又知機修車間對每臺損壞車床的修理時間為服從負指數分布的隨機變量，平均每臺的修

22、理時間為1/卩d。但卩是一個與機修人員編制及維修設備配備好壞（即與機修車間每年開支費用K）有關的函數。已知嘰K)=0.1+0.001K(K1900元)又已知機器損壞后，每臺的生產損失為400元/d，試決定使該廠生產最經濟的K及卩的值。答案：在這個問題中包括兩方面費用：機器損壞造成的生產損失S和機修車間的開支1S，要使整個系統生產最經濟，就是要使S二S+S為最小。下面以一個月為期進行計212算：S=（正修理和待修機器數）x（每臺每天的生產損失）x（每個月的工作日數）=Lx400 x25.5=10200()=10200()卩一九0.1+0.001K九1=10200(麗)S2=K/12S=K/12+

23、10200(20.001K-1.9dSdK1220400(0.001K1.9)2(0.001)=0計算得K=17550元,r=17.65,S=2767元。19、某律師事務咨詢中心，前來咨詢的顧客服從泊松分布，平均每天到達50個。各位被咨詢律師回答顧客問題的時間是隨機變量，服從負指數分布，每天平均接待10人。每位律師工作1天需支付100元，而每回答一名顧客的問題的咨詢費為20元，試為該咨詢中心確定每天工作的律師人數，以保證純收入最多。答案：這是一個M/M/n系統確定n的問題，因為：九=50,卩=10,p=/卩=5,p*=P/n=5/n，則:-1PkPk11P=乂匚+0k!k!1p*Lk=0設f(

24、n)表示當律師數為n個時的純收入，則:f(n)=100n+200p5乂2+0k!(n1)!(n5)k=0對n的約束只有一個，即P*5，為求n，我們由下表計算f(n)，再取最大值。n678p04.51x10-35.97x10-37.2x10-3f(n)399.97287.49274.87由此可以看出，當n=6時，律師咨詢中心的純收入最大。20、汽車按普阿松分布到達某高速公路收費口，平均90/h。每輛車通過收費口平均需時35s,服從負指數分布。司機抱怨等待時間太長，管理部門擬采用自動收款裝置使收費時間縮短到30s,但條件是原收費口平均等待車輛超過6輛，且新裝置的利用率不低于75%時才采用，問上述條

25、件下新裝置能否被采用。答案：原收費口平均等待車輛L=6.12，采用新裝置后利用率可達75%,故應采用新裝置。q21、某街道口有一電話亭，在步行距離為4min的拐彎處有另一電話亭。已知每次電話的試卷答案第 頁(共40頁)試卷答案第 頁(共40頁)平均通話時間為1/卩=3min的負指數分布，又已知到達這兩個電話亭的顧客均為九=10個/h的普阿松分布。假如有名顧客去其中一個電話亭打電話，到達時正有人通話，并且還有一個人在等待，問該顧客應在原地等待，還是轉去另一電話亭打電話。答案：如去另一電話亭時，W=3min，加步行共需7min，而原地等待平均只需6min，q故結論為應在原地等待。22、某醫院急診室

26、每小時到達1個病人，輸入為最簡單流，急診室僅有1名醫生，病人接受緊急護理平均需20min，服務時間為負指數分布，試求：穩態情況下：沒有病人的概率；有兩個病人的概率；急診室里病人的平均數；排隊中病人的平均數；病人在急診室中的平均時間。為了保證病人所花總時間少于25min,平均服務時間必須降至多少分鐘？尢1答案：九=1,卩=3人/hp=M/M/1力系統卩3P=1-p=1-1/3=2/3=0.67所以沒有病人的概率為0.67有兩個人的概率：P=e2(1-p)=(1/3)2(1-1/3)=2/27=0.0742九(1急診室里的病人的平均數：L=一=人=(1/2)人=0.5人卩一入(3-1)排隊中病人的

27、平均數：Lq=Lp(11、1-X-人=一人=0.167人123丿6病人在急診室中的平均時間：W=31)0.5h(2)W=11255H-九12n卩17=3.4人/h551=存0h/人=17皿人所以為了保證病人所花總時間少于25min,平均服務時間必須降至17.64min。23、工件按普阿松流到達某加工設備，九=20個/h，據測算該設備每多加工一個工件將增加收入10元，而由于工件多等待或滯留將增加支出1元/h,試確定該設備最優的加工效率卩。答案：20+：10=21.41424、某廠的原料倉庫，平均每天有20車原料入庫，原料車到達服從泊松分布，卸貨率服從負指數分布，平均每人每天卸貨5車，每個裝卸工每

28、天總費用50元。由于人手不夠而影響當天裝卸貨物，導致每車的平均損失為每天200元。試問，工廠應安排幾名裝卸工最節省開支？答案：此問題為一個M/M/n系統確定n的問題，因為：九二20,v=5,p=/卩二4,p*=p/n二4/n。設f(n)表示當裝卸工有n個時工廠在裝卸方面的總支出，則所求為:Min(n)二50n+ECw其中C為由于貸車等待裝卸而導致的單位時間的經濟損失。wC二100L二100wp+n+1(n1)!(n-p)2經計算得n5678910ECw17466.73813.3652.8481.342640850n250300350400450500f(n)17716.74113.31002.

29、8881.3876908由此可以看出，當有9名裝卸工時，工廠的支出最小。25、某機場有兩條跑道，每條跑道只能供1架飛機降落，平均降落時間為2min，并假定飛機在空中等待的時間不得超過l0min，試問該機場最多能接受多少架飛機降落？答案：M/M/2W二10min,卩二0.5架/minq試卷答案第 頁(共40頁)試卷答案第 頁(共40頁)試卷答案第 頁（共40頁）b1k乂+k!Lk=oCss!(1-P)-1C22(1-P)11+HH九2+廠2H2(1-)2HC2Pp2!(1p)202卩32!(1-命)21+3+九3H(4H2-32)L32W=屮=10t=0.91q3H(4H2-32)L=W3=10

30、 x0.91=9.1架qq(091L=L+c=9.1架=10.92沁11架qV0.5丿即該機場最多能接受11架飛機降落。26、某單位電話交換臺有一部200門內線的總機。已知在上班的時間內，有20%內線分機平均每40min要一次外線電話，80%的分機平均隔2h要一次外線電話，又知從外單位打來電話的呼喚率平均1次/min。設通話時間長度平均3min,又以上時間均屬負指數分布。如果要求外線電話接通率為95%以上，問該交換臺應設置多少條外線？答案：（1）來到電話交換臺的呼喚有兩類：一是各分機往外打電話，二是從外單位打進來601的電話。前一類九=（x0.2+T7x0,8）x200=140后一類九=60,

31、根據普阿松分布性14022質，來到交換臺的總呼喚流仍為普阿松分布，其參數3=3+3=200。12（2）這是一個多服務站的帶消失的系統，要使電話接通率達到95%以上，即損失要低于5%,也即P=s0.05/n!n=0問題中H=20,-=10，可以用表進行計算，求S。HS(-)s/S!f(-)n/n!n=0PS01.01.01.0110.011.00.909250.061.00.8203166.7227.70.7324416.7644.40.6475833.31477.70.56461388.92866.60.48571984.14850.70.40982480.27330.90.33892755.

32、710086.60.273102755.712842.30.215112505.215347.50.163122087.717435.20.120131605.919041.10.084141147.120188.20.05615764.720952.90.036根據計算看出為了外線接通率達到95%時，應不少于15條外線。27、考慮一個顧客輸入為普阿松流、服務時間為負指數分布的排隊服務系統，求：有一個服務站時，當平均服務時間為6s,到達時間分別為有5:0,9.0,9.9名/min時的L,L,W和W；sqsq有兩個并聯服務站時，當平均服務時間為12s，到達時間分別為5.0,9.0,9.9名/mi

33、n時的L,L,W和W。sqsq答案：(a)和(b)的計算結果分別見下表1和表2表1九LLWWPqsqs05.00.5010.100.200.59.08,1090.901.000.19.998.01999.9010.000.01表2九LqLsWqWsP05.00.3331.3330.0670.2670.3339.07.7279.5270.8591.0590.0539.097.03099.0109.80110.0010.00528、某公司的一個倉庫可同時貯存4件物品，對該物品的需求服從普阿松分布。平均10件月，當取走一件物品時，立即提出訂貨，但平均需1個月到貨，服從負指數分布。如有顧客購貨而倉庫內

34、無貨時，該顧客將去別處購買。求該公司由于倉庫無貨而離去的顧客與總顧客的比例。答案：本題中將存貯的物品當作服務員，訂貨所需時間看作服務員對一名顧客的服務時間，當4個物品均在訂購途中時，即4名服務員均處于忙碌，到達顧客將離去，其概率為p4=（入/y/4!=0.647f（-）n/n!n=029、有M/M/1模型，平均服務率H=10，就兩種到達率：九=6；九=15(分鐘)已計算出相應的概率p，如表所示n系統中顧客數n（九=6）pn（九=15）pn00.420.0510.250.0720.150.1130.090.1640.050.2450.040.37試就這兩種情況計算求：(1)有效到達率和服務臺的服

35、務強度；(2)系統中平均顧客數；系統的滿足率；服務臺應從哪些方面改進工作？理由是什么？答案：解第一種情況：當入=6,H=10時，有p=p=0.04,p=/H=0.6N51)有效到達率為九二九(1p)二6(10.04)二5.76e5九P=(1P)=HN服務臺的服務強度為10 x(10-04)=66096=576(2)系統中平均顧客數為L=L+九/HPc1(cI)!(cP)2sq1PNc(Nc)(1P)PNcccc=0.426610.65-1(51)6(10.6)60.65-10!(10.6)=0.42x丄6(10.64460.460.64)=0.6960.4L二L+九/卩二0.696+5.76/

36、10二1.272sqe系統的滿足率為p=0.045服務臺應降低服務強度，原因是因為系統中沒有顧客的概率比重較大。第二種情況當九=15時，p二p二0.37,p二九/H=1.5。N5(1)有效到達率為九二九(1p)二156(10.37)二9.45eN服務臺的服務強度為P=-(1p)=HN拾6(1037)=0945系統中平均顧客數為L二L+九/HsqePc+1L=p-、1PN-c(NC)(1p)pN-cq0(c1)!(cp)2ccL1.52二0.03611.55-1(51)6(11.5)61.55-1沁1.636(11.5)2試卷答案第 頁（共40頁）試卷答案第 頁（共40頁）九L=L+r=1.63

37、69+9.45/10=2.581sq卩（3）系統的滿足率為p=0.37。5（4）服務臺應提高服務率，原因是九/卩1，會使排隊隊長增大而等待空間有限，致使有些顧客得不到服務而自動離開。30、某貨場計劃安裝起重設備專為來運貨的汽車裝貨。有三種起重設備可供選擇，如表所示。起重機械每天固定費用/元每小時操作費/元平均每小時裝載能力/t甲6010100乙13015200丙25020600設來運貨的汽車按普阿松分布到達，平均到達150輛/d，每輛車載重量51，由于貨物包裝、品種上差別，每輛汽車實際裝載時間服從負指數分布，已知該貨場工作10h/d，又每輛汽車停留的經濟損失為10元/h。試決定該貨場應安裝哪一

38、種起重機械最合算？答案：“15車/h,卩甲二20車/h,匕二40車/h,卩丙二120車/h，見表安裝起重機固定費用九X（每小時操作費）X（工作時間）X（車輛數）X每小時損失H入合計15X10 x10二751X150X10300202015甲60151435乙130X15X10二56x150 x1060246404015丙250151289X20X1025X150X101412012015結論：安裝起重機械乙最合算。31、某車間有4臺自動車床可自動運轉，僅在故障時需要工人調整一下，平均每小時有2臺需要調整，調整一次平均時間為1h,調整工人工資每小時0.4元，機床停工損失每小時1.2元。試求應由幾

39、個工人看管，才能使總費用最小？答案：M/M/s/4/4X=2臺/h,y=1臺/h,Q=-=2,F（s）=0.4S+1.2L（s）0.4L（S*）-L（z1）巨=033L（一1）-L（S*）P=xmm!/.bk-1=10（m一k）!k=04!4!4!4!1+22+2+-243!2!1!1!10.00161+8+48+192+384L11L二m節（1P0）二4-2（1-0.0016）二3.5008當s二2時，r=1sp2x1Em!ssVbk+厶rkk!（m一k）!s!（m一k）!Lk=0k=s+1m!-11+4!2+旦22+蘭W4八3!2!x2!2!1!1+8+48+2（24+24）0.0078P

40、=0.0624,P=0.1872,P=0.3744,P=0.37441234L=np=0.624+2x0.1872+3x0.3744+4x0.3744=3.0576nn=1當s=3時，Em!ssVm!bk+厶rkk!（m一k）!s!（m一k）!k=0k=s+1一13!旦22+竺23+33x4!x噸2!x2!1!x3!3!x11+8+24+32+21.376=0.0116P=0.0928,P=0.2784,P=0.3712,P=0.24801234L=np=0.0928+2x0.2784+3x0.3712+4x0.2480=2.7552nn=1L(s-1)-L(s=2)=3.5008-3.057

41、6=0.4432L(s=2)-L(s=3)=3.0576-2.7552=0.3024所以，L(s=2)L(s=3)0.33L(s=1)L(s=2)所以，s*=2,即應由2個工人看管，才能使總費用最小。32、顧客按普阿松分布到達只有一名理發員的理發店。平均10人/h。理發員對每名顧客的服務時間服從負指數分布，平均為5min。理發店內包括理發椅共有三個座位，當顧客到達無座位時，就依次站著等待。試求:（a）顧客到達時有座位的概率；（b）到達的顧客需站著等待的概率；（c）顧客從進入理發店到離去超過20min的概率；（d）理發店內應有多少座位，才能保證80%顧客在到達時就有座位。答案：（a）0.4213

42、;（b）0.5787;（c）0.5134;（d）9個座位33、來到某餐廳的顧客流服從普阿松分布，平均20/h。餐廳于上午11:00開始營業，試求：（a）當上午11:07有18名顧客在餐廳時，于11:12恰好有20名顧客的概率（假定該時間區間內無顧客離去）（b）前一名顧客于11:25到達，下一名顧客在11:28至11:30之間到達的概率。答案：（a）0.2623（b）0.17934、設到達一個加工中心的零件平均為60件/h，該中心的加工能力為平均75件/h，問處于穩定狀態時該加工中心的平均輸出率為60件/h還是75件/h?簡要說明理由。答案：穩定狀態時平均輸出率為60件/h35、某修理店只有一個

43、修理工人，來修理的顧客到達次數服從普阿松分布，平均每小時4人，修理時間服從負指數分布，平均需6min.求：（1）修理店空閑時間概率；（2）店內有3個顧客的概率；（3）店內至少有一個顧客的概率；（4）在店內顧客平均數；答案：解該系統為（M/M/1/s心）模型，九二4,卩二60/6二10,p二九/卩二4/10二2/5。(1)p二1-P二1-2/5二3/5二0.6；0p=(1-p)p3=(1-2/5)(2/5)3=0.03831-p=1-6/10=2/5=0.404)L=上=人=2q0.67人.sH-九10-4336、某加油站有一臺油泵。來加油的汽車按普阿松分布到達，平均每小時20輛，但當加試卷答案

44、第 頁(共40頁)試卷答案第 頁(共40頁)油站中已有n輛汽車時，新來汽車中將有一部分不愿等待而離去，離去概率為n/4(n=0,l,2,3,4)。油泵給一輛汽車加油所需要的時間為具有均值3min的負指數分布。畫出此排隊系統的速率圖；導出其平衡方程式；求出加油站中汽車數的穩態概率分布；求那些在加油站的汽車的平均逗留時間。答案：(a)見圖速率圖和表所示。UP=九P1000九P+UP=（九+U）P002111九P+uP=（九+U）P2113223九P+UP=（九+U）P422433九P=UP3344九九九九九九九九九九（b）乂P=1,.P（0+卜+012+0123+1）=1i0UU2U3U4i=0U

45、=20輛/h九=20輸/h0九=15輛/h九=10輛/h九=5輛/h12320 x1520 x15x1020 x15x10 x5.+-3=0.311202203204P=0.311;P=15x0.311=0.233;P=巴x0.233=0.1171220320p.=1+204203P=0.0284(d)Ws沁0.088(h)S九37、某倉庫貯存的一種商品，每天的到貨與出貨量分別服從普阿松分布，其平均值為c，要求:221推導每天總期望費用的公式；使總期望費用為最小的P-九/卩值。答案：每天總期望費用e(tc)-Ci-占比(1)(b)P*1-38、一個車間內有10臺相同的機器，每臺機器運行時能創造

46、利潤4元/h，且平均損壞1次/h。而一個修理工修復一臺機器平均需4h。以上時間均服從負指數分布。設一名修理工工資為6元/h，試求：該車間應設多少名修理工，使總費用為最小；若要求不能運轉的機器的期望數小于4臺，則應設多少名修理工；若要求損壞機器等待修理的時間少于4h,又應設多少名修理工。答案：(a)設該車間有x名修理工，則機器停工損失加修理工工資的費用(/h)如表所示：xLS4L+6xS18.2539.026.538.035.0238.0844.1540.653.7845.1263.6750.68由表，應設2名修理工(b)5名；(C)計算不同X時的W值見表SX123456WS33.314.37.

47、074.964.263.67故應設6名修理工。39、考慮某個只有一個服務員的排隊系統，輸入為參數九的普阿松流，假定服務時間的概率分布未知，但期望值已知為1/卩。(a)比較每個顧客在隊伍中的期望等待時間，如服務時間的分布分別為：負指數分布；定長分布；愛爾朗分布，b值為負指數分布的1/2;(b)如九與卩值均增大為原來的2倍，b值也相應變化，求上述三種分布情況下顧客在隊伍中期望等待時間的改變情況。答案：(a)W=q九卩(卩一九)=丄b2=,即k=42卩4b2=8（b）令（a）中的W=Kq15,K分別為1,亍。因為九*=2九,卩*=2卩，代入得X*28W*=K（=K匚2九、=K-（X,）q卩*（卩*_

48、入*）2卩（2卩一2入）2卩（卩_入）即平均等待時間分別都為原來的一半。40、汽車按普阿松分布到達一個汽車服務部門，平均5輛/h。洗車部門只擁有一套洗車設備，試分別計算在下列服務時間分布的情況下系統的L,L,W與W的值：sqsq洗車時間為常數，每輛需10min;負指數分布,1/卩=10mint為515min的均勻分布；正態分布，卩=9min,Var(t)=42(e)離散的概率分布P(t二5)二1/4,P(t二10)二1/2,P(t二二1/4。答案：各項計算結果見表LLW/hW/hsqsq(a)2.9172.0830.5830.417(b)5.04.171.00.83(c)3.092.2570.

49、6180.451(d)1.931.181.930.236(e)3.182.3470.6360.46941、某電話站有2臺電話機，打電話的人按泊松流到達，平均每小時24人。設每次通話時間服從負指數分布，平均為2min。求該系統的各項運行指標L,L,W,W。qq答案：M/M/2系統九24九=24人/h,卩=30人/h,5=24/30=0.8,p=0.4s卩2x30-ik!s!(1-p)1+0.8+0.822!(1-0.4)1+0.8+0.53=0.43L=q5sps!(1-p)20.82x0.4P0=2!(1-0.4)2x0.43人=0.15人丿L=L+5=(0.15+0.8)人=0.95人qwL

50、(0.95W=l=h=0.04h九I24丿L0.15W=才=()h=0.006hq九2442、設有一個醫院門診，只有一個值班醫生。病人的到達過程為泊松流，平均到達時間間隔為20min,診斷時間服從負指數分布，平均需12min,求：病人到來不用等待的概率。門診部內顧客的平均數。病人在門診部的平均逗留時間。若病人在門診部內的平均逗留時間超過1h，則醫院方將考慮增加值班醫生。問病人平均到達率為多少時，醫院才會增加醫生？答案：單位時間為h，九=3,|lx=60/12=5,p=X/e=0.6:(1)病人到來不不等待的概率：P0=1-p=1-0.6=0.4。,p0.6門診部內顧客的平均數：L=i-p=匚亦

51、=1.5人(3)病人在門診部的平均逗留時間：W=0.5h若病人在門診部內的平均逗留時間超過1h，則有:所以九_4。即當病人平均到達時間間隔小于等于15min時，醫院將增加值班醫生。43、某系統有3名服務員，每小時平均到達240名顧客，且到達服從泊松分布，服務時間服從負指數分布，平均需0.5min,求：整個系統內空閑的概率。顧客等待服務的概率。系統內等待服務的平均顧客數。平均等待服務時間。系統平均利用率。若每小時顧客到達的顧客增至480名，服務員增至6名，分別計算上述(1)(5)的值。答案：此為系統為M/M/n(n_3)服務模型，2401九_4(人/min),p_2(人/min)，600.5p_

52、X/p_2,n_3。整個系統內空閑的概率：P_0X2Pkp3厶十k!k_0_1_(1十2十2十4)_1_0.111。顧客等待服務的概率：Pw0_P4_0.444989_888人系統內等待服務的平均顧客數：L_巴十1pq(n_1)!(n_p)20平均等待服務時間：W=士=8X1=2=0.222q九949(5)系統平均利用率；P*=P/n=2/3=0.667。(6)若每小時到達的顧客增至480名，服務員增至6名，分別計算上述(1)(5)的值九=8(人/min),p=2(人/min),p=X/p=4,n=6600.5則整個系統的內空閑的概率：x2pkpn十k!n!Lk=0顧客等待服務的概率：np0=

53、1=(42.866+17.067)-1=0.017p仞0=5p二17.067x0.017二0.2850系統內等待服務的平均顧客數：pn十1(n-1)!(n-p)2P=0.58人0平均等待服務時間：LW=y=0.07qX系統平均利用率：p*=p/n=4/6=0.66744、某醫院放射科有一臺CT機，對病人切片檢查.若病人每隔12分鐘到達一人，做CT檢查平均每個病人占用10分鐘，服務時間和病人到達間隔時間的服務從負指數分布若要求病人到達后有20%的概率不需等待、則該放射科是否需要增添設備，為什么？若放射科目前僅有3個等待位置，病人到達后現無空位，而必須站著等待，如果要求站著等待的病人至多不能超過半

54、數，則該放射室是否需要增添等待座位，為什么？答案：解(1)此排隊系統為M/M/1等待制排隊系統.因為九=5,p=6,所以p=5/6.于是pp21L=5(人),L=6-(人)病人到來不等的概率p=1-p=0.167因此s1-pq1-p60若要想使20%的病人不需等待，顯然該醫院必須再增添設備又PN5=p5=0.4020.5，顯然沒有超過等待隊長的一半，故放射室不需添45、設每臺機器平均每小時損壞一次，服從普阿松分布；一名工人用于維修機器的時間為1/卩=6min的負指數分布。對(M/M/1/g/6)和(M/M/3/g/20)的兩種模型分別計算得到的Pn值如表(a)和表(b)所示。表(a)nPnnP

55、n00.484540.017510.290750.003520.145460.000330.0582表(b)nPnnPnnPn00.1362560.02347120.0000710.2725070.010951320.2589080.00475r0.0000030.1553390.0017020J40.08802100.0007050.04694110.00023試對上述兩個模型的計算結果進行分析比較，并根據直觀判斷作出解釋。答案：聯合作業由于工人間相互協作，提高了機器的利用率。46、某中心醫院有一臺專用于搶救服務的電話，并設一名話務員值班。該電話機連接有一個N條線路的開關閘，當有一個電話呼喚

56、到達，話務員處于繁忙狀態時，只要N條線路未被占滿，該呼喚將等待，只有當N條線路均被占滿時，新的呼喚將得到一個忙音而不能進入系統。已知到達的電話呼喚流服從普阿松分布九=10個/h，又每個電話的通話時間服從負指數分布,1/卩二3min,要求確定N的值，使到達的電話呼喚得到忙音的概率小于1%。答案：對該系統有P=()n-P(當n6。47、一個辦事員核對登記的申請書時，必須依次檢查8張表格，核對每份申請書需lmin.顧客到達率為每小時6人，服務時間和到達間隔均為負指數分布試求：(1)辦事員空閑的概率；(2)L,L,W和W.sqsq答案：解：因該辦事員核對登記的申請書時，必須依次檢查8張表格，且每張表格

57、花費的時間服從負指數分布，貝y總的服務服從E分布，此排隊系統為M/E/1排隊系統。kk261k=&卩=60人/h,2=6人/h,p=-卩6010(1)辦事員空閑的概率為，=1-p=1-=0.9102)TOC o 1-5 h z(1.1(8+1)x(丄)217L=p+(k+1)P2=丄+10=乂=0.105s2k(1p)102x8(1-1)16015L=(k+1)P2q(8+1)x(-)21=吐=0.00532k(1-p)2x8(1-丄)16010W=；=0015h=0.0025hs九6L0.0053W=寸=h=0.0009hq2648、在某單人理發店顧客到達為普阿松流，平均到達間隔為20min

58、,理發時間服從負指數分布，平均時間為15min.求：顧客來理發不必等待的概率；理發店內顧客平均數；顧客在理發店內平均逗留時間；若顧客在店內平均逗留時間超過1.25h,則店主將考慮增加設備及理發員，問平均到達率提高多少時，店主才做這樣的考慮？答案：解；該問題屬于M/M/1排隊模型，由題設知九=60/20=3人/h,卩=60/15=4人/h,p=X/卩=3/4（1）p二1P二1-3/4二1/403（2）L二九/（卩一九）二人二3人s431（3）W二1/（卩一九）二h二1hs43若W1.25，即1/（卩一九）1.25.因卩=4，即有1/（4一九A1.25故九3.2,sAX=0.2人/h。49、一條傳

59、送帶連接的分裝配線含兩個工作站。由于所裝產品的尺寸較大，每個站只能容納一件產品。要裝配的產品按普阿松分布到達，平均10件/h，工作站1和2用于裝配產品時間為負指數分布，且平均時間均為5min.對不能進入該分裝線的產品被送到別的裝配線。試求：每小時不能進入該分裝線的產品數；分別為對進入該分裝線的產品在該系統中的平均停留時間。答案：(a)本題為串連的排隊系統，為分析先畫出生死過程發生率圖見圖中(I,j)程并求解二0.0936二p11b1p二0.2697,p二0.2247,p二0.3184,p000110，故每小時不能進入的產品數為為(p10+匕+pb1)二5.056件。L0.9175(b)W=0.

60、1856(h)=11.13(min)s九4.944標準差eff50、在某重型機器廠，橋式吊車的效率為80%，據觀察知平均吊運時間為10min,為8min,需要吊運的物品是隨機地到達，問平均需求率是多少？平均等待時間是多少?答案：M/G/1卩=0.1次/min因為耳80%所以P1n0.20所以p1P10.20.8九pp0.8x0.10.08,即平均需求率。0P2+九202Lq2(1p)(0.82+0.08x8,2(10.8)min=1.728min四、證明(14小題，共0分)1、16車間內有m臺機器，有c個修理工(mc),每臺機器發生故障率為九，符合WLM/M/c/m/m模型，試證：-曠，并說明